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ADDITION : DEFINITIONS (2) PROPRIETES FORMES DE CALCULS REPERES : CP: Signes «

ADDITION : DEFINITIONS (2) PROPRIETES FORMES DE CALCULS REPERES : CP: Signes « + » et « = » introduits en même temps. CP ➔ CM1 : Nombres entiers CM1 ➔ … : Addition étendue aux nombres décimaux ➔ Cardinale : a + b = nombre d’éléments. ➔ Ordinale : a + b = nombre atteint en comptant b nombres consécutifs après a. ➔ L’addition = l’opération ➔ La somme = le résultat du calcul. ➔ Termes = nombres utilisés dans une addition. ➔ P1 : La commutativité ⇾ a + b = b + a. ➔ P2 : L’associativité ⇾ (a + b) + c = a+b+c ➔ P3 : L’élément neutre ⇾ a + 0 = a. ➔ P4 : La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition⇾ k*(a+b) = k*a+k*b ➔ P5 : La compatibilité avec l’ordre ⇾ si a < b alors a + c < b + c ➔ Quatre catégories : Le calcul mental (sans trace écrite). Le calcul en ligne. Le calcul posé (en colonnes). Le calcul instrumenté (calculatrice, boulier…). ➔ Deux types : Calcul automatisé (ex: tables d’addition) Calcul réﬂéchi (combinaison de résultats mémorisés). CALCUL MENTAL PROCEDURES VARIABLES ERREURS TYPES DIFFERENCIATION • Utilisation de matériel • Surcomptage (mémoriser le plus grand et compter sur ses doigts (ou dans sa tête) aﬁn d’’ajouter le plus petit) • Réorganisation des calculs : commutativité et associativité de l’addition : Ex : 17 + 3 + 5 → 17 + 5 + 3 • Ajouts séparés des centaines, dizaines et unités : il faut réussir à décomposer mentalement les nombres Ex : 123 + 245 = 100 + 200 = 300, … • Résultas mémorisés pour réussir à faire les calculs en ligne, les calculs posés, pour automatiser certains calculs, gagner du temps. ➔ FACILITER MEMORISATION : Avec manipulations, Travail sur les doubles, les compléments à 10, à 100 etc ; La famille des nombres ; Les tables d’additions. ➔ Choix des nombres ➔ Matériel ➔ Temps ➔ Mauvaise mémorisation ➔ Non maitrise de la ﬁle numérique ➔ Nombres utilisés ➔ Matériel (calculatrice par exemple). CALCUL EN LIGNE PROCEDURES : Surcomptage, regroupement, arbre de calcul (qui nécessite P2 et P1), décomposition. CALCUL POSE (en colonnes) ➔ Ajout séparé des unités entre elles, des dizaines entre elles etc. ➔ La retenue consiste à grouper en paquets de 10 des unités d’un rang donné pour les reporter au rang supérieur. ➔ Le processus algorithmique de l’addition : « … + … donne … » ➔ « Je pose… » et « Je retiens… » traduit les groupements / échanges et le report au rang supérieur. ERREURS TYPES : • Mauvais alignement des chiffres. • Non maîtrise de l’algorithme. • Erreur de calcul ou mauvaise mémorisation. 3copines1crpe.wifeo.com L’ADDITION SOUSTRACTION : DEFINITIONS (3) PROPRIETES ➔ Cardinale : a - b = nombres d’éléments qui appartiennent à A sans appartenir à B (a et b sont tous deux les nombres d’un ensemble A et d’un sous-ensemble B issu de A). ➔ Ordinale : a - b = nombre atteint en comptant b nombres avant a. ➔ A partir de l’addition : a - b = K ↔ b + K = a. ➔ La soustraction = l’opération ➔ La différence = le résultat du calcul. ➔ Termes = nombres utilisés dans une soustraction. ➔ P1 : 0 commutative. ➔ P2 : 0 associative. ➔ P3 : L’élément neutre ⇾ à droite mais pas à gauche : a - 0 = a. ➔ P4 : La compatibilité avec l’ordre ⇾ si a < b alors a + c < b + c ➔ P5 : Différences constantes ou égales : a - b = (a+k) - (b+k). TECHNIQUES DE LA SOUSTRACTION POSÉE : reposent chacune sur des propriétés mathématiques différentes avec des retenues qui ont un sens différent Méthode de la dizaine brisée : Méthode par « ajouts simultanés : Méthode par complément : PROCEDURES POUR CALCUL SOUSTRACTIF Exemple « course à zéro » : • Décomptage (compte à rebours) • Utilisation de la propriétés des différences égales • Réduction progressive du nombre entier à retirer : appelée parfois course à zéro (s’appuie sur les multiples de 10). • Technique du rendu de monnaie : consiste à compléter progressivement le nombre le plus petit pour atteindre le plus grand. 3copines1crpe.wifeo.com LA SOUSTRACTION MULTIPLICATION : DEFINITIONS (2) PROPRIETES FORMES DE CALCULS REPERES : CP : début de l’apprentissage avec les doubles. CE1 : symbole « x » est introduit. ➔ 2 situations de référence : collections rangées par paquets équipotents (addition itérée) situation présentant une organisation en lignes et en colonnes (addition cardinale) CE2 ➔ CM1 : Nombres entiers CM1 ➔ … : Nombres décimaux ➔ Cardinale ou à partir de la notion d’ensemble a x b = nombre d’éléments de l’ensemble AxB, produit cartésien de A et de B (cf. tableau à double entrée). ➔ A partir de l’addition itérée : a x b = a répété b fois. ➔ La multiplication = l’opération ➔ Le produit = le résultat du calcul. ➔ Facteurs = nombres utilisés. ➔ P1 : La commutativité ⇾ a x b = b x a. ➔ P2 : L’associativité ⇾ (a x b) x c = a x b x c ➔ P3 : L’élément neutre ⇾ a x 1 = a. L’élément adsorbant ⇾ a x 0 = 0. ➔ P4 : La distributivité sur l’addition⇾ k*(a+b) = k*a+k*b et sur la soustraction. ➔ P5 : La compatibilité avec l’ordre ⇾ si a < b alors a x c < b x c ➔ Deux catégories : Le calcul mental (sans trace écrite). Le calcul écrit : en colonnes ou avec des aides : • Technique de la table de 9 sur les doigts. • Technique du tableau • Multiplication par « gelosia » • Méthode avec les baguettes (chinoise) • Multiplication russe. Cf. CM Ravier. PROCEDURES CALCUL MENTAL : (De manière générale, le calcul mental avec multiplications est complexe). • Addition itérée : pour le calcul des doubles, des triples : 3 w 4 = 4 + 4 + 4. • La règle des zéros : produit par 10, 100 … • Décomposition d’un des termes en dizaines et unités. • Utilisation des doigts. CALCUL ECRIT EN COLONNES Une seule technique qui s’appuie sur : ➔ La décomposition d’un des facteurs du produit en centaines, dizaines et unités. ➔ La règle des zéros. ➔ La distributivité de la multiplication sur l’addition. ERREURS TYPES : • Maitrise de l’algorithme • Alignement des chiffres • Retenues • Décalages • Mémorisation des tables • Différents calculs AIDES APPORTEES Technique de la table de 9 : Technique du tableau : Par gelosia : Chinoise : Russe : 3copines1crpe.wifeo.com LA MULTIPLICATION Deux signiﬁcations DIVISION DECIMALE DEFINITION : La division décimale est liée à la recherche de la solution de l’équation a = b*x où x est le quotient de a par b soit a/b. DIVISION EUCLIDIENNE : DEFINITION PROPRIETES VOCABULAIRE ➔ La division euclidienne de a par b est l’opération par laquelle on associe à a et b les entiers naturel q (quotient) et r (reste) : a = (b x q) + r, avec r < b. ➔ Le résultat étant un couple de deux nombres, la division euclidienne n’est donc pas une opération au sens mathématique du terme. ➔ Cas particulier : lorsque r = 0 on dit que la division est une division à quotient exact. ➔ P1 : Conservation du quotient : le quotient n’est pas modiﬁé si on multiplie ou divise les deux termes de la divisions par le même nombre k. ➔ P2 : Division d’une somme : dans l’ensemble Q (nombres rationnels) on note : 3copines1crpe.wifeo.com LA DIVISION EUCLIDIENNE DIVISION PARTITION Recherche de la valeur d’une part. Ex : « On dispose de 45 bonbons que l’on veut partager équitablement entre 6 enfants, combien dans chaque paquets ? » DIVISION QUOTITION Recherche du nombre de parts. Ex : « On dispose de 45 bonbons, on désire fabriquer des paquets de 6 bonbons, combien de paquets ? » PROCEDURES : • Procédures imagées : en dessinant. • Soustraction successives • Additions successives • Approche du dividende avec des multiples du diviseur : On peut chercher le multiple du diviseur le plus proche du dividende et ajuster avec le reste. Ex : On doit répartir 147 gâteaux entre 15 enfants. ↳ Les multiples de 15 sont : 15 x 1 = 15 … 15 x 10 = 150 ↳ Or 15 x 9 = 135 ↳ et 145 - 135 = 12 ↳ On peut donner 9 gâteaux à chacun des 15 enfants et il en restera 12. uploads/Management/ fiche-les-4-operations.pdf