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Objectif Iscae Concours de l’Iscae Épreuve Commune de Mathématiques (2014) Voic

Objectif Iscae Concours de l’Iscae Épreuve Commune de Mathématiques (2014) Voici l’énoncé de l’épreuve commune de Mathématiques du concours d’entrée à l’ISCAE de l’année 2014, ainsi qu’un extrait du corrigé. L’intégralité des corrigés sera prochainement disponible dans un ouvrage édité par eDukaty. Comme les années précédentes, cette épreuve est un QCM de 20 questions, d’une durée de 3 heures, qui aborde quatre principaux thèmes du programme de Mathématiques des prépas ECT : Analyse (fonctions, suites, intégrales, etc.), Matrices Récurrentes, Probabilités Discrètes, et Probabilités Continues. Bien qu’étant un QCM, l’équipe pédagogique d’eDukaty considère les épreuves de l’ISCAE assez diﬃciles, compte tenu du fait qu’elles sont destinées à des élèves de la ﬁlière ECT et à des Bac +2. Toutefois, comme nous ne cessons de le rappeler à nos élèves, lors d’un concours, l’objectif n’est pas d’avoir une excellente note dans l’absolu, mais uniquement de faire relativement mieux que les autres candidats. Et nous pensons de plus qu’un étudiant qui a travaillé consciencieusement les derniers mois avant les concours est en mesure de traiter une grande partie des questions d’une telle épreuve. Naturellement tout lecteur qui repérerait une erreur pourra nous contacter en nous envoyant un email à l’adresse suivante : contact@myedukaty.com. Bonne chance à vous tous ! L’équipe pédagogique d’eDukaty www.edukaty.com Résidence Artois 43 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 22 22 26 71 - 06 76 82 36 08 contact@edukaty.com 1/7 Objectif Iscae 1. Pour tout réel y supérieur ou égal à 1 et pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on pose : Fn(y) = Z y 1 ln x xn dx La limite de Fn(y) quand y tend vers +∞est égale à : a. ln(n2 −1) b. 1 (n −1)2 c. n (n2 −1) d. ln 2 (n −1)2 e. Autre réponse 2. Pour n ∈N, on désigne par Sn la somme des (n + 1) premiers nombres entiers naturels impairs. Pour tout n, Sn = a. n2 b. (n + 1)2 c. (n + 2)2 −n2 d. 2n+1 e. Autre réponse 3. Soit X une variable aléatoire admettant pour densité la fonction f déﬁnie par : f(x) = ( 0 si x ⩽0 xe−x2 2 si x > 0 On pose Y = 1 2X2 L’équation de la variable aléatoire Y est égale à : a. e2 2 b. e −1 e2 c. 1 d. 2 3 e. Autre réponse 4. Un urne contient cinq boules noires et cinq boules blanches. On tire successivement et avec remise n de ces boules dans l’urne, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les deux événements suivants : A : « On obtient des boules des deux couleurs » B : « On obtient au plus une boule blanche » Les événements A et B sont indépendants si, et seulement si : a. 2n−1 = n b. 2n = n + 1 c. 2n−1 = n + 1 d. 2n = n e. Autre réponse 5. Soit la matrice A =   1 2 4 1 3 9 1 4 16  et soit A−1 la matrice inverse de A. Le deuxième vecteur-colonne de la matrice inverse A−1 est noté C2. On a alors : a. C2 =   −4 6 1   b. C2 =   −8 6 −1   c. C2 =    3 −1 2 0    d. C2 =    6 −3 4 3    e. Autre réponse 6. Soient 2 dés A et B à 6 faces équiprobables. Le dé A a pour faces 2; 6; 2; 6; 2; 2, et le dé B pour faces 1; 5; 1; 5; 1; 5. Deux joeurs J1 et J2 s’aﬀrontent et lancent chacun un dé. Le gagnant est celui dont le dé montre la face qui comporte le chiﬀre le plus grand. Si J1 joue avec le dé A, et J2 avec le dé B, alors J1 a une probabilité de gagner égale à : a. 1 3 b. 1 2 c. 1 d. 2 3 e. Autre réponse 7. Soit f la fonction réelle polynomiale déﬁnie par f(x) = 6x4 + 5x3 −38x2 + 5x + 6. On note x1 (respectivement x2) la plus petite (respectivement plus grande) solution réelle de l’équation f(x) = 0, alors x1 + x2 = a. −3 b. −2 c. −1 d. 0 e. Autre réponse Indication : On pourra songer à eﬀectuer le changement de variable t = x + 1 x et on pourra utiliser le calcul suivant : 352 = 1225 8. On pose pour tout n ∈N : Sn = n X k=0 (k2 −1)2k k! lim n→+∞Sn = www.edukaty.com Résidence Artois 43 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 22 22 26 71 - 06 76 82 36 08 contact@edukaty.com 2/7 Objectif Iscae a. 5e2 b. 2 5 c. e2 −1 2 d. +∞ e. Autre réponse 9. Une urne U1 contient 3 boules rouges et 5 vertes. Une urne U2 contient n boules rouges, 3 vertes et 2 blanches. On tire au hasard une boule de U1, puis on la jette dans U2. On tire enseuite au hasard deux boules de U2. Si on tire deux boules rouges de U2, on gagne 50 dirhams. Si on tire deux boules vertes de U2, on gagne 20 dirhams. Si on tire deux boules blanches de U2, on gagne 10 dirhams. Si on tire deux boules de couleurs diﬀérentes de U2, on perd 20 dirhams. Soit X la variable aléatoire « gain en dirhams à l’issue d’une telle épreuve » L’espérance de X est a. 5(4n2 −19n −12) 4(n + 5)(n + 6) b. 5(4n2 −14n −12) 4(n + 5)(n + 6) c. 5(4n2 −17n −12) 4(n + 5)(n + 6) d. 5(3n2 −19n −12) 4(n + 5)(n + 6) e. Autre réponse 10. La durée de fonctionnement moyenne d’un téléviseur d’une référence donné avant sa première panne est de 10 ans. On suppose que la variable aléatoire T déﬁnissant la durée de vie de ce téléviseur (temps écoulé entre sa mise en service et sa première panne) a pour densité de probabilité la fonction f déﬁnie sur R par : f(t) =    1 10e−t 10 si t ⩾0 0 sinon La probabilité que le téléviseur n’ait pas de panne pendant 12 ans, sachant qu’il n’en a pas pendant 4 ans est : a. e 3 b. 1 2 c. 1 3 d. e−0,8 e. Autre réponse 11. Pour tout entier naturel n, on note : In = Z 1 0 e−x2(1 −x)n dx et Jn = Z 1 0 xe−x2(1 −x)n dx Pour tout n de N, on a : a. In = 1 n + 1(1 −2Jn+1) b. In = 1 n + 1(2 −3Jn+1) c. In = 1 n + 1(3 −4Jn+1) d. In = 1 n + 1(4 −5Jn+1) e. Autre réponse 12. Soit f la fonction réelle de la variable réelle x déﬁnie sur D = ]0 ; 1[∪]1 ; +∞[ par f(x) = Z x2 x 1 ln t dt. Alors f est dérivable sur D, et pour tout x ∈D sa dérivée f ′(x) est : a. x ln x b. x −1 ln x c. x2 −1 ln x d. x2 ln x e. Autre réponse 13. Une entreprise produit des objets sur deux chaînes de montage C1 et C2 qui fonctionnent indépendamment l’une de l’autre. Pour une chaîne donnée, les fabrications des objets sont indépendantes. La chaîne C1 produit 60% des objets et la chaîne C2 produit 40% des objets. www.edukaty.com Résidence Artois 43 rue de Sebou, Quartier Gauthier Casablanca 05 22 22 26 71 - 06 76 82 36 08 contact@edukaty.com 3/7 Objectif Iscae La probabilité qu’un objet construit par la chaîne C1 soit défectueux est 0, 1 alors que la probabilité pour qu’un objet construit par la chaîne C2 soit défectueuse est 0, 2. On choisit au hasard un objet à la sortie de l’entreprise. On constate que cet objet est défectueux. La probabilité de l’événement "l’objet provient de la chaîne C1" est égale à : a. 2 3 b. 1 3 c. 14 17 d. 3 8 e. Autre réponse 14. Des enfants s’entrainent à réussir des paniers de basket. Pour chacun d’eux, indépendamment les uns des autres et des essais successifs, la probabilité de réussite d’un panier est p (p ∈]0 ; 1[). Hamza est l’un de ces enfants ; soit N le nombre d’essais que va faire Hamza. La condition nécessaire et suﬃsante pour que la probabilité qu’il réussisse au moins un panier soit supérieur ou égale à 1 −α (α ∈]0 ; 1[), est a. N ⩾ln α ln p b. N ⩾ln(1 −α) ln p c. N ⩾ ln α ln(1 −p) d. N ⩾ln(1 −p) ln α e. Autre réponse 15. La nuit dans la savane, un lion se rend à la rivière pour boire et y reste un quart d’heure. Après de nombreuses observations, on estime uploads/Management/ epreuve-maths-iscae-2014 1 .pdf