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Introduction à l’analyse des données Olivier Godechot Introduction. • Les donné

Introduction à l’analyse des données Olivier Godechot Introduction. • Les données statistiques : de très nombreuses variables. • Aucune n’est parfaite • La perception d’un phénomène appréhendée comme la combinaison d’un grand nombre de variables • Comment faire pour tenir compte de l’ensemble de l’information ? Introduction. Suite • Faire des tableaux croisés (variable x*y) ou calculer des coefficients de corrélation. • Problème : si 10 variables ->45 tableaux croisés. Si 100 variables, 4950 tableaux croisés • Autre méthode : les indices • Exemple : indice d’inflation. Indice de développement humain, BIP40 • I=a1.X1+a2.X2+a3.X3 • Problème : arbitraire de la formule et des pondérations Introduction. Fin • Trouver des méthodes pour synthétiser les variables sans trop les déformer. • Trouver des axes (qui sont alors des indices) qui respectent la forme du nuage multidimensionnel, c’est-à-dire la forme de la relation entre les variables. Les différentes méthodes • Les méthodes factorielles de représentation – Analyse en composantes principales (ACP). Variables quantitatives. – Analyse factorielle de correspondances (AFC). Analyse d’un tableau croisé de deux variables qualitatives. – Analyse des correspondances multiples (ACM). Plusieurs variables qualitatives. • Les méthodes de classification (des individus) – Classification ascendante hiérarchique (CAH) – Classification autour des centres mobiles • La discrimination L’analyse en composantes principales • Historiquement, la plus ancienne (1901, Pearson). • Utilisation importante par les psychologues du QI. • Relativement peu utilisée en sociologie • Plus facile à expliquer • AFC et ACM sont des ACP particulières Un exemple de mise en oeuvre Carole-Anne Rivière, 2001, « Le téléphone un facteur d’intégration sociale », Économie et Statistiques, n°345. ACP. L’idée • Représenter des données multidimensionnelles sur un nombre limité de dimensions en déformant au minimum les données • La méthode : un changement de repères. • Les axes du nouveau repère sont calculés à partir des axes originaux de l’ancien repère. • Ces nouveaux axes sont hiérarchisés en fonction du degré de fidélité aux distances entre les points dans le nuage. • CQ : les premiers axes donnent une assez bonne représentation des données. Ex: emploi 2000. salaire(log), Âge et âge de fin d’étude Exemple très simple en deux dimensions 69 68 67 65 64 63 62 56 55 54 53 52 48 47 46 45 44 43 42 38 37 35 34 33 31 -0,9 -0,4 0,1 0,6 1,1 1,6 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 Logarithme du salaire Âge de fin d'études Le plan factoriel issu de l’ACP 69 68 67 65 64 63 62 56 55 54 53 52 48 47 46 45 44 43 42 38 37 35 34 33 31 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -2,4 -1,9 -1,4 -0,9 -0,4 0,1 0,6 1,1 1,6 2,1 Axe 1 C’est le même graphe, mais l’axe horizontal du graphe de droite résume mieux l’info ici. 69 68 67 65 64 63 62 56 55 54 53 52 48 47 46 45 44 43 42 38 37 35 34 33 31 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 -2,4 -1,9 -1,4 -0,9 -0,4 0,1 0,6 1,1 1,6 2,1 Axe 1 69 68 67 65 64 63 62 56 55 54 53 52 48 47 46 45 44 43 42 38 37 35 34 33 31 -0,9 -0,4 0,1 0,6 1,1 1,6 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 Logarithme du salaire Âge de fin d'études Entrons un peu dans la méthode • Inertie : moyenne des carrés des écarts entre les points du nuage et le centre du nuage (point moyen). • Comment définir une distance ? Distance euclidienne transformée. d²(a,b)=(xb-xa)²+(yb-ya)²+…(zb-za)² Arbitraire. D’où le choix préalable de prendre comme « métrique » la variance. On centre et on réduit toutes les variables. Pour toutes les variables x, on calcule (x-m)/s (la variable moins la moyenne divisée par l’écart-type). Où ça devient sioux • Un problème d’optimisation sophistiquée : On cherche à projeter orthogonalement le nuage dans un sous espace de dimension k tel que la distance entre les projections des points du nuage sera maximale. • Une solution complexe mathématiquement : – Cet espace est engendré par les vecteurs propres associés aux k plus grandes valeurs propres de la matrice des coefficients de corrélation des variables. – Le premier axe est engendré par le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre… – Le deuxième axe, etc… – Ces axes sont orthogonaux entre eux. Soyons fous et regardons dans le détail Données originales cs2 lsalred adfen agen 3 9.63 22.51 42.79 X= 4 9.17 20.01 40.07 5 8.66 18.02 39.41 6 8.79 16.67 38.33 Données centrées réduites cs2 lsalred adfen agen 3 1.31 1.26 1.39 Y= 4 0.24 0.28 -0.04 5 -0.92 -0.51 -0.39 6 -0.62 -1.04 -0.96 • Matrice de corrélation lsalred adfen agen lsalred 1.0000 0.9420 0.9199 Y’Y= adfen 0.9420 1.0000 0.9767 agen 0.9199 0.9767 1.0000 Valeurs propres de la matrice de corrélation Valeur propre Différence Proportion Cumulée 1 2.89259588 2.80585359 0.9642 0.9642 2 0.08674229 0.06608046 0.0289 0.9931 3 0.02066183 0.0069 1.0000 Vecteurs propres Prin1 Prin2 Prin3 lsalred 0.571072 0.804163 0.164918 adfen 0.582667 -.255561 -.771484 agen 0.578253 -.536666 0.614503 Espace des variables Espace des individus agen adfen lsalred -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 -1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Axe 1 Axe 2 6 5 4 3 -0,5 0 0,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Axe 1 Axe 2 Prin2 Quelques règles • On n’a pas le droit dans une ACP de superposer les individus et les variables. Deux sous-espaces de dimensions et de significations différentes. Variables supplémentaires, classes de variables qualitatives, individus supplémentaires… • Caractère tautologique de la relation entre variables actives et axes. • Variables supplémentaires quantitatives : on peut projeter des variables qui n’ont pas participé à la construction des axes dans l’espace des variables. La coordonnée de l’axe est égale au coefficient de corrélation entre l’axe et la variable. • Variables supplémentaires qualitatives : on représente le point moyen par modalité dans l’espace des individus. • Individus supplémentaires. On utilise pour les positionner la combinaison linéaire des variables actives définies par l’axe. Les différences entre les MCO et l’ACP • Différence entre variable expliquée et explicative vs pas de différences entre actives et supplémentaires • Projection orientée (// à Y ) vs meilleure projection possible. • « Deux » droites de régression : Y=a x+ b différent de X=cY+d vs un seul premier axe issu de l’ACP • Modèle plutôt explicatif vs modèle plutôt descriptif L’analyse factorielle de correspondance • Technique de représentation de tableaux croisés : 2 variables qualitatives croisées entre elles. Connaît bonus: Bien Vague Non Total Cadre Front 9 6 4 19 Cadre Support 6 6 5 17 Technicien 11 14 19 44 Total 26 26 28 80 Une ACP particulière. On se dote d’une distance la distance dite du chi-deux : 2 '. ' 1 . . ' , ) ( i j i p j i ij j i i n n n n n n d − =∑ = AFC (suite) • Ici on ne centre pas les données, on ne les réduit pas. • Mais on va chercher les valeurs propres d’une matrice particulière : M=D2-1N’D1-1N • Où N matrice des effectifs du tableau croisé, N’ sa transposé, D1 et D2 les matrices diagonales contenant sur la diagonale respectivement les totaux en ligne et en colonne. • Le terme général de matrice à diagonaliser est le suivant : ∑ = = p k j k kj ki ij f f f f m 1 . . AFC (suite) • L’ACP des profils lignes ou des profils colonnes produit des résultats similaires. • On peut alors superposer l’espace des variables et des individus. L’ACM • L’ACM est une AFC particulière… • Pour l’AFC, on part d’un tableau croisé déjà constitué… pour l’ACM on part du tableau disjonctif complet. • R= Z= • B=Z’Z= 2 2 4 2 1 3 3 1 2 1 2 4 1 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 2 0 1 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 1 0 0 1 2 0 0 0 2 L’interprétation • Le choix du nombre d’axe – En ACP (>1) – En AFC et ACM (critère du coude) • La signification des valeurs propres – % d’inertie – Mais … pb passage AFC et ACM • Les coordonnées • La contribution • La qualité • Le cos2 • uploads/Management/ introduction-a-l-analyse-des-donnees.pdf