Raisonnement par analyse-synthèse N. Jacquet, V. Bansaye Niveau : Terminale Di
Raisonnement par analyse-synthèse N. Jacquet, V. Bansaye Niveau : Terminale Di culté : ⋆⋆ Durée : 1h à 1h30 Rubrique(s) : Analyse (étude de fonctions, dérivation, équations), Logique (analyse- synthèse) . Dans les classes du secondaire, vous ne cessez de raisonner en mathématiques : raisonne- ment par l'absurde, par contraposée, par récurrence, etc. Cet atelier va vous permettre de comprendre un type très utile de raisonnement : l'analyse-synthèse, mais en fait vous l'avez déjà utilisé sans le savoir dans de nombreuses démonstrations. . . et parfois cela a-t-il pu vous être reproché . . . La petite histoire... Les mathématiques ont cela de magique que l'on peut partir du résultat pour remonter à la solution. Dans cet atelier, nous donnons quelques exemples. Monsieur et Madame Synthèse ont deux lles. . . Exercice 1 (Jeu de Nim). Deux joueurs s'arontent sur le jeu suivant. Ils disent chacun leur tour un nombre entre 1 et 7. Les nombres sont additionnés et dès que le cumul des nombres qu'ils ont proposés vaut 100, le jeu est ni. Le joueur qui a atteint 100 et a donc parlé en dernier gagne. Comment jouer ? Exercice 2 (Décomposition d'une fonction réelle). L'exercice consiste à montrer que toute fonction réelle est somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire, de manière unique. Une fonction dé nie sur R est paire si pour tout x réel, f(x) = f(−x). Une Réponse : Anna et Lise Raisonnement par analyse-synthèse Mat' les Ressources fonction dé nie sur R est impaire si pour tout x réel, f(−x) = −f(x). Soit f : R →R. On va montrer l'existence puis l'unicité de la décomposition. 1. Montrer qu'il existe deux fonctions g : R →R et h : R →R telles que g soit une fonction paire, h une fonction impaire et pour tout x ∈R, f(x) = g(x) + h(x). 2. Montrer que si g1 et g2 sont deux fonctions paires et h1 et h2 deux fonctions impaires telles que pour tout x ∈R, f(x) = g1(x) + h1(x), f(x) = g2(x) + h2(x), alors pour tout x ∈R, g1(x) = g2(x) et h1(x) = h2(x). Exercice 3 (Recherche d'un antécédent). Soit f la fonction dé nie par R \ {1/2} → R x 7→ f(x) = x + 1 2x −1. Montrer que pour tout y ̸= 1/2, il existe x ̸= 1/2 tel que f(x) = y. Commentaires sur l'Exercice 3 Partir de f(x) = y pour trouver x en fonction de y. En fait le problème revient à trouver la bijection réciproque de la fonction f. C'est-à-dire trouver une fonction g (appelée bijection, lorsqu'elle existe) tel que f(x) = y ⇔x = g(y). On montre ici que la fonction f prend toutes les valeurs de R \ {1/2} et on dit que f est surjective de R \ {1/2} dans R \ {1/2}. En fait, elle est même bijective (c'est-à-dire que g existe) ; les deux méthodes proposées ci-dessous le prouvent. À nouveau, la preuve proposée est un peu . . . longue et redondante. On pourrait être plus rapide mais les erreurs de raisonnement constatées nous poussent à bien détailler les rouages qui mènent à une preuve juste. Exercice 4 (Pas si radical). Résoudre l'équation suivante √ x + 2 = x, pour x ≥−2. N. Jacquet, V. Bansaye 2/7 Creative Commons : B Y : ⃝ $ \ ⃝ C ⃝ Raisonnement par analyse-synthèse Mat' les Ressources Indications Indications sur l'Exercice 2 1. Supposer que g et h existent et les exprimer en fonction de f. N. Jacquet, V. Bansaye 3/7 Creative Commons : B Y : ⃝ $ \ ⃝ C ⃝ Raisonnement par analyse-synthèse Mat' les Ressources Corrections Correction de l'Exercice 1 Nous allons trouver la réponse de manière naturelle, en partant de l'objectif qui est d'at- teindre 100. Si je veux atteindre 100, il faut que mon adversaire ait atteint un nombre entre 93 (auquel cas je dirai 7) et 99 (auquel cas je dirai 1). Pour obtenir cela, il su t que j'atteigne 92 à l'étape précédente. Mais pour atteindre 92 à coup sûr, j'ai besoin que mon adversaire ait atteint un nombre entre 85 (auquel cas je dirai 7) et 91 (auquel cas je dirai 1). Pour cela, il faudrait que j'atteigne 84 à l'étape précédente. On reproduit le raisonnement et on se rend compte que pour gagner, il su t que j'arrive à atteindre à l'étape précédente 84 −8 = 76, donc juste avant 76 −8 = 68, et ainsi de suite 60, 52, 44, 36, 28, 20, 12 et 4. On observe ici une suite arithmétique de raison 8. Nous sommes partis du résultat (la victoire) pour remonter au début de la partie et voir comment la jouer. Nous pouvons maintenant donner la stratégie gagnante, en respectant les règles du jeu. Conclusion. Si je commence, je dis 4, puis mon adversaire va porter le cumul à un nombre entre 5 et 11, et je dis le chire qu'il faut pour atteindre 12, puis 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 74, 82, et en n 100. Si mon adversaire commence et connaît cette stratégie, je perdrai. Mais sinon, je peux la rattraper : dès que je peux, je dirai 4 (s'il joue au plus 3), ou bien 1, puis ce qu'il faut pour atteindre 12, ou 20, 28, 36... Correction de l'Exercice 2 1. La question revient à trouver une fonction paire g et une fonction impaire h telles que f = g + h. Pas facile à deviner comme cela ... alors trichons un peu pour les trouver, et ensuite nous ferons vraiment la preuve. Cette partie est rédigée en italique. C'est l' analyse : on peut la faire au brouillon. Notre but est d'identi er g et h. Pour cela, on suppose qu'on les a trouvées , ce qui revient à supposer le résultat, c'est-à-dire que pour tout x ∈R, f(x) = g(x) + h(x), g(−x) = g(x), h(−x) = −h(x). Pour utiliser les deux dernières égalités, on écrit la première en −x pour obtenir que f(x) = g(x) + h(x), f(−x) = g(−x) + h(−x) = g(x) −h(x). On peut ensuite obtenir l'expression de g et h en sommant ces deux égalités et en faisant leur diérence : f(x) + f(−x) = 2g(x), f(x) −f(−x) = 2h(x), et donc g(x) = f(x) + f(−x) 2 , h(x) = f(x) −f(−x) 2 . On vient d'identi er g et h en fonction de la seule donnée de l'énoncé : f. On peut maintenant rédiger la solution de l'exercice. Introduisons les fonctions réelles g et h dé nies pour tout x ∈R par g(x) = f(x) + f(−x) 2 , h(x) = f(x) −f(−x) 2 . N. Jacquet, V. Bansaye 4/7 Creative Commons : B Y : ⃝ $ \ ⃝ C ⃝ Raisonnement par analyse-synthèse Mat' les Ressources Ces fonctions ont été trouvées grâce à une analyse (et pas en copiant sur le voisin ; vous pouvez d'ailleurs mettre l'analyse dans la copie pour que le correcteur voie d'où elles sortent). On remarque que pour tout x ∈R, g(x) + h(x) = f(x) + f(−x) 2 + f(x) −f(−x) 2 = f(x) + f(−x) + f(x) −f(−x) 2 = f(x). Donc f = g + h. De plus, pour tout x ∈R, g(−x) = f(−x) + f(x) 2 = g(x) h(−x) = f(−x) −f(x) 2 = −f(x) −f(−x) 2 = −h(x). Donc g est paire et h est impaire et l'on a répondu à la question en montrant que f s'écrivait comme la somme d'une fonction paire g et d'une fonction impaire h. 2. La réponse au problème d'unicité se trouve également dans la partie analyse rédigée en italique. Soient g1 et g2 deux fonctions paires et h1 et h2 deux fonctions impaires telles que pour tout x ∈R, f(x) = g1(x) + h1(x), f(x) = g2(x) + h2(x). Alors comme pour tout x ∈R, g1(x) = g1(−x) et h1(x) = −h1(−x), on obtient f(−x) = g1(x) −h1(x) et donc f(x) + f(−x) = 2g1(x), f(x) −f(−x) = 2h1(x). D'où g1(x) = f(x) + f(−x) 2 , h1(x) = f(x) −f(−x) 2 . Mais le même raisonnement conduit à g2(x) = f(x) + f(−x) 2 , h2(x) = f(x) −f(−x) 2 . Ces égalités entraînent que pour tout x ∈R, g1(x) = g2(x) et h1(x) = h2(x), ce qui montre bien que g1 = g2 et h1 = h2. Indiquons une deuxième méthode : f(x) −f(x) = g1(x) −g2(x) + h1(x) −h2(x) et donc la fonction g1 −g2 = h2 −h1 est à la fois paire (comme diérence de deux fonctions paires) et impaire (comme diérence de deux fonctions impaires). On véri e facilement alors qu'elle est nulle et donc g1 = g2, h1 = h2. Correction de l'Exercice 3 On se donne y ̸= 1/2 et on cherche un x ̸= 1/2 tel que f(x) = y. Deux méthodes sont possibles pour cela : on trouve x en uploads/Management/ mlr-raisonnement-par-analyse-synthese.pdf
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- Publié le Apv 11, 2021
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