ÉQUIPE ACADEMIQUE MATHEMATIQUES MAGAZINE : MATHEMATIQUES Probabilité sur un ens
ÉQUIPE ACADEMIQUE MATHEMATIQUES MAGAZINE : MATHEMATIQUES Probabilité sur un ensemble fini www.takiacademy.com 4èmeSciences Techniques ÉQUIPE ACADEMIQUE MATHEMATIQUES MAGAZINE DE MATHEMATIQUES Probabilité sur un ensemble fini www.takiacademy.com 4èmeSciences Techniques 1 Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com Dans un lycée, on fait une expérience sur l’occupation de deux salles de permanence pendant une journée de cours .Notons les évènements : A : « la première salle est occupée » B : « la deuxième salle est occupée » On sait que p(A) = p(B), p(A B) = 0,9 et p(A B) = 0,5. 1°) a) Calculer p(A) et p(B). b) Les évènements A et B sont-ils indépendants. 2°) Exprimer chacun de ces évènements à l’aide de A et B et calculer sa probabilité. a) U : « la première salle est libre » b) V : « Les deux salles sont libres » c) W : « au moins l’une des salles est libre » d) Y : « Une seule salle est libre » e) Z : « la deuxième salle est libre sachant que la première est occupée » Une entreprise fabrique en grande quantité des sacs poubelle. On admet que 3 % des sacs de la production présentent un défaut. On contrôle les sacs d'un lot. Ce contrôle refuse 94 % des sacs avec défaut et accepte 92 % des sacs sans défaut. On prélève un sac au hasard dans le lot. On considère les événements suivants D: « le sac a un défaut » , A: « le sac est accepté à l'issue du contrôle ». 1°) Déduire des informations figurant dans l'énoncé : ( ), , ( ) D D p D p A p A (On rappelle que | D p A p A D est la probabilité de l'événement A sachant que l'événement D est réalisé). 2°) a) Déterminer pD (A). b) Calculer p(A D) et p(A D ) 3°) Déduire de ce qui précède p(A). 4°) Calculer la probabilité qu'un sac soit défectueux sachant qu'il a été accepté par le contrôle. EXERCICE N°1 : 15' 5 points EXERCICE N°2 : 5' 5 points Magazine 01 ANALYSE Probabilités conditionnelles BAC 2 +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com On donne l’arbre de probabilités suivant tel que : 0,027 P D . 1°) Déterminer P A D , P B D , en déduire P C D . 2°) Recopier sur votre copie l’arbre de probabilités et la compléter. 3°) Déterminer / P C D . Une urne contient 5 boules rouges numérotées 1, 1, 1, 0, 0 et 4 boules vertes numérotées 1,1,1,0 . L’épreuve consiste à tirer simultanément trois boules de l’urne 1°) Calculer la probabilité des évènements : A « obtenir 3 boules de la même couleur » B « obtenir 3 boules portent le même numéro » 2°) A et B sont- ils indépendants ? 3°) Calculer la probabilité d’avoir 3 boules de la même couleur ou trois boules portant le même numéro 4°) Calculer la probabilité d’avoir au plus une boule verte. Un gardien de but doit faire face à un certain nombre de tir direct ( penalties). Les expériences précédentes montre que : ∎ S’il a arrêté le niéme tir , la probabilité pour qu’il arrête le suivant ( le (n+1)iéme ) est 4 5 . ∎ S’il a laisser passer le niéme tir , la probabilité pour qu’il arrête le suivant ( le (n+1)iéme ) est 3 5 . ∎ La probabilité qu’il arrête le premier tir est 7 10 . Soit An l’événement " le gardien arrête le niéme tir " on a donc p( A1 ) = 7 10 . 1°) a) Calculer 2 1 | P A A et 2 1 | P A A en déduire p( A2 ) . b) Calculer 1 2 | P A A . 2°) a) Calculer pour 1 n, 1 | n n P A A et 1 | n n P A A . b) Calculer 1 n P A à l’aide de n P A . c) En déduire que 1 1 3 5 5 n n p p avec 1 1 n n P A p et n n P A p . 3°) Soit 3 4 n n q p . a) Montrer que ( ) n q est une suite géométrique et en déduire n q puis n p en fonction de n. b) calculer alors lim n n p . EXERCICE N°3 : 5' 2 points EXERCICE N°4 : 15' 4 points EXERCICE N°5 : 20' 5 points 1 Tél : +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com Une enquête a montré que : avant de passer l’épreuve théorique du permis de conduire (c’est-à-dire le code) 75% des candidats ont travaillé très sérieusement cette épreuve, lorsqu’un candidat a travaillé très sérieusement, il obtient le code dans 80% des cas, lorsqu’un candidat n’a pas beaucoup travaillé, il n’obtient pas le code dans 70% des cas. On interroge au hasard un candidat qui vient de passer l’épreuve théorique (on rappelle que les résultats sont connus dès la fin de l’épreuve). On note T l’événement « le candidat a travaillé très sérieusement » R l’événement « le candidat a réussi le code ». Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies éventuellement au millième. 1°) Traduire les données à l’aide d’un arbre pondéré. 2°) a) Calculer la probabilité de l’événement « le candidat a travaillé très sérieusement et il a obtenu le code ». b) Montrer que la probabilité p(R) qu’un candidat réussisse à l’épreuve théorique est égale à 0,675. 3°) Le candidat interrogé vient d’échouer. Quelle est la probabilité qu’il ait travaillé très sérieusement ? 4°) A la sortie de l’épreuve, on interroge au hasard et de façon indépendante 3 candidats (on suppose que ce choix peut être assimilé à un tirage successif avec remise). Calculer la probabilité p3 d’interroger au moins une personne ayant échoué à l’épreuve. 5°) On interroge désormais au hasard et de façon indépendante n candidats. Quelle est la probabilité pn d’interroger au moins une personne ayant échoué à l’épreuve ? On dispose d'un dé parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et d'une boite contenant trois jetons blancs et deux jetons rouges, tous indiscernables au toucher. 1°) On lance le dé une seule fois et on observe le numéro de la face supérieure de ce dé. Soit les événements : E : « obtenir un numéro supérieur ou égal à 5 » . E : l'événement contraire de E. Déterminer la probabilité de chacun des événements E et E . EXERCICE N°1 : 25' 4 points EXERCICE N°2 : 25' 4 points Magazine 02 ANALYSE Probabilités conditionnelles BAC 2 +216 29 862 229 / +216 29 862 464 - Email : contact@takiacademy.com 2°) On lance le dé une seule fois. Si l'événement E est réalisé, alors on tire simultanément et au hasard 2 jetons de la boite Si l'événement E n'est pas réalisé, alors on tire simultanément et au hasard 3 jetons de la boite Soit l'événement A: « obtenir un seul jeton blanc ». On note : p(A / E) la probabilité de l' événement : A sachant que l' événement E est réalisé. p(A / E ) la probabilité de l' événement : A sachant que l' événement E est réalisé . a) Vérifier que p(A / E)= 3 5 et que 3 ( / ) 10 p A E . b) En déduire la probabilité de l'événement A. c) Soit D l’événement « obtenir 2 jetons rouges ». En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité de D. Une caisse d'assurance maladie propose à ses affiliés une modalité d'hospitalisation m. Les employés d'une entreprise sont tous affiliés à cette caisse d'assurance et on sait que : Le 1 3 des employés choisissent la modalité m. Parmi les employés qui ont choisi la modalité m, 80 % sont atteints d'une maladie chronique. Parmi les employés qui n'ont pas choisi la modalité m, 75 % sont atteints d'une maladie chronique. On choisit un employé au hasard et on considère les événements suivants : M : « l'employé choisit la modalité m » C : « l'employé est atteint d'une maladie chronique » 1°) a) Déterminer les probabilités suivantes : p(M), p(C/M) et p( / C M ). b) Construire un arbre pondéré décrivant cette situation. 2°) a) Calculer la probabilité que cet employé ait choisit la modalité m et soit atteint d'une maladie chronique. b) Calculer la probabilité que cet employé n'ait pas choisi la uploads/Management/ hofd-pdf.pdf
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- Publié le Jui 19, 2022
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