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Automatique continue, exercices _______________________________________________

Automatique continue, exercices ______________________________________________________________________________________________________ Lycée Vauban, Brest – classe de PTSI – 1 Exercice n°1 fonction de transfert Calculer la fonction de transfert ( ) ) ( ) ( s E s S s H = du circuit ci–dessous. Exercice n°2 fonction de transfert Calculer la fonction de transfert ( ) ) ( ) ( s E s S s H = du circuit ci–dessous. Exercice n°3 transformation de Laplace Soit les fonctions suivantes. On demande de déterminer les transformées de Laplace de celles–ci : 1 – ( ) ( ) ) ( 3 exp 2 t u t t t e − = 2 – ( ) ( ) ) ( ) 6 2 cos( exp t u t t t e π + − = 3 – ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 − − = t u t t e R1 R2 e(t) C s(t) R1 R2 e(t) C1 s(t) C2 AUTOMATIQUE CONTINUE exercices Automatique continue, exercices ______________________________________________________________________________________________________ Lycée Vauban, Brest – classe de PTSI – 2 4 – ( ) ( ) 2 3 cos 2 − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = t u t t t e π Exercice n°4 théorèmes de la valeur initiale et finale Déterminer les valeurs suivantes pour les fonctions de transfert données : 1 – ( ) ( ) 2 1 3 1 ) ( 2 + + + = s s s s Y , ( ) ( ) ( ) ∞ + + y dt dy y , 0 , 0 2 – ( )( ) 1 s 3 1 s s 3 s 5 1 ) s ( Y 2 2 + + + + = , ( ) ( ) ( ) ∞ + + y dt dy y , 0 , 0 Exercice n°5 original de la transformation de Laplace Déterminer l’original des fonctions de transfert suivantes : 1 – ( ) ( ) s s s s Y + − = 1 1 2 – ( ) ( ) 2 1 1 s s s s s Y + + + = 3 – ( ) ( )( ) 2 1 3 1 3 exp s s s s Y + + − = 4 – ( ) ( )( ) s s s s Y + + − = 4 1 5 Exercice n°6 réducteur à engrenage La figure ci–contre propose un système d’engrenage permettant d’entraîner une masse de moment d’inertie J2 avec un couple C. L’axe 1 a un moment d’inertie J1 et subit un frottement visqueux de constante K1. Il est entraîné par le couple C et il est solidaire d’une roue dentée comportant N1 dents. On note ω1(t) sa vitesse angulaire. L’axe 2 est entraîné par la roue dentée 2 possédant N2 dents. Son moment d’inertie est noté J2 et sa vitesse angulaire ω2(t). Il subit un frottement visqueux de constante K2. On suppose le rendement du système parfait. 1 – Ecrire la relation entre C1 et C2 puis ω1(t) et ω2(t). 2 – Donner le modèle dynamique du système. 3 – Donner la fonction de transfert entre l’entrée C(s) et la sortie Ω2(s). J1 J2 K1 K2 ω1 C C1 C2 ω2 Automatique continue, exercices ______________________________________________________________________________________________________ Lycée Vauban, Brest – classe de PTSI – 3 Exercice n°7 système hydraulique On considère le système ci–dessus. Le débit de chaque vanne est linéaire et supposé proportionnel à la hauteur de liquide q = h/R. Les surfaces de chaque bac sont notées respectivement S1 et S2. Le bac 1 est alimenté par un débit qi(t). 1 – Écrire le modèle dynamique du système. 2 – Donner la fonction de transfert entre le débit d’alimentation du bac 1 et le débit de sortie du bac 2. Exercice n°8 transformations de schéma–blocs Calculer les transmittances pour les schémas blocs ci–après S1 S2 Bac 1 Bac 2 R1 R2 qi q1 q2 h1 h2 2 – 1 – H4 H1 H3 E S + + H2 H5 - H6 - H4 H1 H3 E S + + H2 H5 - H6 - Automatique continue, exercices ______________________________________________________________________________________________________ Lycée Vauban, Brest – classe de PTSI – 4 Exercice n°9 système mécanique On considère le système mécanique ci–contre constitué d’un ressort de raideur k et deux éléments exerçant un frottement visqueux de constante respective ξ2 et ξ1. Calculer la fonction de transfert H(s)=Y(s)/X(s) de ce système. Exercice n°10 asservissement d’un radar On étudie l’asservissement en position angulaire d’un radar de poursuite destiné à connaître avec précision la position et la vitesse d’un mobile évoluant dans l’espace aérien. Le système comporte une antenne parabolique émettant dans une direction précise appelée axe radioélectrique. Cet axe est repéré par les angles de site et de gisement comme le montre la figure ci–après. Des capteurs de positions permettent d’avoir en permanence une image θs et αs. En présence d’une cible réfléchissante, l’écho reçu par la parabole dépend du « dépointage angulaire » entre l’axe radioélectrique et la ligne de visée. Le dispositif radar est capable de délivrer deux tensions proportionnelles aux écarts angulaires ( ) s e θ − θ et ( ) s e α − α . On se propose d’étudier l’asservissement en gisement de la tourelle porte parabole dont l’organisation matérielle est donnée ci–dessous. L’asservissement en site se fera sur le même principe. Hypothèses de modélisation : – on néglige les frottements ; – on néglige l’inductance d’induit du moteur ; – on suppose que la variation de site ne modifie pas le moment d’inertie autour de l’axe z. k ξ2 ξ1 z(t) y(t) x(t) x y z Axe radioélectrique θs αs gisement site x y z Ligne de visée θe αe gisement site objectif Automatique continue, exercices ______________________________________________________________________________________________________ Lycée Vauban, Brest – classe de PTSI – 5 Valeurs numériques – inertie de l’antenne (+ roue de réducteur) : Ja = 15 000 kg.m² ; – inertie du moteur (+ pignon du réducteur) : Jm = 5.10–3 kg.m² ; – rapport de réduction : r = 1 000 ; – coefficient de vitesse du moteur Km = 0,5 V.rad–1.s–1 ; – résistance de l’induit moteur R = 0,5 Ω ; – coefficient d’amplification de puissance : A = 10. 1 – Calculer l’inertie équivalente J de l’ensemble sur l’arbre moteur. Réaliser un schéma bloc sous la forme : 2 – On envisage le fonctionnement du système en asservissement, ce qui conduit au schéma fonctionnel de la figure ci–dessous : 2.1 – Montrer que la FTBF est du deuxième ordre. Exprimer les coefficients usuels, Kf, ξf et ωf. 2.2 – Quelle valeur faut–il donner au coefficient α pour que le temps de réponse à 5 % après une excitation en échelon de position soit le plus faible possible. Calculer tR. 2.3 – Pour la valeur α calculée précédemment, exprimer puis calculer l’erreur de poursuite (εT = ( )( ) t s e t θ − θ ∞ → lim ) (ou erreur de traînage) si l’objectif évolue à une vitesse angulaire sensiblement constante : ( ) t t e 0 Ω = θ avec 0 Ω= 0,5 rad.s–1 Exercice n°11 identification Identifier les paramètres des systèmes dont les réponses à un échelon unitaire sont : Moteur à CC Parabole réducteur ampli U2 U1 θs θm r s m = θ θ A U U = 1 2 U1(s) Ωm(s) Ωs(s) Θs(s) Tension entrée ampli Vitesse moteur Vitesse parabole Position parabole α radar - + Θe(s) Θs(s) U1(s) Automatique continue, exercices ______________________________________________________________________________________________________ Lycée Vauban, Brest – classe de PTSI – 6 2 – 3 – 4 – 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 1 – 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 Automatique continue, exercices ______________________________________________________________________________________________________ Lycée Vauban, Brest – classe de PTSI – 7 Exercice n°12 lieux de transfert Représenter les trois lieux de transfert (Nyquist, Bode, et Black) pour les quatre systèmes suivants de fonction de transfert : s s H ⋅ + = 1 , 0 1 1 ) ( , 2 01 , 0 2 , 0 1 1 ) ( s s s H ⋅ + ⋅ + = , 2 01 , 0 02 , 0 1 1 ) ( s s s H ⋅ + ⋅ + = , ( )( ) s s s s H ⋅ + ⋅ + − = 1 , 0 1 10 1 ) 1 ( 10 ) ( , Exercice n°13 réponse temporelle Soit la fonction de transfert ( ) s s H + = 1 1 , uploads/Management/ exercices-asservissement.pdf