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[hang]2pc R/e.PNG Rapport de ﬁn d’étude En vue de l’obtention d’une Licence Fondamentale en Sciences Mathématiques et Applications Titre : Transformation de Laplace et Fourier et leurs Applications Élaboré par : Beta Reda Nisbi Nassima Encadré par : Pr. El Zerouali Hassan Soutenu le : 17/06/2019 Devant le jury composé de : Pr. El Zerouali Hassan Pr. Ezzahraoui Hamdi Année universitaire : 2018-2019 Remerciements Tout d’abord j’envoie mes remerciement à monsieur le professeur Hassan El Zerouali pour son encadrement et son soutien tout au long de la préparation de ce mémoire ; je lui exprime ma haute gratitude pour sa disponibilité, ses encouragements et ses conseils qui ont joué un rôle capital dans l’achèvement de ce travail. Je suis très reconnaissant envers les membres du jury : H. Ezzahraoui, pour le temps qu’il m’a consacré en examinant ce travail et le grand honneur qu’il m’a fait en acceptant de participer autant que jury. 2 Transformation de Fourier, Laplace et application 14 juin 2019 Table des matières I Transformation de Laplace et applications 6 1 Introduction 6 2 Transformation de Laplace 6 2.1 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Propriétés 9 3.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Théorème du retard (également dénommé deuxième propriété de translation) 10 3.4 Transformée de Laplace de l’homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.5 Transformée du produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.6 Transformée de Laplace des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.7 Transformée de Laplace d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.8 Multiplication tn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 Transformation inverse de Laplace 13 5 Propriété 15 5.1 Transformée inverse de Laplace d’une linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2 Transformée inverse de Laplace d’une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.3 Transformée inverse de Laplace d’une Translation . . . . . . . . . . . . . . 16 5.4 Transformée inverse de Laplace d’une homothétie . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Équation diﬀérentielle ordinaire 17 2.1 Application de la transformation de Laplace en analyse mathématique . . . 17 2.2 Application physique(analyse physique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Système masse-ressort(Oscillation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2 Équation Diﬀérentielles de la théorique des circuits électriques . . . 23 3 Notions fondamentales sur les E.D.P 24 3.1 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 II Transformation de Fourier et applications 27 3 Rappel sur le développement en Séries de Fourier 27 3.1 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Déﬁnition des Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.1 Convergence en norme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.2 Convergence Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.3 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3.4 Non convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4 Introduction et motivation 29 4.0.1 Fonction localement intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.0.2 L’intégrale de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 Transformation de Fourier 32 5.1 Conditions suﬃsantes d’existence (conditions de Dirichlet) . . . . . . . . . 32 5.2 Importance de la phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3 Composantes de la Transformée de Fourier, spectre d’amplitude et spectre de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.4 Quelques propriétés de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . 37 5.4.1 Lemme (de Riemann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.4.2 Théorème :Dérivée de la transformation de Fourier . . . . . . . . . 38 5.4.3 Théorème : Transformée de Fourier de la dérivée . . . . . . . . . . . 39 5.4.4 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.4.5 Transformation de Fourier de la translation . . . . . . . . . . . . . 39 5.4.6 Transformation de Fourier de l’homothétie . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4.7 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Introduction 42 4 Applications théorique 42 4.0.1 Résolution d’équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.0.2 Résolution d’équation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Applications pratique 44 5.1 Principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.1 Heisenberg et le principe d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.2 Principe d’incertitude dans l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . 45 5.2 Signaux numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.2.1 Application à la compression de signaux . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.3 Géologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ rapport-ecl-template-2-pdf.pdf