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Mathématiques appliquées à l’électrotechnique Luc De Mey Année 2016-2017 Ces no

Mathématiques appliquées à l’électrotechnique Luc De Mey Année 2016-2017 Ces notes de cours sont tant qu’à présent en cours d’élaboration. Elles sont complétées par des pages web à l’adresse suivante : http://courstechinfo.be/Math/Elec/ Ces pages web contiennent des exercices interactifs afin de permettre aux étudiants d’apprivoiser les sujets abordés plus facilement encore. Je remercie d’avance les lecteurs qui voudront bien me faire part de leurs remarques éventuelles. Ainsi par exemple, bien que soucieux de ne laisser aucune faute, de calcul ou d’orthographe, je ne doute pas qu’il en reste. Quand vous en trouver, merci de me les signaler en adressant votre courrier à lucdemey@outlook.be Table des matières 1. Opérations arithmétiques ............................................................................................................ 1-1 Vocabulaire des opérations .............................................................................................................. 1-2 L'addition .......................................................................................................................................... 1-3 Définition ...................................................................................................................................... 1-3 Propriétés de l'addition ................................................................................................................ 1-3 Somme algébrique........................................................................................................................ 1-3 Somme de grandeurs ................................................................................................................... 1-3 Addition écrite .............................................................................................................................. 1-4 Exercices ....................................................................................................................................... 1-4 La soustraction ................................................................................................................................. 1-7 Définition ...................................................................................................................................... 1-7 Propriété de la soustraction ......................................................................................................... 1-7 Soustraction écrite ....................................................................................................................... 1-8 Quelques trucs pour soustraire mentalement ............................................................................. 1-8 Exercices ....................................................................................................................................... 1-8 La multiplication ............................................................................................................................. 1-10 1. Définition ............................................................................................................................ 1-10 Propriétés de la multiplication ................................................................................................... 1-11 Multiplication écrite ................................................................................................................... 1-11 Calcul mental .............................................................................................................................. 1-11 Exercices ..................................................................................................................................... 1-12 La division ....................................................................................................................................... 1-14 1. Définition ............................................................................................................................ 1-14 Propriétés de la division ............................................................................................................. 1-14 Divisions entières........................................................................................................................ 1-15 Division écrite ............................................................................................................................. 1-15 Diviser mentalement .................................................................................................................. 1-15 Exercices ..................................................................................................................................... 1-16 2. Les unités de mesure .................................................................................................................... 2-1 Objectif ............................................................................................................................................. 2-1 Le système métrique ........................................................................................................................ 2-1 Les abaques de conversion ............................................................................................................... 2-2 Unités de base et unités dérivées du SI............................................................................................ 2-3 L'écriture des unités ......................................................................................................................... 2-4 Écriture en toutes lettres.............................................................................................................. 2-4 Symboles des unités - Majuscules ou minuscules ? ...................................................................... 2-4 Luc De Mey Table des matières 4 Mathématiques appliquées au domaine technique Préfixes multiples et sous-multiples de 1000 ............................................................................... 2-4 Unités composées ......................................................................................................................... 2-5 3. Fractions ....................................................................................................................................... 3-1 Définition .......................................................................................................................................... 3-1 « Dénomination » ......................................................................................................................... 3-1 Numérateur .................................................................................................................................. 3-2 Nombres entiers et nombres décimaux ....................................................................................... 3-2 Comparons des fractions .................................................................................................................. 3-2 Transformation des fractions ........................................................................................................... 3-3 Simplification .................................................................................................................................... 3-3 Aditions et soustractions .................................................................................................................. 3-4 Multiplication de fractions ............................................................................................................... 3-5 Division de fractions ......................................................................................................................... 3-5 Exercices ........................................................................................................................................... 3-6 4. Puissances de 10 ........................................................................................................................... 4-1 Utilité des puissances de 10 ............................................................................................................. 4-1 Conventions d’écriture ..................................................................................................................... 4-1 Notation scientifique normalisée ..................................................................................................... 4-2 Kilo, méga, giga … milli, micro, nano … ........................................................................................... 4-2 Notation ingénieur Puissances de 1000 ....................................................................................... 4-3 En pratique ....................................................................................................................................... 4-3 Calculs avec puissances de 10 .......................................................................................................... 4-4 5. Couplage de résistances en série ................................................................................................. 5-1 Définition .......................................................................................................................................... 5-1 Répartition du courant et des tensions ............................................................................................ 5-1 Exercice ............................................................................................................................................. 5-1 Exercices ........................................................................................................................................... 5-2 Applications ...................................................................................................................................... 5-2 Résistance additionnelle............................................................................................................... 5-2 Pont diviseur de tension ............................................................................................................... 5-3 6. Couplage de résistances en parallèle ........................................................................................... 6-1 Description du montage ................................................................................................................... 6-1 Résistance équivalente ..................................................................................................................... 6-1 Analogie hydraulique - Conductance ............................................................................................... 6-1 Cas particuliers ................................................................................................................................. 6-2 Exercices ........................................................................................................................................... 6-2 7. Couplage de résistances – Circuits mixtes .................................................................................... 7-1 Exercices ........................................................................................................................................... 7-1 8. Lois de Pouillet et de Matthiessen ............................................................................................. 11-1 La résistivité .................................................................................................................................... 11-1 La longueur ..................................................................................................................................... 11-1 La section ........................................................................................................................................ 11-1 Influence de la température – Loi de Matthiessen ........................................................................ 11-2 Exercices ......................................................................................................................................... 11-3 9. Équation du premier degré ........................................................................................................ 11-1 Objectifs.......................................................................................................................................... 12-1 Qu’est-ce qu’une équation ? .......................................................................................................... 12-1 Résolution des équations ............................................................................................................... 12-1 Exercices ......................................................................................................................................... 12-2 10. Coordonnées cartésiennes ........................................................................................................... 8-1 11. Proportionnalités .......................................................................................................................... 9-1 Grandeurs directement proportionnelles ...................................................................................... 10-1 Coefficients de proportionnalité .................................................................................................... 10-1 Grandeurs inversement proportionnelles ...................................................................................... 10-2 Règle de trois .................................................................................................................................. 10-3 Méthode du passage à l’unité .................................................................................................... 10-3 Exercices ......................................................................................................................................... 10-4 Représentation algébrique d’une proportion directe .................................................................... 10-5 Exercices ......................................................................................................................................... 10-5 12. Pourcentages ................................................................................................................................ 9-1 Introduction ...................................................................................................................................... 9-1 Qu’est-ce qu’un pourcentage ? ........................................................................................................ 9-1 Exercices ....................................................................................................................................... 9-2 Pourcents en plus ou en moins ........................................................................................................ 9-2 On n’additionne pas des € et des % ............................................................................................. 9-2 Risques d’erreurs .............................................................................................................................. 9-3 Exercices ........................................................................................................................................... 9-3 13. Éléments de trigonométrie ........................................................................................................ 11-1 Les triangles .................................................................................................................................... 14-1 Classification des triangles ......................................................................................................... 14-1 Droites particulières ................................................................................................................... 14-1 Propriétés des angles d’un triangle ............................................................................................ 14-1 Le triangle rectangle ....................................................................................................................... 14-2 Théorème de Pythagore ............................................................................................................. 14-2 Une corde en guise d’équerre .................................................................................................... 14-2 Exercices ..................................................................................................................................... 14-3 Luc De Mey Table des matières 6 Mathématiques appliquées au domaine technique Les fonctions trigonométriques ..................................................................................................... 14-4 Objectif ....................................................................................................................................... 14-4 Les angles du triangle rectangle ................................................................................................. 14-4 Dimensions d’un triangle rectangle............................................................................................ 14-4 SOH CAH TOA ................................................................................................................................. 14-4 Trois formules à retenir .............................................................................................................. 14-5 Connaissant un angle et un côté, calculer la longueur d’un autre côté ..................................... 14-5 Exercices ......................................................................................................................................... 14-6 Connaissant les longueurs de deux côtés, calculer la valeur d’un angle.................................... 14-7 Exercices ......................................................................................................................................... 14-7 14. Disjoncteur magnéto-thermique ................................................................................................ 15-1 Surchage ...................................................................................................... Erreur ! Signet non défini. Court_circuit ................................................................................................ Erreur ! Signet non défini. Le disjoncteur magnéto-thermique ............................................................................................... 15-1 L’élément thermique ...................................................................................................................... 15-2 L’élément magnétique ................................................................................................................... 15-3 Courbes de déclenchement des disjoncteurs ................................................................................ 15-3 15. Solutions des exercices ............................................................................................................... 16-1 1-1 http://courstechinfo.be/Math/Elec/co/OperationsArithmetiques.html 1. Opérations arithmétiques Objectifs 1-1 Vocabulaire des opérations 1-2 L’addition 1-3 La soustraction 1-6 La multiplication 1-9 La division 1-13 Objectifs Comprendre la signification des opérations fondamentales. Connaître et savoir utiliser le vocabulaire propre à ces opérations. Maîtriser le calcul mental pour des valeurs simples. Savoir faire les opérations fondamentales par écrit. Apprendre à faire ces calculs avec une calculatrice. Nous avons tous appris dans notre enfance les "quatre opérations". Toujours vues dans le même ordre : l'addition, puis la soustraction, la multiplication et la division. L'apprentissage progressif de chacune de ces opérations s’appuie sur une bonne compréhension de la précédente. On demande aux élèves de l'enseignement fondamental de parvenir à faire mentalement des calculs simples et, par écrit, des calculs avec des nombres de plusieurs chiffres. L'étude des tables de multiplication fut pour ce faire un passage laborieux qui a demandé aux jeunes élèves que vous étiez des heures de travail. Il y a de fortes chances que par la suite vous ayez appris à élever un nombre au carré puis au cube. Vous avez découvert les exposants et plus tard les racines. D’autres opérations pour lesquelles les calculatrices deviennent parfois indispensables. Vous deviniez à ce moment qu'outre les opérations arithmétiques de base, il devait en exister bien d'autres encore et que vous n'utiliserez probablement jamais toutes les touches des calculatrices scientifiques. C'est vers l’âge de 12 ans que l'on apprend à faire des calculs non plus avec des nombres mais avec des lettres censées représenter des variables. Les préadolescents de cet âge sont devenus capables de penser aux opérations arithmétiques de manière abstraite sans les appliquer directement à des nombres précis. Ils sont à même de comprendre certaines propriétés de ces opérations telles que l’associativité, la commutativité, la distributivité etc. Toutes ces notions étant indispensables pour être capable un jour de résoudre des équations, étudier des fonctions et transformer des formules. Bref savoir utiliser le langage mathématique pour traiter des problèmes techniques, commerciaux ou scientifiques. Ce premier chapitre se limite à revenir sur les notions fondamentales que sont les opérations arithmétiques. C’est un retour aux notions de départ, un rappel utile à ceux qui n’ont plus fait de calculs depuis longtemps et qui faute d’en avoir eu l’utilité, ont oublié tout cela. Luc De Mey Opérations arithmétiques 1-2 Vocabulaire des opérations Les opérations arithmétiques sont les opérations que l'on peut faire sur des nombres. Les nombres sur lesquels vont porter les opérations sont appelés opérandes L’opération proprement dite est représentée par un signe opérateur +, -, x, /, !, √ ou par une écriture particulière : mise en exposant, utilisation de nom de fonctions tels que log ou mod. Le signe égal (=) précède la réponse. Chacun aura reconnu les quatre opérations de base : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. La division entière, aussi appelée division Euclidienne, s'utilise quand le résultat ne peut être qu'un nombre entier. (Comment distribuer équitablement 11 caramels à 5 enfants ?) Il n'est pas rare que les mathématiciens ne s’intéressent qu'au reste de la division entière (les deux derniers chiffres des numéros de compte en banque sont le reste de la division de ce n° de compte par 97) Les calculs de puissances et de racines sont à la portée des collégiens lorsque les exposants sont des nombres entiers. Cela se complique et devient beaucoup plus abstrait lorsque les exposants sont des nombres réels et donc pas nécessairement entiers ou positifs. 1-3 http://courstechinfo.be/Math/Elec/co/OperationsArithmetiques.html L'addition Définition L'addition numérique vise à exprimer par un seul nombre, appelé somme, la quantité que représente l'ensemble des nombres ajoutés. L'addition de deux grandeurs physiques donne une grandeur physique de même nature qui résulte de la réunion des valeurs ajoutées. Du point de vue numérique, l'addition est l'opération la plus élémentaire. Compter, c'est déjà additionner. Le résultat de l'addition est appelé somme ou total Les nombres à additionner sont appelés termes de l'addition. Propriétés de l'addition Commutativité a + b = b + a L'ordre des termes est sans importance. Associativité a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Les regroupements de certains termes sont possibles. Zéro est un élément neutre pour l'addition a + 0 = a Ajouter zéro ne change rien. Somme uploads/Management/ mathelec-2ppf.pdf