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Sciences de gestion Synthèse de cours exercices corrigés Jeremy DUSSART, Natach

Sciences de gestion Synthèse de cours exercices corrigés Jeremy DUSSART, Natacha JOUKOFF , Ahmed LOULIT, Ariane SZAFARZ & Cours et exercices adaptés aux besoins des gestionnaires et des économistes Approche progressive illustrée de nombreux exemples Corrigés détaillés de tous les problèmes et exercices Collection synthex Mathématiques appliquées à la gestion http://fribok.blogspot.com/ Sciences de gestion Synthèse de cours & Exercices corrigés Mathématiques appliquées à la gestion Jeremy DUSSART Natacha JOUKOFF Ahmed LOULIT Ariane SZAFARZ Direction de collection : Roland Gillet professeur à l’université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Collection synthex http://fribok.blogspot.com/ Composition sous L AT EX : ScripT EX Toute reproduction, même partielle, par quelque procédé que ce soit, est interdite sans autori- sation préalable. Une copie par xérographie, photographie, ﬁlm, support magnétique ou autre, constitue une contrefaçon passible des peines prévues par la loi, du 11 mars 1957 et du 3 juillet 1995, sur la protection des droits d’auteur. 978-2-7440-7374-8 Tous droits réservés ISBN : ISSN : 1768-7616 © 2009 Pearson Education France http://fribok.blogspot.com/ À Cécile, Céline, Sylvain, Cédric, Yasmina et Clara, en espérant qu’un jour ils approfondiront cette matière fascinante qui leur a pris un peu du temps de leurs parents. À Emerson, pour l’encourager à découvrir ce domaine que son grand frère a pris plaisir à investiguer. http://fribok.blogspot.com/ Sommaire Les auteurs VII Introduction IX Chapitre 1 • Rappels et déﬁnitions 1 Chapitre 2 • Suites réelles 31 Chapitre 3 • Les fonctions d’une seule variable 51 Chapitre 4 • Optimisation des fonctions d’une seule variable 101 Chapitre 5 • Les matrices 121 Chapitre 6 • Les fonctions de plusieurs variables réelles 161 Chapitre 7 • Optimisation des fonctions de plusieurs variables 201 Références bibliographiques 235 Index 237 Sommaire V http://fribok.blogspot.com/ Les auteurs Jeremy Dussart est ingénieur de gestion de la Solvay Business School (SBS) de l’Université Libre de Bruxelles (ULB). Il est chercheur en stratégie au Centre Emile Bernheim (CEB) et enseigne les mathématiques en privilégiant les applications pratiques à ce domaine. Natacha Joukoff est mathématicienne diplômée de l’ULB. Passionnée par la pédagogie, elle enseigne les mathématiques à la SBS, elle participe aussi activement aux cours pré- paratoires à destination des futurs étudiants et aux cours de soutien organisés pour ceux qui, en première année de sciences de gestion, ont des difﬁcultés à s’adapter au rythme de l’enseignement des mathématiques. Ahmed Loulit est titulaire d’un DEA de sciences de gestion (SBS) et d’un doctorat de mathématiques (ULB), obtenu sous la direction du professeur Jean-Pierre Gossez. Il est enseignant en mathématiques (SBS) et chercheur au CEB. Il prépare actuellement une thèse en modélisation ﬁnancière sous la direction du professeur André Farber. Ariane Szafarz est professeur de mathématiques et de ﬁnance à l’ULB. Elle y dirige le Centre Emile Bernheim (CEB) et est membre du Département d’économie appliquée (DULBEA). Diplômée en philosophie des sciences, elle a rédigé une thèse de doctorat de mathématiques sous la supervision du professeur Christian Gouriéroux (CREST, Paris), avec qui elle a régulièrement collaboré. Présidente de l’École doctorale en gestion de l’ULB (SBS), elle participe à divers projets scientiﬁques, nationaux et internationaux, et encadre plusieurs doctorants du département de ﬁnance dont elle assume la responsabilité avec les professeurs Ariane Chapelle et André Farber. Enﬁn, elle est l’auteur de nombreux livres et d’articles scientiﬁques en économétrie ﬁnancière. Les auteurs VII http://fribok.blogspot.com/ Introduction L’objectif principal de cet ouvrage est d’apporter aux étudiants en sciences de gestion les bases mathématiques nécessaires pour aborder les diverses branches de leur discipline. À cette ﬁn, il propose un compromis entre une vision mathématique abstraite qui ignorerait les aspects pratiques et une démarche strictement utilitariste qui masquerait la fécondité et l’esthétique du raisonnement mathématique. Selon le principe de la collection, chaque chapitre commence par une synthèse de cours illustrée de nombreux exemples, remarques pratiques et commentaires. Ceci exclut les démonstrations (qui peuvent être trouvées dans les ouvrages de référence) au proﬁt d’explications mettant en évidence la logique de la succession des matières. Ce sacriﬁce, difﬁcile à consentir pour un mathématicien, est compensé par des déﬁnitions précises, des hypothèses explicites et des résultats rigoureux. Les exercices et problèmes, qui occupent la seconde et majeure partie de chaque chapitre, se répartissent entre applications directes des résultats théoriques et formalisation des questionsposéesparlessciencesdegestion.Toussontaccompagnésdessolutionsdétaillées qui mentionnent, le cas échéant, l’existence d’autres approches possibles. Les sciences de gestion sont jeunes et dynamiques et leurs contours théoriques ﬂuctuent. Dresser l’inventaire détaillé des outils mathématiques qu’elles emploient constitue une mission périlleuse. Nous avons choisi la voie, plus commode, de la cohérence mathéma- tique thématique, quitte à délaisser certaines matières, qui, comme les intégrales ou les applications linéaires, apparaissent moins souvent dans les applications, mais sont tout aussi passionnantes. Il reste donc matière à un second volume. Ce livre est organisé de la manière suivante. Le premier chapitre introduit les notions de base et les notations qui seront utilisées tout au long des pages qui suivent. Il va cependant au-delà des simples rappels en présentant notamment la résolution d’équations dans l’ensemble des nombres complexes. Le chapitre 2 étudie les suites réelles qui permettent de caractériser l’évolution et la convergence de processus déterministes en temps discret. Le chapitre 3 développe la théorie des fonctions d’une variable tandis que le chapitre 4 est dédié à la détermination des extrema de ces fonctions. Le chapitre 5 est consacré aux notions fondamentales relatives aux matrices et à la résolution de plusieurs problèmes d’algèbre linéaire. Le chapitre 6 présente les fonctions de plusieurs variables dont les applications pratiques à la gestion sont multiples. Logiquement, le chapitre 7 approfondit la recherche des extrema de telles fonctions. ** * Introduction IX http://fribok.blogspot.com/ Il y a près d’un an, le professeur Roland Gillet nous a proposé de rédiger cet ouvrage. Nous avons saisi avec enthousiasme cette opportunité de transmettre notre expérience de l’enseignement des mathématiques aux gestionnaires. En effet, notre équipe dispense depuis plusieurs années ce type de cours à la Solvay Business School de l’Université Libre de Bruxelles. Arrivés au terme de la rédaction, nous lui sommes très reconnaissants de la conﬁance qu’il nous a témoignée et des bons moments passés en sa compagnie qui nous ont permis d’apprécier sa rigueur intellectuelle, son sens de l’organisation et son humour communicatif. Il convient de souligner le soutien efﬁcace et les encouragements répétés que nous a pro- digués Pearson Education France, et tout spécialement Pascale Pernet et Antoine Chéret, avec qui nous avons pris un grand plaisir à travailler. Ils conserveront probablement le souvenir que les matheux sont des gens certes pointilleux, mais respectant les délais. Nous remercions également Martine Anciaux-Mundeleer pour sa patiente relecture et ses commentaires judicieux, sans oublier les générations d’étudiants et d’élèves-assistants qui nous ont aidés à ajuster le contenu de notre enseignement et à afﬁner l’approche pédagogique d’une discipline qui suscite parfois une certaine appréhension. Enﬁn, nous formulons l’espoir que les lecteurs découvriront au ﬁl de cet ouvrage que les mathématiques constituent non seulement un outil précieux pour les sciences de gestion, mais aussi un savoir fascinant dont l’apprentissage procure des joies insoupçonnées... Jeremy Dussart Natacha Joukoff Ahmed Loulit Ariane Szafarz Bruxelles, juin 2004 X Introduction http://fribok.blogspot.com/ 1 Chapitre Rappels et déﬁnitions Rappels et déﬁnitions 1. Ensembles de nombres ............... 2 2. Relation ⩽dans R .................. 3 3. Sous-ensembles convexes de R ...... 4 4. Fonctions de R dans R .............. 4 5. Résolution d’équations dans C ....... 6 5.1 Nombres complexes .............. 6 5.2 Plan complexe et forme trigonométrique .................. 7 5.3 Polynômes à coefﬁcients complexes ........................ 9 6. Topologie et dépendance linéaire dans Rn ............................ 9 Problèmes et exercices ...... 12 Relation ⩽dans R et les sous-ensembles convexes de R 12 Fonctions de R →R ................. 14 Nombres complexes ................... 24 Topologie et dépendance linéaire dans Rn ........................... 27 Ce chapitre présente les notions de base et les notations utilisées dans la suite du livre (1), en commençant par les ensembles de nombres. Il évolue ensuite vers la structure ordonnée de l’ensemble R des nombres réels. De là, les intervalles et autres ensembles convexes de R sont introduits. Les fonctions réelles dont l’étude détaillée apparaît dans les chapitres 3 et 4 sont brièvement présentées. La généralisation de l’ensemble R est abordée selon deux directions. D’une part, au plan algébrique, les nombres complexes permettent la résolution d’équations polynomiales sans solution réelle. D’autre part, les ensembles de n-uples réels constituent la base indispensable à l’examen des fonctions de plusieurs variables qui font l’objet des chapitres 6 et 7. 1. Nous supposerons néanmoins acquises les notions de base et les notations de la théorie des ensembles et de l’algèbre élémentaire. Rappels et déﬁnitions 1 http://fribok.blogspot.com/ 1 Ensembles de nombres Les ensembles de nombres sont présentés du plus petit au plus grand, partant de celui des nombresnaturels,utiliséscommunémentpourdénombrerdesobjets.Lesnombresentiers sont obtenus en ajoutant aux nombres naturels leurs opposés, qui sont munis d’un signe négatif. Les nombres rationnels permettent d’introduire toutes les fractions (division de deux nombres entiers) à dénominateur non nul. Enﬁn, l’ensemble des nombres réels qui n’est pas dénombrable, est déterminé par analogie avec les points d’une droite, appelée la droite réelle. Notations • N est l’ensemble des nombres naturels {0, uploads/Management/ maths-appliquee-a-la-gestion-pdf.pdf