Avec la collaboration de : Thomas Camara Alain Larroche Daniel Pompon Jean-Marc

Avec la collaboration de : Thomas Camara Alain Larroche Daniel Pompon Jean-Marc Ravier Mathématiques Terminale, série S Une réalisation de Réviser son bac avec En partenariat avec © rue des écoles & Le Monde, 2016. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. AVANT-PROPOS L’ouvrage que vous avez entre les mains a pour objectif de vous aider dans la préparation de l’épreuve de mathématiques au baccalauréat scientifique. Son intérêt réside d’abord dans la manière dont il reprend, point par point, les différents thèmes du programme de terminale S, en synthétisant – dans la partie « L’essentiel du cours » – les connaissances que vous devez maîtriser, mais aussi en listant dans les colonnes, les notions incontour­ nables et les mots-clés dont vous devez connaître la définition précise. Plusieurs exercices tirés des sujets récemment tombés au bac accompagnent chaque thème. Ils sont assortis de conseils de méthode pour les traiter ; tous sont corrigés en fin de volume. Enfin, véritable originalité de l’ouvrage, des articles tirés du journal Le Monde viennent mettre en perspective chaque point du programme et vous offrent la possibilité d’enrichir votre culture mathématique et scientifique. Très accessibles, accompagnés d’un commentaire pédagogique vous permettant de bien comprendre les enjeux, ils sont signés notamment par des mathématiciens chevronnés tels Étienne Ghys, Cédric Villani, Pierre Cartier ou encore Jean-Michel Kantor. De quoi aborder l’examen en toute confiance, mais aussi préparer votre éventuelle entrée dans l’enseignement supérieur. Il nous reste à vous souhaiter bon courage en espérant que nous aurons, à travers cet ouvrage, contribué à votre succès. Les auteurs Message à destination des auteurs des textes figurant dans cet ouvrage ou de leurs ayants-droit : si malgré nos efforts, nous n’avons pas été en mesure de vous contacter afin de formaliser la cession des droits d’exploitation de votre œuvre, nous vous invitons à bien vouloir nous contacter à l’adresse plusproduit@lemonde.fr. En partenariat avec Complétez vos révisions du bac sur www.assistancescolaire.com : méthodologie, fiches, exercices, sujets d'annales corrigés... des outils gratuits et efficaces pour préparer l'examen. © rue des écoles & Le Monde, 2016. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. L’ESSENTIEL DU COURS ANALYSE p. 5 Chapitre 01 –  Suites p. 6 Chapitre 02 –   Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires p. 10 Chapitre 03 –   Dérivation p. 14 Chapitre 04 –   Fonctions sinus et cosinus p. 18 Chapitre 05 –   Fonction exponentielle p. 22 Chapitre 06 –   Fonction logarithme népérien p. 26 Chapitre 07 – Intégration p. 30 GÉOMÉTRIE P. 33 Chapitre 08 –  Nombres complexes p. 34 Chapitre 09 –  Géométrie dans l’espace p. 38 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES p. 43 Chapitre 10 –  Probabilités conditionnelles p. 44 Chapitre 11 – Lois à densité p. 50 Chapitre 12 – Échantillonnage p. 56 ALGORITHMIQUE/LOGIQUE p. 59 Chapitre 13 – Algorithmique/Éléments du raisonnement mathématique p. 60 CORRIGÉS DES EXERCICES p. 65 CULTURE SCIENTIFIQUE : MATHÉMATICIENS CONTEMPORAINS EMBLÉMATIQUES p. 83 GUIDE PRATIQUE p. 93 SOMMAIRE © rue des écoles & Le Monde, 2016. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. analyse y x x = a Cf 0 a – π 2 π 2 – π 2 π 2 Sur l’intervalle [0 ; π] la fonction cosinus est décroissante. –π –1 1 0 0 π 0 a b x x = a x = b y Cf © rue des écoles & Le Monde, 2016. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. 6 L’ESSENTIEL DU COURS Suites Suites U n couple de lapins, né le 1er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins, chaque mois, dès qu’il a atteint l’âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction. Combien y aura-t-il de couples de lapins le 1er janvier de l’année suivante, en supposant qu’aucun couple n’ait disparu ? Pour résoudre ce problème, le mathématicien italien Fibonacci (dit aussi Léonard de Pise) introduit dès 1202 la notion de suite. Ainsi, si on note un le nombre de couples de lapins au cours du mois (avec u1 = 1), la suite (un) vérifie la relation de récurrence un+2 = un+1 + un. On peut alors exprimer un en fonction de n et prévoir le nombre de lapins au bout de quelques mois. Quand utiliser un raisonnement par récurrence et comment le rédiger ? On peut utiliser un raisonnement par récurrence chaque fois qu’une propriété à démontrer dépend d’un entier naturel n, surtout lorsqu’il semble y avoir un lien simple entre ce qui se passe au rang n et ce qui se passe au rang n + 1. Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre étapes : On commence par énoncer la propriété à démon­ trer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie. Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang initial (qui est souvent 0 ou 1). Hérédité : on prouve le caractère héréditaire de la propriété. On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel n arbitrairement fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang n + 1. On conclut en invoquant le principe de récurrence. Que faut-il retenir sur les suites géométriques ? Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant par le même facteur (la raison que l’on note q). D’où la formule de récurrence donnée pour tout entier naturel n : u q u n n + = 1 × . Le terme général d’une suite géométrique est : u u q n n = 0 × . Enfin, la somme des (n + 1) premiers termes d’une suite géométrique (u u un 0 1 + + … + ) de raison q ≠ 1 est égale à : u q q n 0 1 1 1 × – – + . Pour tout réel q différent de 1, on a : 1 1 1 2 1 + + + … + = – – + q q q q q n n 1 1 1 2 1 + + + … + = – – + q q q q q n n . Pour démontrer qu’une suite (un) est géométrique, il faut calculer le rapport u u n n +1 . Si on obtient un nombre réel indépendant de n alors la suite est géométrique, sinon elle n’est pas géométrique. Que faut-il retenir sur les suites arithmétiques ? Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant un même nombre (la raison que l’on note r). D’où la formule de récurrence donnée pour tout entier naturel n : u u r n n + = + 1 . Le terme général d’une suite arithmétique est : u u nr n = + 0 . Cas particulier pour tout réel n, on a : 1 + 2 + … + n n n ( ) = + 1 2 . Pour démontrer qu’une suite (un) est arithmétique, il faut calculer la différence : u u n n + – 1 . Si on obtient un nombre réel indépendant de n, alors la suite est arithmétique, sinon elle n’est pas arithmétique. MOTS CLÉS SUITE • Une suite est une fonction définie sur l’ensemble ℕ ou sur une partie de ℕ. • L’image du naturel n par la suite u se note u(n) ou plus souvent un. TERME GÉNÉRAL L’image d’un entier naturel n par la suite u se note un et s’appelle le terme général de la suite ou terme de rang n. SUITE CROISSANTE Soit u une suite : • la suite u est croissante si et seule­ ment si pour tout entier naturel n, un ⩽ un+1 ; • la suite u est strictement crois­ sante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un < un+1. SUITE DÉCROISSANTE Soit u une suite : • la suite u est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un ⩾ un+1 ; • la suite u est strictement décrois­ sante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un > un+1. SUITE CONVERGENTE Si la suite (un) admet comme limite le réel a, cela signifie que tout inter­ valle ouvert centré en a contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On dit alors que la suite (un) converge vers a. SUITE DIVERGENTE Une suite qui n’est pas convergente est divergente. Dire qu’une suite est divergente peut signifier : • qu’elle n’a pas de limite, comme pour la suite de terme général un = cos n ; • que son terme général tend vers l’infini quand n tend vers l’infini, comme pour la suite de terme général u n n = + 1. RAISON D’UNE SUITE • Dans une suite arithmétique, on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours un même nombre r, appelé raison de la suite arithmétique. • Dans une suite géométrique, on passe toujours d’un terme au suivant en multipliant par un même nombre q, appelé raison uploads/Management/ mathematiques 6 .pdf

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• Publié le Oct 24, 2021
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