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Université de Montpellier. MOMA- L2 Sciences de Gestion 2021-2022. Statistiques

Université de Montpellier. MOMA- L2 Sciences de Gestion 2021-2022. Statistiques 2. Cours. Djamal Echikr. 1 STATISTIQUES 2 (chap 1-3) En Gestion, pour prendre des décisions, et donc gérer de l’aléatoire, il faut maîtriser : - le modèle probabiliste usuel - les principales lois de probabilité CONTENU : - Modélisation de situations de probabilités (épreuve aléatoire, univers, évènements…). - Analyse des variables aléatoires discrètes et continues (lois et densités de probabilités, espérance mathématique, variance, écart type, fonction de répartition…). - Etude des principales lois statistiques utilisées en gestion (loi binomiale, loi de poisson, loi normale…). Lecture de tables statistiques. - Exemples d’applications dans le domaine de la gestion : prévision, aide à la décision, gestion de la qualité ... ORGANISATION : 9 cours de 3h, 8 travaux dirigés de 1h30, CC et examen final (1h15 et 2h). Evaluation de CC, vers la séance 5 de TD . Note : CC 30%, Examen 70%. Plan du cours : 1. Dénombrements. 2. Langage des probabilités. Equiprobabilité. Probabilités conditionnelles. Bayes. 3. Variables aléatoires discrètes. Exemples. Paramètres d’une v.a.d : espérance, variance, écart-type. Situations. 4. Lois discrètes usuelles : BINOMIALE, POISSON, GEOMETRIQUE, ... Lecture de tables 5. Variables aléatoires continues. Densités, fonction de répartition. Exemples. Paramètres 6. Lois continues usuelles : NORMALE, EXPONENTIELLE, … Lecture de tables. 7. Loi normale : intervalles usuels, aspects divers. 8. Loi des grands nombres et Théorème Central Limite. Application : Approximations de lois, échantillonnage 9. Développement, révisions. Planning prévisionnel des TD : TD 1 : Planche 1 (vocabulaire, probabilités élémentaires) TD 2 : correction planche 1. Planche 2 (variables aléatoires discrètes) TD 3 : correction planche 2. Planche 3 (lois discrètes usuelles) TD 4 : correction planche 3. Planche 4 (lois continues) TD (ou CM) 5 : Examen de CC TD 6 : correction planche 4. Retour copies CC. Planche 5 (Inégalités et convergences) TD 7 : correction planche 5. Planche 6 (exercices supplémentaires et révisions) TD 8 : correction planche 6, révisions. Bibliographie et Webographie : - Tout ouvrage de Terminale S ou ES , de DUT / BTS Tertiaire (Gestion, Comptabilité) - OpenBook « Statistiques et Probabilités » en économie-gestion, éditions Dunod. Christophe Hurlin et Valérie Mignon. - « Probabilités et statistiques pour la gestion et l’économie », Anne-Marie Spalanzani et Sylvie Fréreau, éditions PUG, 2009. - WEB : http://www.maths-france.fr fiches résumant le cours de Terminale Université de Montpellier. MOMA- L2 Sciences de Gestion 2021-2022. Statistiques 2. Cours. Djamal Echikr. 2 Chapitre 1 : Dénombrements (tirages) Mots-clés : tirage, ordre, remise, dénombrements, arrangements, permutations, combinaisons. Soit E un ensemble fini. par exemple : E = { a,b,c,d,e} note un ensemble E qui contient 5 éléments notés a, b, c, d et e. Attention : - Dans les notations avec parenthèses du type ( a ; b ; c ) : l'ordre est pris en compte. (il s'agit d'une liste ordonnée) - Dans les notations avec accolades du type { a ; b ; c } l'ordre n'est pas pris en compte. (il s'agit d'un ensemble) Pour nous, il y a une situation type : E est une urne dont on va tirer aléatoirement un ou plusieurs éléments, formant une liste ou une partie. 1.1. Permutations d’un ensemble E Une permutation est une liste ordonnée des éléments de E. Par exemple : de E = { a, b, c } on peut tirer 6 permutations : (a,b,c) ; (a,c,b) ; (b,a,c) ; (b,c,a) ; (c,a,b) ; (c,b,a) Le nombre de permutations d’un ensemble fini E à n élément vaut n ! (factorielle n) n! = n*(n-1) *(n-2)* ... *2*1 Notation Factorielle : Pour un entier naturel n, on note n! et on lit « factorielle n », le nombre défini par récurrence : n! = n*[(n-1)!]. Par convention : 0! = 1 On a donc : 0! = 1 , 1! = 1 , 2! = 2*1=2 , 3! = 3*2*1 = 6 , 4! = 4*3*2*1 = 24 , 5! = 5*4*3*2*1=120 , etc ... CASIO FC 100 : menu "CTLG" puis "!" / EXE Tirage : On a tiré, de façon ordonnée, tous les n objets disponibles, le résultat du tirage est donc le même ensemble, mais dans un certain ordre différent : on les a réordonné, on parle de « permutation », exactement comme un anagramme. Exemples : - Il y a 5 ! = 120 manières de classer cinq ouvrages dans une bibliothèque - Il y a 7 ! = 5040 anagrammes du mot « GESTION » Attention : nuance avec le terme anglais « permutations », qui concerne, lui, tous les arrangements. Anagrammes : il y a donc n ! anagrammes d’un mot de n lettres distinctes. Mais comment faire s’il y a des lettres identiques ? Réponse : ………………………………………………………………….. Université de Montpellier. MOMA- L2 Sciences de Gestion 2021-2022. Statistiques 2. Cours. Djamal Echikr. 3 Tirages On a une situation type : on doit choisir p objets dans un ensemble qui en contient n ( n ³ p ). On parle de « tirage de p objets parmi n ». De combien de façons peut-on le faire ? Pour répondre, il faut d’abord préciser le type de tirage : avec ou sans remise, avec ou sans ordre. 1.2. Tirages avec remise et ordre : « p-listes » On tire un objet, on le remet, on recommence jusqu’au p-ème. L’idée de « remise » correspond à la notion de répétition possible : Il y a donc n possibilités pour le premier choix, puis à nouveau n pour le second, et ainsi de suite : Tirage 1 : ……………. n choix Tirage 2 : ……………. n choix Tirage 3 : ……………. n choix ... ... Tirage p : ……………. n choix Total : n*n* .. * n = np choix Figure 1 : arbre des possibilités (avec remise) Exemples : - Le nombre de mots de 4 lettres (ayant un sens ou non) possibles avec les 26 lettres de notre alphabet est : 264 - Il y a 104 codes possibles avec un cadenas à 4 chiffres - Il y a 42 façon de tirer deux boules, avec remise, dans une urne qui en contient 4. 1.3. Tirages sans remise, avec ordre : Arrangements C’est une liste, puisque l’ordre compte. L’idée de « sans remise » correspond à l’idée de répétition non autorisée : Une fois qu’un élément a été tiré, il est retiré de l’ensemble, il ne peut plus l’être à nouveau. Les objets sont donc tous différents, il n’y a pas de répétition possible. Il s’agit donc de prendre p éléments distincts parmi n. Donc, après les n choix possibles pour le premier tirage, il n’en reste plus que n-1 pour le second, et ainsi de suite... Pour le p-iéme, il y aura n- (p-1) possibilités : Tirage 1 : ……………. n choix Tirage 2 : ……………. n-1 choix Tirage 3 : ……………. n-2 choix ... ... Tirage p : ……………. n- (p-1) choix Total : n(n-1)(n-2)...(n-(p-1)) Figure 2 : arbre des possibilités (sans remise) Exemples : - le nombre de mots de 3 lettres distinctes : Cela revient à tirer 3 fois une lettre parmi 26, sans remise : On a 26 choix pour la première lettre, 25 pour la seconde, 24 pour la troisième : Au total : 26*25*24 (Figure) - Le nombre de résultats possibles au tiercé. Dans une course à 20 chevaux, il y a 20*19*18=6840 résultats possibles pour l’arrivée des trois premiers. Ce nombre est noté : « nombre d’arrangements de p éléments parmi n ». ATTENTION : en anglais, on dit « permutations », et on note ! ! " An p Université de Montpellier. MOMA- L2 Sciences de Gestion 2021-2022. Statistiques 2. Cours. Djamal Echikr. 4 Avec la notation factorielle : CASIO FC 100 : entrer n / menu "CTLG" / "P" / EXE / p / EXE cas particulier où p=n : on prend tous les éléments et on les réorodonne : on reconnait les Permutations : C’est aussi le nombre d’arrangement de n éléments parmi n, soit : "! ! = !! (!%!)! = !! (')! = $! Que se passe-t-il maintenant si : l’ordre n’a pas d’importance ? On ne s’intéresse plus à des listes, mais à des parties de E 1.4. Tirages sans remise, et sans ordre : Combinaisons On effectue maintenant un tirage sans remise et sans ordre. Le résultat est donc un ensemble, pas une liste !! une partie à p éléments non ordonnée, puisqu’on s’intéresse à quels sont les p objets tirés, quel que soit l’ordre dans lequel ils ont été tirés Dans les arrangements, une même partie à p éléments avait été comptée autant de fois qu’il y avait de permutations des p objets entre eux, soit p!. On a donc , en notant , ou !" #$ (attention ! deux écritures possibles) le nombre cherché, : : nombre de combinaisons de p objets parmi n. Noter que ce nombre correspond au nombre de parties à p éléments dans un ensemble à n éléments Exemples : - Dans uploads/Management/ l2-probas-stat-cours-21-22-chap-1-3-1.pdf