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JEAN-FRANÇOIS DANTZER ~ !MATHEMATIQlJES )()lJI L Al IN I lNL ~ ANALYSE & PROBABILITES COURS & EXERCICES CORRIGÉS VUIBERT JEAN-FRANÇOIS DANTZER ,,,. MATHEMATIQlJES POUR L'AGRÉGATION INTERNE ANALYSE & PROBABILITÉS COURS & EXERCICES CORRIGÉS VU IBERT Également aux éditions Vuibert: Florence HUBERT & John HUBBARD, Calcul scienifique pour l'agrégation Volume 1 : quations a~gébriques1 traitement du signal et géométrie effective, 432 pages Volume 2 : quations différentie/tes et équations aux dérivées partielles, 304 pages G.H. HARDY & E.M. WRIGHT Introduction à la théorie des nombres, traduction de François SAlNAGEOT, introduction de Catherine GOLDSTEIN, coédition Springer, 608 pages Marc BRIANE & Gilles PAGÈS, Théorie de l'intégration. Cours & exercices. Licence & Master de mathématiques, 336 pages Pierre DUGAC Histoire de l'analyse, préface de Jean-Pierre KAHANE, 432 pages Claudine ROBERT & Olivier COGIS, Théorie des graphes. Problèmes, théorèmes, algorithmes, 256 pages Jean-Étienne ROMBALDI, Interpolation & approximation. Analyse pour /'Agrégation, 384 pages Henri ROUDIER, Algèbre linéaire. Cours & exercices, CAPES & Agrégation, 740 pages Société mathématique de France, sous la direction de Jean-Michel KANTOR, Où en sont les mathématiques ? relié, 448 pages Emmanuel TRÉLAT, Contrôle optimal. Théorie & application, 288 pages •.• et des dizaines d'autres ouvrages de sciences et d'histoire des sciences: www.vuibert.fr Illustration de couverture : aquarelle de Nadine Rombaldi Composition de l'auteur Relecture, correction, maquette et mise en page : Sébastien Mengin Coordination technique : Alain Luguet Couverture : Wl~ ISBN 978 2 7117 4026 0 La loi du 11mars1957 n'autorisantaux termes des alinéas 2 et 3 de /'article 41, d'une part, que les •copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective» et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite» (alinéa 1" de /'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l'accord de l'éditeur. S'adresser au Centre français d'exploitation du droit de copie: 20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70 © Vuibert, juin 2007 -20 rue Berbier-du-Mets, F-75647 Paris cedex 13 Table des matières 1. Topologie sur les espaces métriques 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Distance ........................... . 1.2.1 Diamètre d'une partie, distance entre deux parties 1.2.2 Espace métrique produit . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Norme ........................... . 1.4 Produit scalaire, norme euclidienne, norme hermitienne 1.4.1 Définitions . . . . . . . . . . 1.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . 1.4.3 Inégalité de Cauchy-Schwarz 1.5 Topologie d'un espace métrique 1.5.1 Boule, sphère 1.5.2 Ouverts . . . . . . . 1.5.3 Fermés . . . . . . . . 1.5.4 Adhérence, intérieur 1.5.5 Métrique induite 1 1 4 5 5 5 7 7 8 9 12 12 12 13 14 16 2. Suites dans un espace métrique 17 2.1 Définitions, convergence. . . . . . . . . 17 2.2 Suites dans un espace vectoriel normé 19 2.3 Caractérisation séquentielle . . . . . . 20 2.3.1 Caractérisation séquentielle des bornes supérieure et inférieure 20 2.3.2 Caractérisation séquentielle de l'adhérence . 22 2.3.3 Caractérisation séquentielle d'un fermé . 23 2.4 Suites extraites, sous-suites . . . . . . . . . . . 24 3. Continuité et limite dans les espaces métriques 3.1 Continuité ponctuelle, continuité sur un espace métrique . 3.2 Continuité uniforme sur un espace métrique 3.3 Limite d'une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Continuité et limite ................ . 3.4 Caractérisation séquentielle de la limite et de la continuité . 3.4.1 Caractérisation séquentielle de la limite .. 3.4.2 Caractérisation séquentielle de la continuité . . 3.5 Caractérisation topologique de la continuité ..... . 3.6 Applications à valeurs dans u~ff pace vectoriel normé 29 29 31 33 34 35 35 37 37 38 IV TABLE DES MATIÈRES 4. Espaces métriques complets 41 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . 41 4.1.1 Suites de Cauchy . . . . . . 41 4.1.2 Espaces métriques complets 42 4.2 Exemples d'espaces métriques complets 42 4.2.1 Espaces vectoriels normés de dimension finie 42 4.2.2 Espace fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.3 Partie fermée d'un espace métrique complet 44 4.3 Propriétés des espaces métriques complets 46 4.3.1 Fermés emboîtés . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3.2 Théorème du point fixe . . . . . . . . . . . 46 4.3.3 Prolongement d'une fonction uniformément continue 47 5. Espaces métriques compacts 51 5.1 Définition, exemples . . . . . . . . . . . . 51 5.2 Propriétés d'un espace métrique compact 52 5.3 Produit d'espaces compacts . . . . . . . . 54 5.4 Caractérisation des compacts d'un espace vectoriel de dimension finie muni d'une norme sup 54 5.5 Compacts et continuité . 55 5.6 Applications . . . . . . . 58 6. Espaces connexes 59 6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.2 Connexité et continuité . . . . . . . . . . . . . 59 6.3 Une caractérisation des connexes, applications . 59 6.4 Les parties connexes de lR. . . . . . . 61 6.5 Fonctions continues sur un intervalle 62 6.6 Connexité par arcs . . . . . . . 62 6.6.1 Applications . . . . . . 63 6.7 Homéomorphismes d'intervalles 66 6.8 Composantes connexes . . . . . 67 7. Suites réelles 69 7.1 Définition, structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2 Convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.2.1 Caractérisation des suites réelles convergentes . 73 7.3 Suites monotones, suites adjacentes . 74 7.4 Limite supérieure, limite inférieure 77 7.5 Sous-groupes de (JR., +) . . . . . 79 7.6 Étude de la suite cosnO (0 E JR.) . 81 7. 7 Moyennes de Cesaro . . . . 84 7.8 Relations de comparaisons . 87 7.8.1 La relation 0 87 7.8.2 La relation o 88 7.8.3 L'équivalence 89 TABLE DES MATIÈRES 8. Fonctions dérivables 8.1 Dérivation des fonctions vectorielles 8.1.1 Définition .......... . 8.1.2 Développement limité d'ordre 1 8.1.3 Dérivée d'une fonction composée 8.1.4 Dérivées d'ordre supérieur .... 8.1.5 Applications de classe Ck par morceaux 8.2 Cas où JE est de dimension finie ........ . 8.2.1 Expression de la dérivée par rapport à une base . 8.2.2 Arc paramétré, arc géométrique . . . 8.3 Cas des fonctions à valeurs réelles ..... . 8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5 8.3.6 Dérivée d'une application réciproque Dérivée en un extremum local . . . . Les théorèmes de Rolle . . . . . . . . Le théorème des accroissements finis Applications du théorème des accroissements finis La formule de Taylor-Lagrange .. 8.4 Cas des fonctions à valeurs dans un e.v.n. 8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 Inégalité des accroissements finis . Inégalité de Taylor-Lagrange ... La formule de Taylor avec reste intégral (JE Banach) La formule de Taylor-Young ............. . 9. Comparaison locale ou asymptotique de fonctions 9.1 Relations de comparaison 9.1.1 La relation 0 9.1.2 La relation o .. . 9.1.3 L'équivalence .. . 9.2 Développements asymptotiques 9.3 Développements limités . . . . 9.3.1 Définition, propriétés .. 9.3.2 Développement limité et dérivation . 9.3.3 Opérations sur les développements limités 10. Suites définies par une récurrence 10.1 Définitions, exemples ............ . 10.1.1 Suites récurrentes d'ordre 1 .... . 10.1.2 Suites récurrentes d'ordre k (k EN*) 10.2 Théorème du point fixe pour un espace métrique complet 10.3 Théorème du point fixe pour un espace métrique compact 10.4 Suites réelles récurrentes d'ordre 1 ........ . 10.4.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Points fixes attractifs, points fixes répulsifs 10.4.3 Exercices .................. . V 91 91 91 91 94 96 97 98 98 100 100 100 103 104 106 107 111 112 112 114 114 115 119 120 120 120 122 124 124 124 127 128 131 131 131 133 134 136 138 138 139 141 VI TABLE DES uploads/Management/ mathematiques-pour-l-x27-agregation-interne-analyse-et-probabilites-cours-et-exercices-corriges-pdfdrive.pdf