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Université Cadi Ayyad Ecole Nationale des Sciences Appliquées Saﬁ 1ère année de

Université Cadi Ayyad Ecole Nationale des Sciences Appliquées Saﬁ 1ère année de cycle ingénieur SÉRIE D’EXERCICES No2 - Corrigé Loi d’une Variable aléatoire- Moments d’une v. a. réelle - Fonction génératrice - Fonction caractéristique Exercice 1. On étudie la durée des communications téléphoniques dont la fonction de répartition est: F(x) = 0 si x < 0 1 −e−kx si x ≥0. Sachant que k = 5 6. 1. Quelle est la probabilité pour qu’une communication dure plus de 3 minutes? 2. Quelle est la probabilité pour qu’une communication ait une durée entre 3 et 6 minutes? 3. Si on ne connaît pas k, quelle valeur faudrait-il lui donner pour que la probabilité d’une communication supérieure à 3 minutes soit égale à 0.1? Corrigé de l’exercice 1. 1. La probabilité pour qu’une communication dure plus de 3 minutes est: P(X > 3) = 1 −P(X ≤3) = 1 −F(3) = 1 −(1 −e−5 6 ×3) = 0.082. 2. La probabilité pour qu’une communication ait une durée entre 3 et 6 minutes est P(3 ≤X ≤6) = F(6) −F(3) = 0.075. 3. Si on ne connaît pas k, la valeur qui’il faudrait lui donner pour que la probabilité d’une communication supérieure à 3 minutes soit égale à 0.1 est donnée par P(X > 3) = 0.1 = 1 −F(3) = 1 −(1 −e−3k). Donc k = 0.77. Exercice 2. Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F donnée par F(x) = 0, si x < 0, F(x) = [x] 1 + [x], si x ≥0 avec [x] désigne la partie entière de x. Calculer P(X = 1), P(X ∈]1, 2]) et P(X ∈[1, 4]). Calculer pour tout entier naturel n ∈N∗, P(X = n). Corrigé de l’exercice 2. On a: • P(X = 1) = 1 2. • P(X ∈]1, 2]) = F(2) −F(1) = 1 6. • P(X ∈[1, 4]) = F(4) −F(1−) = 4 5 −0 = 4 5. 1 2 • Soit n ∈N, P(X = n) = F(n) −F(n−) = F(n) −F(n −1) = 1 n(n + 1). Exercice 3. Soit (a, b) ∈N∗2 ; a < b ; X est une variable aléatoire discrète de Ωdans N∗telle que : ∀x ∈|[1, ab]| ; P(X = x) = 1 a −1 b et P(X = x) = 0 ailleurs. 1) Déterminer une CNS sur a et b pour que les relations précédentes déﬁnissent eﬀectivement une loi de probabilité. 2) Dans ces conditions, tracer la représentation graphique de la fonction de répartition FX de X. 3) Calculer la probabilité pour que X ∈|[a, a+b 2 ]|. Corrigé de l’exercice 3. 1) Une Condition Nécessaire et Suﬃsante sur a et b pour que les relations précédentes déﬁnis- sent eﬀectivement une loi de probabilité est b −a = 1. Alors, sous cette condition X suit la loi uniforme discrète sur |[1, ab]| et on a ∀x ∈|[1, ab]| ; P(X = x) = 1 a −1 b = 1 ab et P(X = x) = 0 ailleurs. 2) Dans ces conditions, la fonction de répartition FX de X est donnée par. – F(x) = P(X ≤1) = P(∅) = 0 si x < 1. – Pour k ∈N avec k ∈|[1, ab]| on a F(k) = P(X ≤k) = k X j=1 P(X = j) = k X j=1 1 ab = k ab. – si x > ab F(x) = P(X ≤x) = P(Ω) = 1. Finalement F(x) =    0 si x < 1, k ab si x ∈[k, k + 1[, avec k ∈|[1, ab]| 1 si x ≥ab. Exercice: tracer le graphe de la fonction de répartition FX pour a = 2 et b = 3. 3) Calculons la probabilité pour que X ∈|[a, a+b 2 ]|. Remarquons que a+b 2 = a+a+1 2 = a+ 1 2. On a a ∈N∗donc a + 1 2 / ∈N, le seul entier de |[a, a+b 2 ]| est a. Par suite P(X ∈|[a, a + b 2 ]|) = P(X = a) = 1 ab. Exercice 4. (Loi de Cauchy ) On considère la fonction f(x) déﬁnie par: f(x) = k 1 + x2 , ∀x ∈R. 1) Déterminer la constante k telle que f(x) puisse être considérée comme la densité de probabilité d’une v.a. continue X. 2) Que peut-on dire des moments de cette v.a. ? 3 Corrigé de l’exercice 4. On a f est mesurable et positive, donc f est une densité si Z +∞ −∞ k 1 + x2 dx = 1 Or, Z +∞ −∞ k 1 + x2 dx = 2klimx− →∞ Z ∞ 0 1 1 + x2 dx = 2klimx− →+∞[Arctg(x)] = kπ. Donc k = 1 π. Si E(X) existe, elle est déﬁnie par E(X) = Z R x π(1 + x2)dx, or, x 1 + x2 ∼+∞ 1 x. Ainsi, l’intégrale diverge et E(X) n’existe pas. D’après le résultat du cours: Si la v. a. r. X admet un moment absolu d’ordre r ﬁni, elle a aussi un moment absolu d’ordre p ﬁni pour tout p ∈|[1, r]|, les autres moments de cette v.a. n’existent pas. Exercice 5. (Fonction génératrice) On appelle fonction génératrice d’une v. a. entière X la fonction GX : [0, 1] − →[0, 1] donnée par: GX(s) = E(sX) = ∞ X n=0 snP(X = n). (On utilise la convention 00 = 1 dans le cas n = s = 0.) 1. Montrer que la fonction génératrice est une fonction analytique sur [0, 1] et que GX détermine la loi de X, plus précisément, montrer que pour tout entier n on a: P(X = n) = G(n) X (0) n! , avec G(n) X (0) désigne la dérivée n-ième de GX. 2. Déterminer la fonction génératrice des lois suivantes: 2.1 X est une v. a. de Bernoulli: P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 −p. 2.2 X suit la loi binomiale B(n, p), p ∈[0, 1], et n ∈N. 2.3 X suit la loi Poisson P(θ), θ > 0. 3. Soit X1 , X2 deux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de paramètres re- spectifs θ1 > et θ2 > 0. Calculer la loi de X1 + X2. Corrigé de l’exercice 5. 4 1. Il est clair que la série entière converge pour s = 1, car ∞ X n=0 P(X = n) = 1. Donc le rayon de convergence R est supérieur ou égal à 1. D’après la formule qui donne les coeﬃcients d’une série entière en fonction de ses dérivées en 0, on a P(X = n) = G(n) X (0) n! , avec G(n) X (0) désigne la dérivée n-ième de GX. Montrons que deux variables aléatoires X et Y qui ont la même fonction génératrice, elles ont la même loi: Soit k ∈N, P(X = k) = G(k) X (0) k! = G(k) Y (0) k! = P(Y = k). 2. Déterminons la fonction génératrice des lois suivantes: 2.1 X est une v. a. de Bernoulli: P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 −p. GX(s) = 1 −p + sp. 2.2 X suit la loi binomiale B(n, p), p ∈[0, 1], et n ∈N. GX(s) = (1 −p + sp)n. 2.3 X suit la loi Poisson P(θ), θ > 0. GX(s) = eθ(s−1). 3. Soit X1 , X2 deux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de paramètres re- spectifs θ1 > et θ2 > 0. Calculer la loi de X1 + X2. Remark 0.1. Si X1 , X2 deux variables aléatoires indépendantes, alors pour toutes fonction mesurable f, on a E(f(X1)f(X2)) = E(f(X1)).E(f(X2)). On calcule la fonction génératrice de X1 + X2, et on trouve GX1+X2(s) = e(θ1+θ2)(s−1). Et comme la fonction génératrice caractérise la loi d’une variable aléatoire, alors X1 + X2 ∼P(θ1 + θ2), i.e. la loi de Poisson de paramètre θ1 + θ2 Exercice 6. 1. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que: E(X) = +∞ X j=1 P(X ≥j). 5 2. Montrer que si X est une variable aléatoire discrète à valeurs entières (positives, négatives ou nulles) dont l’espérance mathématique existe, on a: E(X) = +∞ X j=1 [P(X ≥j) −P(X ≤−j)]. Corrigé de l’exercice 6. 1. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On a: E(X) = P+∞ j=0 jP(X = j) = 0.P(X = 0) + 1.P(X = 1) + 2.P(X = 2) + 3.P(X = 3) + .... = [P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + ....] + [P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + ....] + [P(X = 3) + P(X = 4) + ....] + ... = P+∞ j=1 P (X ≥j). 2. Montrons que si X est une variable aléatoire discrète à valeurs entières (positives, négatives ou nulles) dont l’espérance mathématique existe, on a: E(X) = P+∞ j=−∞jP(X = j) = P−1 j=−∞jP(X = j) + P+∞ j=0 jP(X = j) = ... −3.P(X = −3) −2.P(X = −2) −1.P(X = −1) uploads/Management/ corrige-serie-n0-2-de-t-d-de-probabilites-2021.pdf