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Anova à deux facteurs Encadré par : Mr Doumi Karim Réalisé par : - Berrada Mou

Anova à deux facteurs Encadré par : Mr Doumi Karim Réalisé par : - Berrada Mouna - Mouatarif Mohamed Ramzi - Ould Elmehdi Ghita - Cheikh Maoulainaine Cheikh Hassana Plan Théorie a propos d’anova Application d’anova Procédure d’anova sur SPSS sur la base d’une étude de cas . Interprétation Définition de l’anova Anova à deux facteurs est utilisée pour comparer les différentes moyennes entre les groupes qui ont été divisés sur deux variables indépendantes ( appelées facteurs ) . Objectif L’objectif principal d’une Anova à deux facteurs est de comprendre s’il existe une interaction entre les deux variables indépendantes sur la variable dépendante . Question Quand on étudie l’effet de deux facteurs sur une variable dépendante, quels sont les avantages de réaliser une ANOVA à 2 facteurs plutôt que deux ANOVA à un facteur ? Réponse Si vous partez d'une ANOVA à 2 facteurs et que vous faites ensuite un ANOVA à un facteur, les variations de l'autre facteur vont alors se retrouver dans la variance résiduelle, ce qui va donc faire baisser la valeur du test et à la fois la puissance et la significativité du test. Rappel de quelques notions :  Facteur :toute variable observable pouvant être considérée comme une source de variations possible.  variance : une mesure servant à caractériser la dispersion d'un échantillon ou d'une distribution. Analyse Univariée : analyse qui ne porte que sur une seule variable dépendante . Analyse multivarié : appelé aussi MANOVA , c’est une généralisation de l’analyse de la variance qui est univariée . Elle est aussi utilisée pour identifier des interactions entres les variables dépendantes et entre les variables indépendantes . Degrés de liberté : désigne le nombre de variables aléatoires qui ne peuvent être déterminées ou fixées par une équation . Par exemple si l'on cherche deux chiffres dont la somme est 12, aucun des deux chiffres ne peut être directement déterminé par la simple équation : X+Y= 12 . X peut être choisi arbitrairement, mais alors pour Y il n'y a plus le choix. Ainsi, si vous choisissez 11 comme valeur pour X, Y vaut obligatoirement 1. Il y a donc deux variables aléatoires (X,Y) , mais un seul degré de liberté. Interaction : Le terme d'interaction dans une ANOVA bidirectionnelle vous informe si l'effet de l'une de vos variables indépendantes sur la variable dépendante est le même pour toutes les valeurs de votre autre variable indépendante . CONDITIONS D’APPLICATION DE L’ANOVA : les populations étudiées suivent une distribution normale les variances des populations sont toutes égales (HOMOSCEDASTICITE) les échantillons de tailles sont prélevés aléatoirement et indépendamment dans les populations. LES PRINCIPES DU TEST D’ANOVA : 1. Les groupes sont indépendants et tirés au hasard de leur population respective : Il ya aucune relation entre les observations à l’intérieur d’un groupe, ni relation entre les observations entre les groupes. 2. Les valeurs des populations sont normalement distribuées : ANOVA n’est pas très sensible aux écarts de la normalité. 3. Les variances des populations sont égales (homogènes) : peut être vérifiée par l’examen visuel des graphiques boites à moustaches ou encore par le test de Levens qui est disponible dans les options de l'analyse. Hypothèse nulle : Il y a donc trois hypothèses à considérer et à tester. La première concerne l’effet simple de la variable SEXE (S) H0 S : X S1 = X S2 La suivante, l’effet simple de la variable DOMAINE (D) H0 D : XD1 = XD2 = XD3 La dernière concerne l’effet d’interaction entre les deux facteurs H0 SxD : X S1xD1 = X S2xD1 = X S1xD2 = … = X SnxDn L’hypothèse alternative (H1) associée à chaque hypothèse nulle est qu’il existe une ou des différences de moyennes entre les groupes, c’est- à-dire qu’au moins une des moyennes est significativement différente des autres. TEST DE L’HYPOTHÈSE NULLE : Tout comme pour l’ANOVA, nous voulons déterminer si les différences de moyennes entre les groupes formés par les variables catégorielles sont issues de la variabilité naturelle ou si certains d’entre-deux se distinguent significativement de la moyenne populationnelle (H1). Pour cela , nous allons discuter 3 parties , qui sont : La somme des carrés : 1- La somme des carrés totales . 2- La somme des carrés du modèle . 3-La somme des carrés résiduelles . • Les ratios F . • La taille de l’effet . La somme des carrés : La somme des carrés totales : nous utilisons la même équation que pour la régression simple, soit la variance de toutes les valeurs individuelles, sans tenir compte des variables indépendantes. Exemple : Le nombre de degrés de liberté (ddlT) associé à la SCT est N-1. Voici la liste des du taux horaire initial des 44 participants. Le taux horaire moyen est de 26,13 $. La variance est de 29,92. Nous devons multiplier cette somme par 43 pour obtenir la somme des carrés totale : 1286,56 La somme des carrés du modèle : La SCM ou la somme des carrés intergroupes représente la variabilité entre les groupes. Elle est calculée comme dans l’ANOVA en faisant la somme des différences entre la moyenne de chaque groupe et la moyenne générale. Exemple : Dans ce cas on a Sexe et Domaine et leurs interactions : 1- Sexe : Le calcul de la SCS donne une valeur de 10,85, avec un degré de liberté de 1. 2-Domaine: La SCD est de 453,15 et le degré de liberté, de 2. 3-Interactions : L’équation est la suivante : SCSxD = SCM – SCS – SCD = 130,03 Le nombre de degrés de liberté se calcule de la même façon : ddlSxDAxB = ddlM – ddlS – ddlD. Dans notre cas, il sera de 2. La somme des carrés résiduelle : la somme des carrés résiduelle ou la somme des carrés intra-groupe représente la variance individuelle dans les scores qui ne peut être expliquée par les variables introduites dans le modèle . SCR = s2groupe1 (n1-1) + s2groupe2 (n2-1) + s2groupe3 (n3-1) + s2groupe4 (n4-1) + s2groupe5 (n5-1) + s2groupe6 (n6-1) = 675,14 Le degré de liberté sera cette fois la somme de tous les n-1, ce qui donne ddlR = 37. Les ratios F : Ces derniers se calculent à partir des carrés moyens de chacune des sommes des carrés. Vous pouvez ensuite calculer les mêmes ratios F que pour l’ANOVA : La taille de l’effet : Cet indice de taille de l’effet est toujours basé sur la somme des carrés, mais aussi sur la variance expliquée par le modèle et l’erreur de variance qui lui est associée. Vous pouvez trouver la procédure pour le calculer dans Howell (2002) ou dans Field (2005). Le η2 s’interprétera toujours de la même façon : Étude de cas anova à 2 facteur Énoncé Un chercheur était intéressé à savoir si l'intérêt d'un individu pour la politique était influencé par son niveau d'éducation et son sexe. Ils ont recruté un échantillon aléatoire de participants à leur étude et leur ont demandé leur intérêt pour la politique, qu'ils ont noté de 0 à 100, avec des scores plus élevés indiquant un plus grand intérêt pour la politique. Le chercheur a ensuite divisé les participants par sexe (homme / femme) et ensuite par niveau d'éducation (école / collège / université). On étudie donc l’effet de chacune de deux facteurs ci-dessus sur l’intérêt d’un individu pour la politique en utilisant l’ANOVA à 2 facteurs sur un échantillon de n=60 observations. Et par la suite ; on peut extraire la variable dépendante qui est l’intérêt pour la politique et les variables explicatifs : le sexe et le niveau d’étude; . 1 – les tests d’hypothèses : L’analyse de variance à 2 facteurs permet 3 tests de Fisher: Effet du premier facteur : sexe • H0: il n’ya pas de différence entre l’intérêt pour la politique entre les hommes et les femmes • il n’ya pas d’effet de sexe sur l’intérêt pour la politiques (les moyennes son égales) • H1: il y’a une différence de l’intérêt à la politique entre les hommes et les femmes • il y’a un effet . Effet du second facteur: niveau d’étude . H0: il n’ya pas de différence entre l’intérêt à la politique entre les individus à l’école ; en collège; ou en université • H1: il y’a une différence entre l’intérêt à la politique entre les individus à l’école; en collége;ou en université Effet de l’interaction des 2 facteurs . H0: il n’ya pas d’effet des 2 facteurs .H1: il y’a un effet des 2 facteurs 111. Procédure d’anova sur SPSS sur la base de l’étude de cas . Dans SPSS Statistics, nous avons séparé les individus dans leurs groupes appropriés en utilisant deux colonnes représentant les deux variables indépendantes, et les avons étiquetés sexe et Edu_Level. Pour le sexe, nous avons codé «hommes» comme 1 et «femmes» comme 2, et pour Edu_Level, nous avons codé «école» comme 1, «collège» comme 2 et «université» comme 3. L'intérêt des participants pour la politique, c’est à dire la variable dépendante- uploads/Management/ expose-annova-1.pdf