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ZHIOUA KHALED LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA Page 1 Exercices corrigés Arithmétiqu

ZHIOUA KHALED LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA Page 1 Exercices corrigés Arithmétiques dans Z Exercice 1 : Division Euclidienne Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ? Correction On a 320 39 320 39 281 q b q b = × + ⇔ × = − = . Cherchons les diviseurs de 281 : 1 et 281. Ce sont les seules valeurs possibles de q et b. Exercice 2 : 1. Écrire l'ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6. 2. Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 4 divise 6. 3. Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 4 divise n + 2. 4. Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n − 4. Correction 1. L'ensemble des diviseurs de 6 est D = {−6 ; −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}. 2. n − 4 divise 6 si n − 4 appartient à D, soit si n appartient à D + 4 = {−2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 10}. 3. On peut remarquer que n + 2 = n − 4 + 6. Puisqu'il est évident que n − 4 divise n − 4, le résultat du 2. permet alors d'affirmer que si n − 4 divise n + 2, alors n − 4 divise n + 2 − (n − 4) c'est-à-dire n − 4 divise 6. Réciproquement si n − 4 divise 6 alors n − 4 divise 6 + n − 4 c'est-à-dire n − 4 divise n + 2. On a donc démontré que n − 4 divise n + 2 si et seulement si n − 4 divise 6. 4. On peut raisonner en utilisant le même principe qu'à la question précédente. On remarque que 3n − 4 = 3(n + 1) − 7, et puisqu'il est immédiat que n + 1 divise 3(n + 1), on peut écrire : - si n + 1 divise 3n − 4, alors n + 1 divise 3n − 4 − 3(n + 1) c'est-à-dire n + 1 divise −7 ; réciproquement : si n + 1 divise −7 alors n + 1 divise −7 + 3(n + 1) c'est-à-dire n + 1 divise 3n − 4. L'ensemble des diviseurs de −7 (ou de 7) étant {−7 ; −1 ; 1 ; 7}, on en déduit que n + 1 divise 3n − 4 si et seulement si n + 1 appartient à {−7 ; −1 ; 1 ; 7} soit n appartient à {−8 ; −2 ; 0 ; 6}. Exercice 3 : Trouvez le PGCD des nombres 1640 et 492 en utilisant la décomposition en facteurs premiers, puis en utilisant l’algorithme d’Euclide. Correction Avec l’aide de Maple on a immédiatement : > ifactor(1640); ifactor(492); ( ) 2 3 ( ) 5 ( ) 41 ( ) 2 2 ( ) 3 ( ) 41 et le PGCD : 2 2 .41 164 = . Avec Euclide : 1640 492 3 164 492 164 3 0 = × + = × + donc… Exercice 4 : Quel est le reste de la division par 7 du nombre (32)45 Correction Le reste de 32 dans la division par 7 est 4 ; 42 donne 2, 43 donne 8, soit 1 ; comme 45 = 15.3, on a : ( ) ( ) 15 15 45 45 3 32 4 (7) 4 (7) 1 (7) 1(7) ≡ ≡ ≡ ≡ . Le reste est donc 1. ZHIOUA KHALED LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA Page 2 Exercice 5: 1. Déterminer les restes de la division de 5p par 13 pour p entier naturel. 2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 184n−1 est divisible par 13. Correction 1. p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = 2 : −1 ou 12, p = 3 : −5 ou 8, p = 4 : 1 donc pour 4 p k = le reste est 1, pour 4 1 p k = + le reste est 5, pour 4 2 p k = + le reste est 12 ou −1, pour 4 3 p k = + le reste est 8 ou −5. 2. 4 1 4 1 31 18 n n N + − = + : 31 2 13 5 5(13) = × + ≡ et 18 13 1 5 5(13) = × + ≡ ; on a donc 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 ' 3 31 18 5 5 (13) 5 5 (13) [5 8](13) 0(13) n n n n n n N + − + − + +     = + ≡ + ≡ + ≡ + ≡     . Exercice 5 : Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition 1 : « l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x − 5y = 3 est l’ensemble des couples (4 + 10k ; 9 + 24k) où k ∈ ℤ ». Proposition 2 : Pour tout entier naturel n non nul : « 56n+1 + 23n+1 est divisible par 5 ». Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul : « Si un entier naturel n est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n + 4 et de 4n + 3 est égal à 7 ». Proposition 4 : « x2 + x + 3 [ ] 0 5 ≡ si et seulement si x [ ] 1 5 ≡ ». Proposition 5 : Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix (M vaut 100a+10b+c où a, b, c sont des chiffres entre 0 et 9) et N a pour écriture bca en base dix. « Si l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M − N est aussi divisible par 27 ». Correction Proposition 1 : Faux. 12 et 5 sont premiers entre eux, l’équation 12 5 1 x y − = a des solutions ; particulièrement le couple (3, 7) donc le couple (9, 21) est solution de 12 5 3 x y − = . On opère de manière standard : ( ) ( ) 12 5 3 9 5 9 5 12 9 5 21 0 12 9 5 21 3 21 12 21 12 x y x k x k x y y k y k − = − = = +    ⇒ − − − = ⇒ ⇒    × − × = − = = +    ; les couples (4 + 10k ; 9 + 24k) ne son qu’une partie des couples solutions (la solution 9, 21 n’en fait même pas partie…). Proposition 2 : Faux. 56n+1 + est évidemment divisible par 5 ; 23n+1 n’est formé que de puissances de 2, aucun de ces nombres ne sont divisibles par 5. Proposition 3 : Vrai. Prenons 1 7 n k = + et remplaçons : ( ) 3 4 3 21 4 7 21 7 1 3 n k k k + = + + = + = + puis ( ) ( ) 4 3 4 1 7 3 7 28 7 1 4 n k k k + = + + = + = + ; si le PGCD vaut 7, alors 1 3k + et 1 4k + doivent être premiers entre eux : on doit trouver u et v tels que ( ) ( ) 1 3 1 4 1 3 1 4 3 0 4 u v u u k v k u v v + = = −   + + + = ⇒ ⇒   + = =   . Ok. Proposition 4 : Faux. On teste tous les restes modulo 5 : x 0 1 2 3 4 x2 + x + 3 3 0 4 0 3 donc faux puisqu’on a aussi 3 comme solution possible. ZHIOUA KHALED LYCEE IBN ABI DHIAF MANOUBA Page 3 Proposition 5 : Vrai ( ) 100 10 99 90 9 9 11 10 100 10 M a b c M N a b c a b c N b c a = + +  ⇒ − = − − = − −  = + +  . Si 100 10 M a b c = + + est un multiple de 27, comme 108 4 27 = × , on a [ ] 8 10 0 27 10 8 27 a b c b c a k − + + ≡ ⇒ uploads/Management/ exercices-arithmetique1 1 .pdf