Analyse Combinatoire Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 1. Applications Le nom

Analyse Combinatoire Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 1. Applications Le nombre d’applications d’un ensemble A à n éléments dans un ensemble B à p éléments est: card F (A; B) = pn Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 2. Ensembles des Parties Soit E un ensemble …ni de cardinal n et P (E) l’ensemble de toutes les parties de E. On a: card P (E) = 2n Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 3. Injections Le nombre d’injections d’un ensemble A à p éléments dans un ensemble B à n; p  n; est: card G (A; B) = n! (n p)! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq En particulier, le nombre de permutations ou bijec- tions d’un ensemble A de cardinal n, est: P (A) = n! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 4. Parties d’un Ensemble Soit B un ensemble …ni de cardinal n. Le nombre de parties de B ayant p éléments, p  n, est: C (n; p) = n! p! (n p)! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 5. Arrangements On appelle arrangement d’ordre p d’un ensemble A à n élément, toute suite ordonnée de p éléments distincts choisis parmi les éléments de A: Le nombre d’arrangements d’ordre p de A, noté A(n; p) est: A(n; p) = n! (n p)! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exemple 1 Combien d’équipes di¤érentes de football (onze joueurs) peut-on former avec les 36 élèves d’une classe en tenant compte de la place des joueurs? Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Si l’on tient compte de la place des joueurs, le nombre d’équipes di¤érentes qu’on peut former est le nombre d’arrangements de onze éléments parmi les 36 élèves de la classe, à savoir: A (36; 11) = 36! (36 11)! = 36! 25! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 6. Combinaisons On appelle combinaison d’ordre p d’un ensemble A à n élément, toute suite non ordonnée de p éléments distincts choisis parmi les éléments de A. Le nombre de combinaisons d’ordre p de A, noté C(n; p) est: C(n; p) = n! p! (n p)! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exemple 2 Combien d’équipes di¤érentes de football (onze joueurs) peut-on former avec les 36 élèves d’une classe sans tenir compte de la place des joueurs? Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Si l’on ne tient pas compte de la place des joueurs, le nombre d’équipes di¤érentes dans ce cas est le nombre de combinaisons de onze éléments parmi les 36 élèves de la classe, à savoir: C (36; 11) = 36! 11!  25! = 600 805 296 Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 7. Permutations avec Répétition On appelle permutation avec répétition d’ordre (p1; :::; pn) d’un ensemble E = fa1; :::; ang, toute suite or- donnée des éléments de E, où l’élément ai est répété pi fois, 1  i  n. Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Le nombre de ces permutations qu’on note P (p1; :::; pn), est: P (p1; :::; pn) = p! p1!:::pn! où: p = p1 + ::: + pn Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exemple 3 Combien d’anagrammes peut-on former avec les lettres du mot OIGNON? Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Le nombre de ces anagrammes est le nombre de permu- tations d’ordre 6 avec les répétitions (2; 2; 1; 1), à savoir: P (2; 2; 1; 1) = 6! 2!2!1!1! = 180 Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 8. Combinaisons avec Répétition On appelle combinaison avec répétition d’ordre p d’un ensemble E = fa1; :::; ang, toute suite non ordonnée des éléments de E de longeur p. Le nombre de ces combinaisons qu’on note K(n; p) est: K(n; p) = C(n + p 1; p) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exemple 4 Soit E = fa; b; cg : ILes combinaisons avec répétition de E d’ordre 1 sont: a ; b ; c Analyse Combinatoire A. El Mossadeq ILes combinaisons avec répétition de E d’ordre 2 sont: aa ; bb ; cc ; ab ; ac ; bc Analyse Combinatoire A. El Mossadeq ILes combinaisons avec répétition de E d’ordre 3 sont: aaa ; bbb ; ccc ; aab ; aac ; abb ; acc ; bbc ; bcc ; abc Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 9. Exercices Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exercice 1 Soit a un élément de E. Déterminer le nombre de sous-ensembles de E de cardi- nal p: (i)qui contiennent a (ii)qui ne contiennent pas a Analyse Combinatoire A. El Mossadeq (iii)En déduire: C(n; p) = C(n 1; p 1) + C(n 1; p) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Solution 1  Le nombre de sous-ensembles de E de cardinal p qui contiennent a est le nombre de parties à (p 1) éléments de E fag, à savoir: C(n 1; p 1) = (n 1)! (p 1)! (n p)! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq  Le nombre de sous-ensembles de E de cardinal p qui ne contiennent pas a est le nombre de parties à p éléments de E fag, à savoir: C(n 1; p) = (n 1)! p! (n p 1)! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Or toute partie de E à p éléments soit elle contient a soit elle ne le contient pas, on en déduit donc: C(n; p) = C(n 1; p 1) + C(n 1; p) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exercice 2 1.Montrer que: C(n; p) = C(n; n p) 2.En déduire que: C(n; n) = C(n; 0) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 3.En déduire que: C(2n; n) = 2C(2n 1; n) = 2C(2n 1; n 1) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 4.En utilisant les développements de (1 1)n et (1 + 1)n, calculer: X fC(n; p) j 0  p  n ; p pairg et: X fC(n; p) j 0  p  n ; p impairg Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Solution 2 1.Soit E un ensemble à n éléments. A toute partie de E à p éléments correspond une et une seule partie de E un ensemble à (n p) éléments qui est son complémentaire, d’où: C(n; p) = C(n; n p) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 2.En particulier: C(n; n) = C(n; n n) = C(n; 0) = 1 L’unique partie de E à n éléments est E. L’unique partie de E à qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide ?. Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 3.Puisque: C(n; p) = C(n 1; p 1) + C(n 1; p) et: C(n; p) = C(n; n p) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq alors: C(2n; n) = C(2n 1; n 1) + C(2n 1; n) = 2C(2n 1; n 1) = 2C(2n 1; n) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 4.En utilisant la formule du binôme on a: (1 + 1)n = n X p=0 C(n; p) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq et: (1 1)n = n X p=0 (1)np C(n; p) = n X p=0 (1)np C(n; n p) = n X p=0 (1)p C(n; p) Analyse Combinatoire A. El Mossadeq En faisant la somme et la di¤érence de ces deux quan- tités, on obtient: 2n = 2 X fC(n; p) j 0  p  n ; p pairg et: 2n = 2 X fC(n; p) j 0  p  n ; p impairg Analyse Combinatoire A. El Mossadeq d’où: P fC(n; p) j 0  p  n ; p pairg = P fC(n; p) j 0  p  n ; p impairg = 2n1 Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exercice 3 Soit A un ensemble à n éléments. 1.Quelle est le nombre de partie de A à p éléments? 2.En déduire le cardinal de P (A). Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Solution 3 1.Le nombre de partie de A à p éléments est le nombre de combinaisons d’ordre p de A, à savoir: C(n; p) = n! p! (n p)! Analyse Combinatoire A. El Mossadeq 2.Notons C (n; p) l’ensemble des éléments de P (A) ayant p éléments. [C (n; p)]0pn forment une partition de P (A) d’où: Analyse Combinatoire A. El Mossadeq card P (A) = n X p=0 card C (n; p) = n X p=0 C (n; p) = (1 + 1)n = 2n Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exercice 4 Combien de plaques minéralogiques portant un matricule de sept caractères peut-on former si les trois premiers sont des lettres et les quatre derniers sont des chi¤res? Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Solution 4 Pour chaque lettre, il y a 26 possibilités, alors qu’il y a 10 possibilités pour chaque chi¤re. Ainsi, le nombre de plaques minéralogiques qu’on peut former est: 263  104 Analyse Combinatoire A. El Mossadeq Exercice 5 A partir d’un groupe de cinq hommes et sept femmes, combien de comités di¤érents composés de deux hommes et trois femmes peut-on former? Qu’en est-il uploads/Management/ p01-analyse-combinatoire-pdf.pdf

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• Publié le Aoû 05, 2022
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• Langue French
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