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Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 1 0.1. PRE-REQUIS - cou

Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 1 0.1. PRE-REQUIS - cours d’analyse infinitésimale I - cours de géométrie analytique - cours d’algèbre linéaire et matricielle - cours de trigonométrie 0.2. PRE-ACQUIS. - cours de complément de mathématiques. - cours de statistique mathématique. - cours de probabilité. - cours de recherche opérationnelle. 0.3. STRUCTURE DU COURS. Chapitre I : Intégrales multiples. Chapitre II : Intégrales particulières et transformées de Laplace Chapitre III : équations différentielles Chapitre IV : fonctions complexes. Chapitre V : séries de Fourier. 0.4. BIBLIOGRAPHIE. 0. Murray R. Spiegel, théorie et applications de l’analyse, New-York, 1983. 1. J. Trignan, exercices d’analyse avec rappels et solutions développées, Masson et Cie, Paris 6eme, 1974. 2. B. Calvo, J. doyen, A. Calvo, F. Boschet ; cours d’analyse intégrales multiples, « intégrales curvilignes », Paris 5eme, 1977. 3. Frank Ayres JR, théorie et applications des équations différentielles. New-York, 1986. 4. P. thuillier, JC. Belloc, mathématiques analyses 3, Masson, Paris, 1989. 5. Jean Paul Margirier, mathématiques analyse » rappels de cours et exercices résolus, DUNOD, Paris, 1994. 6. Saint Martin, Problèmes résolus de mathématiques, tome 2, Dunod, Paris, 1987. 7. Murray R. Spiegel, transformées de la place ’’ cours et problèmes’’, Paris, 1980. 8. Kamiantako Miyamueni, mathématiques générales pour économistes, Kinshasa, mai 2004. 9. J. Quinet, cours élémentaire de mathématiques supérieures, tomes 3, Paris 1964. 10. Bernard Calvo, Jacques doyen, Adina Calvo, Françoise Boschet, exercices d’analyse, Armand Collin, Paris, 1971. Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 2 CHAPITRE I. INTEGRALES MULTIPLES I.1. INTEGRALE DOUBLE I.1.1. INTEGRATION EN COORDONNEES CARTESIENNES Soit z= f(x,y), une fonction continue sur une région finie du plan xoy. Subdivisons cette région (Voir la figure 1) en n sous régions R1, R2,..,Rn, d’aires respectives …, Dans chaque sous- région , choisissons un point Pk( xk,yk) et écrivons la somme Définissons maintenant le diamètre d’une sous région comme la distance maximum entre deux quelconques de ses points (à l’intérieur ou sur la frontière) et désignons par le diamètre maximal de toute les sous régions ; supposons que les nombre de sous régions croisse de manière que , lorsque , alors l’intégrale double de la fonction f(x,y) sur la région est définie par : 0 x y Figure 1 Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 3 I.1.2. CAS PARTICULIERS a. Domaine d’intégration rectangulaire. b. Domaine d’intégration défini par deux courbes. I.1.3. PROPRIETES DES INTEGRALES DOUBLES a) Si f(x, y) et g(x, y) sont continus sur R, Alors : 0 y x a b d c Figure 2 x 0 y Figure 3 a b Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 4 b) Si f(x, y) est continue dans le domaine R et un réel non nul, alors : c) Si le domaine d’intégration R est constitué de deux parties R1 et R2 telles que alors : d) Alors : dx dy y h x g dydx y h x g b a x x b a x x           ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ). (     e) I.1.4. APPLICATIONS 1. et par la droite . SOLUTION Ou . y x 0 (1,1) Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 5 SOLUTION xy= 16 et par les droites y=x, y= 0 et x= 8 SOLUTION y x (4,4) 4 2 4 8 x= 8 y=x xy= 16 y X Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 6 y=x2 et par les droites y= 4et x= 0 SOLUTION y x (0,b) (a,0) (0,-b) (-a,0) 4 2 x y Y=4 Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 7 SOLUTION EXERCICES SUPPLEMENTAIRES 1. Calculer l’intégrale de définie sur le domaine 2. Calculer où R est le demi-cercle 3. Calculer, pour le domaine D intérieur au triangle formé par les droites l’intégrale double 4. Calculer x y 2p 2p Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 8 I.1.5. CHANGEMENT DE L’ORDRE D’INTEGRATION Ex1 : calculer SOLUTION Ex2 : SOLUTION I.1.6. CHANGEMENT DES VARIABLES 1. Coordonnées curvilignes Soit une fonction définie et dérivable sur la région R du plan X0Y délimitée par la courbe . Soient x= et y= des fonctions définies et dérivables sur la région R’ du plan U0V. x y 1 3 X=3y x y 1 1 Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 9 Soient U= (x, y) et V= (x, y) des fonctions définies et dérivables du plan X0Y. Les fonctions transforment d’une manière biunivoque les fonctions U et V en x et y On a : à exprimer en fonction de U et V. Sachant que x= Finalement, on a : 2. Coordonnées polaires y x P(x,y)=(r,Ѳ ) r Ѳ Figure 4 Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 10 En coordonnées polaires, on change les variables comme suit : (Voir figure 4) Finalement, on a : EXEMPLES 1. Evaluer l’intégrale où R est la région limitée par les droites y= 2x+3, y=2x+1, y=5-x et y=2-x SOLUTION x y y= 2x+3 y=2x+1 y=5-x y=2-x Posons y-2x=U Y+x=V Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 11 2. Calculer , le domaine D étant limité par : Posons U=x2-y2 V=2xy En effet, (x2+y2)2=(x2-y2)2+(2xy)2= U2+V2 3. Calculer où D est le domaine du plan X0Y limité par x2+y2=4 et x2+y2=9 SOLUTION D U V x y V=8 V=4 U=9 U=1 X Y Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 12 4. Calculer l’intégrale SOLUTION 16 ² cos 1 1 1 0 0 7 1 0            dr d r y²)² dydx x² (x² - x² 5. Calculer l’intégrale double où R est la région du plan extérieure à la parabole y2-2x=0 SOLUTION La parabole donnée a pour équation polaire ; L’intégrale double étendue à l’aire intérieure a pour valeur   2 4 4 )² 1 ² ( 2 )² 1 ² ² ( 2 0 0            d r rdr y x dxdy r R ² 6. Calculer, pour le domaine intérieur au cercle trigonométrique x2+y2=1, l’intégrale double SOLUTION x -1 1 y Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 13 7. Calculer, pour le domaine intérieur à la courbe d’équation polaire, l’intégrale double SOLUTION 8. Calculer, pour le domaine intérieur à la courbe d’équation polaire, , l‘intégrale double SOLUTION 9. Calculer, pour le domaine intérieur au cercle x2+y2-2x=0, les intégrales doubles SOLUTION L’équation polaire du cercle est Nous avons donc : I.1.7. APPLICATIONS DES INTEGRALES DOUBLES 1. surface a. surface plane Si , alors la surface comprise entre se calcule en considérant dans l’intégrale double. b. Surface quelconque Soit z= (x, y) 0, une surface quelconque et C une courbe fermée sur la surface z= (x, y). Dans ce cas, on a : Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 14 2. Le volume Le volume sous une surface z= (x, y) où z= , c’est-à-dire le volume d’une colonne verticale dont la base supérieure se situe à la surface et dont la base inférieure se trouve dans le plan X0Y, est définie par l’intégrale double , la région R étant la base inférieure de la colonne. 3. La densité de distribution de matière Soit une distribution de masse ou point massique défini par sur une surface S du domaine D tel que chaque élément S c’est-à-dire S ait la masse . si la limite de , existe, alors ; on appelle la densité de masse La masse totale de la surface S sera égale à et à la limite, cette somme est 4. Le moment d’inertie Le moment d’inertie d’un mobile par rapport à un axe est le produit de la masse de ce mobile par le carré de sa distance à cet axe. Le moment d’inertie d’un nombre déterminé de mobiles par rapport à un même axe est la somme des moments d’inertie des mobiles par rapport à cet axe. C’est donc un point d’équilibre pour une certaine masse. * Cas particuliers 1. Les moments d’inertie d’une région plane R, par rapport aux axes de coordonnées, sont données par : Si la densité , alors : 2. Le moment d’inertie polaire (le moment d’inertie par rapport à la droite passant par l’origine et perpendiculaire au plan de la région) d’une région plane R est donné par : Analyse Mathématique II Assistant Jimmy MALAMBA L. Page 15  Centre de gravité Les coordonnées ( ) du centre de gravite G de la région plane R d’aire A satisfont aux relations : 5. Formule de GREEN dans le plan Soient P, Q, des fonctions univoques et continues définies sur un domaine simplement connexe D dont la frontière est une courbe fermée simple C, alors Où l’on use du symbole indiquer que C est fermée et décrite dans le sens positif. EXEMPLES 1. Trouver l’aire limitée par la parabole et uploads/Management/ math-analyse-ass-tshaka-bac-2.pdf