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Table des matières Préface 3 1 Éliminatoires et demi-ﬁnales Mini 11 Algèbre – A

Table des matières Préface 3 1 Éliminatoires et demi-ﬁnales Mini 11 Algèbre – Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Analyse combinatoire – Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . 47 Divers – Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2 Éliminatoires et demi-ﬁnales Midi 73 Algèbre – Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Analyse combinatoire — Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . 121 Divers – Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3 Éliminatoires et demi-ﬁnales Maxi 139 Algèbre – Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Analyse combinatoire – Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . 201 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 1 2 TABLE DES MATIÈRES 4 Finales Mini 213 Finale 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Finale 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Finale 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Finale 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Finale 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5 Finales Midi 219 Finale 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Finale 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Finale 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6 Finales Maxi 225 Finale 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Finale 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Finale 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Finale 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Finale 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7 Réponses aux questions des éliminatoires et demi-ﬁnales231 Mini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Midi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Maxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Préface Ce que nous écrivions en préface de la brochure no 3 reste entièrement d’actualité : « La mathématique est, avant tout, une activité passion- nante, fertile en déﬁà relever, présente d’ailleurs à tout moment dans notre environnement social, économique et culturel, étroitement liée à de très nombreuses formes d’expression, présentant à celui qui veut bien lui porter un peu d’intérêt des aspects esthétiques évidents ». La connaissance des Mathématiques ne se limite pas à l’acquisition de techniques de calcul plus ou moins sophistiquées et encore moins à la mémorisation passive de notions. Une base essentielle de la formation dans cette discipline consiste, à l’évidence, en la résolution de problèmes. Une des composantes les plus importantes — et pourquoi pas la plus importante — de la compétence mathématique se situe donc dans la capacité à traiter des problèmes, dans la recherche volontariste de so- lutions à proposer à des situations qui interpellent. Ces moments où il faut déterminer des stratégies d’attaque, où il faut constamment avoir l’esprit en éveil de façon à utiliser des acquis, à mener des investigations dans des voies novatrices, à oser suivre des intuitions qui s’avèrent parfois stériles, à persévérer dans ses curiosités, . . . débouchent alors sur cette grande satisfaction de trouver une réponse et d’en tirer une légitime ﬁerté personnelle. Les trois premières brochures (1976-1981, 1982-1987 et 1988-1993) couvraient des périodes de six années. Le détriplement de l’Olympiade, depuis 1996, a eu pour conséquence une augmentation substantielle du nombre de questions proposées. Ce quatrième tome de la série ne couvre donc que cinq années d’Olympiades Mathématiques Belges. Toutes ces 3 4 Préface questions des Olympiades des années 1994 à 1998 ont été regroupées par sujets et présentées, autant que faire se pouvait, selon un ordre croissant de diﬃcultés. Toutes ont été réparties selon les trois catégories Mini, Midi et Maxi. Nous avons donc dû distribuer au mieux les questions des deux catégories existant en 1994 et 1995, dans les trois catégories actuelles. Nous espérons que cela permettra d’exploiter cette brochure aussi bien dans le cadre d’une préparation à l’Olympiade que dans ce- lui du cours de mathématique dispensé dans les classes. Des notations évidentes indiquent à l’utilisateur à quel stade de l’épreuve les questions furent proposées. Des tableaux placés en ﬁn de brochure donnent les réponses atten- dues. La SBPMef souhaite vivement que les Professeurs et leurs élèves tirent le plus grand proﬁt de cette brochure. Jean-Pierre Cazzaro Claude Villers Préface 5 L’Olympiade Mathématique Belge Dès 1976, à l’initiative de Françis Buekenhout, et sans interruption depuis cette date, les responsables de la Société Belge des Professeurs de Mathématique ont proposé aux enseignants intéressés de faire participer uploads/Management/ omb4.pdf