Exercices Corrig´ es - Analyse num´ erique et optimisation Une introduction ` a

Exercices Corrig´ es - Analyse num´ erique et optimisation Une introduction ` a la mod´ elisation math´ ematique et ` a la simulation num´ erique G. Allaire, S. Gaubert, O. Pantz Ecole Polytechnique MAP 431 29 aoˆ ut 2012 Introduction i Introduction Ce recueil rassemble tous les exercices propos´ es dans le cours de deuxi` eme ann´ ee d’introduction ` a l’analyse num´ erique et l’optimisation de Gr´ egoire Allaire [1]. Toute r´ ef´ erence ` a ce dernier se distinguera des r´ ef´ erences internes au recueil par ses ca- ract` eres gras. Par exemple, (1.1) fait r´ ef´ erence ` a la premi` ere formule du cours. Malgr´ e notre vigilance, ce manuscrit comporte sans aucun doute (encore) de multiples er- reurs de tout ordre. De nombreux exercices m´ eriteraient un traitement plus ´ el´ egant autant d’un point de vue math´ ematique que stylistique. Nous invitons d’ailleurs tout lecteur ` a participer ` a son am´ elioration. Vous pouvez nous signaler toute erreur ou approximation en envoyant un mail ` a l’adresse olivier.pantz@polytechnique.org Nous serons ´ egalement heureux de recevoir de nouvelles solutions aux exercices pro- pos´ es ou toutes autres suggestions. Bon courage. G. Allaire, S. Gaubert, O. Pantz Paris, Juillet 2006 ii Introduction Chapitre 1 INTRODUCTION A LA MOD´ ELISATION MATH´ EMATIQUE ET A LA SIMULATION NUM´ ERIQUE Exercice 1.2.1 On suppose que la donn´ ee initiale θ0 est continue et uniform´ ement born´ ee sur R. V´ erifier que θ(t, x) = 1 √ 4πνt Z +∞ −∞ θ0(y) exp  −(x −V t −y)2 4νt  dy (1.1) est bien une solution de  ∂θ ∂t + V ∂θ ∂x −ν ∂2θ ∂x2 = 0 pour (x, t) ∈R × R+ ∗ θ(t = 0, x) = θ0(x) pour x ∈R (1.2) Correction. Dans un premier temps, nous allons v´ erifier formellement que l’ex- pression de θ(t, x) (1.1) propos´ ee est solution de l’´ equation de convection diffusion (1.2). Dans un deuxi` eme temps, nous justifierons les calculs effectu´ es. On pose G(x, t, y) = exp  −(x−V t−y)2 4νt  . On a ∂G ∂x = −x −V t −y 2νt G(x, t, y) ∂2G ∂x2 =  −1 2νt + (x −V t −y)2 4ν2t2  G(x, t, y) ∂G ∂t = (x + V t −y)(x −V t −y) 4νt2 G(x, t, y). Quitte ` a permuter les op´ erateurs de d´ erivation et d’int´ egration, on en d´ eduit que ∂ ∂x Z ∞ −∞ θ0(y)G(x, t, y)dy = Z ∞ −∞ θ0(y)∂G ∂x dy (1.3) = − Z ∞ −∞ θ0(y)x −V t −y 2νt G(x, t, y)dy. 1 2 CHAPITRE 1. MOD´ ELISATION ET SIMULATION De mani` ere similaire, ∂2 ∂x2 Z ∞ −∞ θ0(y)G(x, t, y)dy = − Z ∞ −∞ θ0(y)  1 2νt −(x −V t −y)2 4ν2t2  G(x, t, y)dy et ∂ ∂t Z ∞ −∞ θ0(y)G(x, t, y)dy = Z ∞ −∞ θ0(y)(x + V t −y)(x −V t −y) 4νt2 G(x, t, y). On obtient ainsi l’expression des d´ eriv´ ees partielles de θ(t, x) pour tout t > 0, ` a savoir ∂θ ∂x = − 1 √ 4πνt Z ∞ −∞ θ0(y)x −V t −y 2νt G(x, t, y)dy ∂2θ ∂x2 = − 1 √ 4πνt Z ∞ −∞ θ0(y)  1 2νt −(x −V t −y)2 4ν2t2  G(x, t, y)dy ∂θ ∂t = 1 √ 4πνt Z ∞ −∞ θ0(y) (x + V t −y)(x −V t −y) 4νt2 −1 2t  G(x, t, y)dy. On v´ erifie alors ais´ ement que ∂θ ∂t + V ∂θ ∂x −ν ∂2θ ∂x2 = 0. Il reste ` a prouver que θ(t, x) est prolongeable en t = 0 et v´ erifie bien la condition initiale, c’est-` a-dire que lim t→0 1 √ 4πνt Z ∞ −∞ θ0(y) exp  −(x −V t −y)2 4νt  dy = θ0(x). (1.4) Rappelons que, Z ∞ −∞ exp(−x2)dx = √π. (1.5) Pour ´ etablir cette relation, il suffit de calculer R ∞ −∞e−x2dx 2 = R R2 e−|x|2dx en coordonn´ ees polaires. On pose ρ(x, t, y) = 1 √ 4πνt exp  −(x −V t −y)2 4νt  . D’apr` es (1.5), R ρ(x, t, y)dy = 1 pour tout x et t. Enfin, pour tout x ∈R, on constate que pour tout y diff´ erent de x, limt→0 ρ(x, t, y) = 0. Ainsi, x ´ etant fix´ e, ρ(x, t, y) est une fonction de y se concentrant en x lorsque t tend vers z´ ero. Pour ˆ etre plus pr´ ecis, on montre que pour tout δ et ε r´ eels strictement positifs, il existe t(δ, ε) tel que pour tout t < t(δ, ε), Z x+δ x−δ ρ(x, t, y)dy −1 ≤ε. 3 et Z x−δ −∞ ρ(x, t, y)dy + Z ∞ x+δ ρ(x, t, y)dy ≤ε. L’´ equation (1.4) d´ ecoule alors du fait que θ0 est continue, uniform´ ement born´ ee. Reste ` a prouver que les commutations des op´ erateurs d’int´ egration et de d´ erivation effectu´ ees lors du calcul des d´ eriv´ ees partielles de θ(t, x) sont licites. Pour tout x de R et tout t > 0, il existe des constantes C1(x, t) et C2(x, t) telles que si z est suffi- samment proche de x, z −V t −y 2νt ≤C1(x, t)(1 + |y|) et (z −V t −y)2 ≥|y|2 2 + C2(x, t). En postant C(x, t) = C1(x, t) exp(−C2(x, t)/4νt), il vient ∂G ∂x (z, t, y) ≤C(x, t)(1 + |y|) exp  −|y|2 8νt  . Comme θ0(y) est uniform´ ement born´ ee, on en d´ eduit que θ0(y)∂G ∂x (z, t, y) ≤C(x, t)(1 + |y|) exp  −|y|2 8νt  sup s |θ0(s)| pour tout z appartenant ` a un voisinage de x. Le terme de droite est int´ egrable par rapport ` a y. Ainsi, d’apr` es le th´ eor` eme de d´ erivation sous le signe somme, on en d´ eduit que l’´ echange des op´ erateurs d’int´ egration et de d´ erivation dans (1.3) est licite. On peut proc´ eder de mani` ere similaire pour justifier les deux autres commu- tations effectu´ ees. Exercice 1.2.2 On suppose que la donn´ ee initiale θ0 est d´ erivable et uniform´ ement born´ ee sur R. V´ erifier que θ(t, x) = θ0(x −V t) (1.6) est bien une solution de  ∂θ ∂t + V ∂θ ∂x = 0 pour (x, t) ∈R × R+ ∗ θ(t = 0, x) = θ0(x) pour x ∈R. (1.7) Montrer que (1.6) est la limite de (1.1) lorsque le param` etre ν tend vers z´ ero. Correction. ∂θ ∂t (x, t) = −V ∂θ0 ∂x (x −V t) = −V ∂θ ∂x(x). Ainsi, θ v´ erifie l’´ equation diff´ erentielle annonc´ ee. De plus, θ v´ erifie trivialement la condition initiale. Par un raisonnement analogue ` a celui qui nous avait permis d’´ etablir la continuit´ e de la solution en t = 0 dans l’exercice 1.2.1, on montre que lim ν→0 1 √ 4πνt Z +∞ −∞ θ0(y) exp  −(x −V t −y)2 4νt )  dy = θ0(x −V t) = θ(t). 4 CHAPITRE 1. MOD´ ELISATION ET SIMULATION Exercice 1.3.1 On se propose de retrouver une propri´ et´ e de d´ ecroissance exponentielle en temps (voir la formule (1.1)) de la solution de l’´ equation de la chaleur    ∂u ∂t −∆u = f dans Ω× R+ ∗ u = 0 sur ∂Ω× R+ ∗ u(t = 0) = u0 dans Ω (1.8) dans un domaine Ωborn´ e. En une dimension d’espace, on pose Ω= (0, 1) et on suppose que f = 0. Soit u(t, x) une solution r´ eguli` ere de (1.8). En multipliant l’´ equation par u et en int´ egrant par rapport ` a x, ´ etablir l’´ egalit´ e 1 2 d dt Z 1 0 u2(t, x) dx  = − Z 1 0 ∂u ∂x(t, x) 2 dx Montrer que toute fonction v(x) continˆ ument d´ erivable sur [0, 1], telle que v(0) = 0, v´ erifie l’in´ egalit´ e de Poincar´ e Z 1 0 v2(x) dx ≤ Z 1 0 dv dx(x) 2 dx. En d´ eduire la d´ ecroissance exponentielle en temps de R 1 0 u2(t, x) dx. Correction. En multipliant l’´ equation diff´ erentielle (1.8) par u on obtient par int´ egration que Z 1 0 ∂u ∂t udx = Z 1 0 ∂2u ∂x2udx. Quitte ` a supposer u suffisamment r´ eguli` ere, on peut appliquer le th´ eor` eme d’int´ e- gration sous le signe somme au terme de gauche et effectuer une int´ egration par parties sur le terme de droite. On obtient ainsi que 1 2 d dt Z 1 0 u2dx  = − Z 1 0 ∂u ∂x 2 dx. (1.9) Soit v une fonction de classe C1 sur [0, 1] telle que v(0) = 0. uploads/Management/ exercices-corrige-methode-numerique-pdf.pdf

Documents similaires

NOM : …………………………………………………………….. PRÉNOM : ………………………………………………………. CLASSE : ……………… 0 0

GESTION DES RESSOURCES HUMAINES Chargé du cours: YANOGO Frédéric 1 Objectifs : 0 0

© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 http://www.ens 0 0

Travail réalisé par : -TSARADIA Marco 2351 -OROU GUIWA Séko Boro 2534 -NDOND OB 0 0

TP 1 Présentation des signaux biomédicaux (ECG, EEG, PPG,...) Traitement des si 0 0

Analyste Métier Certifié Syllabus Niveau Fondation Version 2018 page 1 sur 58 © 0 0

Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme 0 0

LA MAINTENANCE 1) Introduction : Pour souligner la part que prend la maintenanc 0 0

INTRODUCTION Durant la période allant du 05 au 26 Octobre, nous avons pu assist 0 0

Projet sur : le CRM Elaboré par : Nada Ben Wahada Malak Ben Hmida 1 ère année e 0 0

• Détails
• Publié le Mai 07, 2021
• Catégorie Management
• Langue French
• Taille du fichier 1.0374MB