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Université Mohammed V de Rabat Année Universitaire : 2014-2015 FSJES-Souissi Gr

Université Mohammed V de Rabat Année Universitaire : 2014-2015 FSJES-Souissi Groupe : S5-A Département : Economie et Gestion Examen d’Econométrie - Corrigé - (16 Janvier 2015, Durée. 1 h 30 mn ) N.B : Les questions proposées dans cette épreuve portent uniquement sur les points traités en CM/TD, et leurs réponses ne requièrent aucune donnée supplémentaire. Exrecice 1 : On désire estimer le modèle mathématique suivant sur un échantillon d’observations : y = axb 1. Montrer comment peut-on rendre linéaire ce modèle. ▶En introduisant la fonction ln, on obtient ln(y) = ln(a) + b ln(x). Ainsi, si on déﬁnit Y = ln(y) et X = ln(x), on peut associer le modèle en question au modèle linéaire simple : Y = β0 + β1X + ϵ tel que β0 = ln(a) et β1 = b. 2. Expliquer brièvement comment peut-on obtenir les coeﬃcients estimés de a et b après estimation du modèle linéarisé. ▶Par la méthode des moindres carrés ordinaires, on obtient b β0 et b β1. Par la suite, on en déduit les coeﬃcients estimés : b a = exp( b β0) et b b = b β1. Exercice 2 : On cherche à expliquer la variation du coût annuel (Ci : en centaines de DH) de maintenance d’un véhicule en fonction de son âge (Ai : en mois), pour i = 1, 2, . . . , n. On considère le modèle de régression linéaire : Ci = β0 + β1Ai + ϵi (1) où les variables aléatoires (ϵi) sont supposées i.i.d (indépendantes et identiquement distribuées) suivant la même loi Normale centrée de variance σ2. En se basant sur un échantillon de taille n = 15 de véhicules, on obtient les résultats suivants : 15 X i=1 Ai = 362 ; 15 X i=1 (Ai −A)2 = 3753.7 ; 15 X i=1 Ci = 938 ; 15 X i=1 (Ci −C)2 = 6269.7 ; 15 X i=1 (Ai −A)(Ci −C) = 4799.9. Dans cet exercice, on utilise un risque de première espèce α = 5% et on donne Tcritique = 2.16. 1. Estimer les paramètres β0 et β1 par la méthode des moindres carrés. ▶L’estimation par la méthode des moindres carrés ordinaires de β0 et β1, nous donne : b β1 = P15 i=1(Ai−A)(Ci−C) P15 i=1(Ai−A)2 = 4799.9 3753.7 ≃1.28, et b β0 = C −b β1A ≃938 15 −1.279 × 362 15 ≃31.64. i 2. Calculer la somme des carrés expliquée SCE et la somme des carrés résiduelle SCR. ▶Par déﬁnition, SCE = P15 i=1( b Ci −C)2. Or, b Ci = b β0 + b β1Ai et C = b β0 + b β1A Donc, SCE = P15 i=1( b β0 + b β1Ai −b β0 −b β1A)2 = b β1 2 P15 i=1(Ai −A)2 ≃(1.28)2 × 3753.7 ≃6150.06. D’autre part, on sait que SCT = P15 i=1(Ci −C)2 = SCE + SCR. Par conséquent, SCR = SCT −SCE ≃6269.7 −6150.06 ≃119.64. 3. Déterminer l’estimation de la variance b σ2. ▶L’estimation de la variance b σ2 se déduit de la somme des carrés résiduelle : b σ2 = SCR n−2 . Il en résulte donc que b σ2 ≃9.20. En déduire l’estimation de la variance de l’estimateur de β1, que l’on notera b σ2( b β1). ▶L’estimation de la variance de l’estimateur de β1 se déduit elle lui aussi de la formule suivante : b σ2( b β1) = b σ2 P15 i=1(Ai−A)2. D’après ce qui précède, on trouve que b σ2( b β1) ≃0.002 et b σ( b β1) ≃0.05. 4. Construire un intervalle de conﬁance de β1 de niveau 95%. ▶Sous l’hypothèse relative aux termes d’erreur (ϵi) indiquée ci-dessus, on sait qu’un intervalle de conﬁance au niveau 1−α = 0.95 pour la vraie valeur inconnue du coeﬃcient β1 s’écrit sous la forme : I = [ b β1 −τn−p−1,α b σ( b β1) ; b β1 + τn−p−1,α b σ( b β1)] , où τn−p−1,α = Tcritique = 2.16 (pour α = 5% et avec le nombre de degrés de librté dl = n −p −1 = 13). Par conséquent, I ≃[1.17 ; 1.39]. 5. Tester si la régression est signiﬁcative (c’est-à-dire tester H0 : β1 = 0 contre H1 : β1 ̸= 0). Commenter. ▶La régle de décision portant sur la signiﬁcativité du modèle (1) est basée sur la statistique T : T = b β1 b σ( b β1) ≃26. En eﬀet, l’hypothèse H0 est rejettée si et seulement si : | T |> Tcritique. Puisque c β1 b σ(c β1) ≃26 et Tcritique = 2.16, on déduit donc le rejet de H0 au proﬁt de H1. Ainsi, le paramètre β1 est diﬀérent de 0 avec un risque d’erreur α = 5%, et donc le modèle (1) est signiﬁcatif. Par conséquent, on peut décider au vu des données que la variable explicative Ai est contributive à l’explication de la variable Ci. 6. Déterminer et interpréter le coeﬃcient de détermination. ▶Par déﬁnition, le coeﬃcient de détermination s’écrit : R2 = SCE SCT . De la question (2), il découle donc que R2 ≃0.98. Ce coeﬃcient mesure la qualité d’ajustement de notre modèle déﬁni par la représentation (1). Autrement dit, 98% de la variance des données est expliquée par ce modèle de régression. 7. Déterminer une prévision du coût de maintenance pour un véhicule de 5 ans. ▶Soient Am = 5 ans = 60 mois l’âge du véhicule, et b Cm la valeur prédite du coût de sa maintenance. On a donc : b Cm = b β0 + b β1Am, ce qui donne numériquement en tenant compte de l’unité des (Ci) , b Cm ≃10 844 DH, le coût prévisionnel de maintenance pour un véhicule de 5 ans. ii Exercice 3 : On utilise le modèle de régression linéaire multiple : Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ϵ, (2) sous les hypothèses classiques. En se basant sur un échatillon de taille n, on obtient les résultats indiqués dans la tableau présenté ci-dessous. Dans la suite, on considère un risque de première espèce α = 5% et on donne Fcritique = 4.256. 1. Compléter le tableau d’analyse de variance suivant : ▶En utilisant le fait que p est le nombre de variables explicatives, SCT = SCE + SCR, MCR = SCR n−p−1, MCE = SCE p ; on peut compléter facilement le tableau de variance indiqué ci-dessous : Source de variation (SC) Degré de liberté (dl) Sommes des carrés (SC) Moy. des carrés (MC) Régression p = 2 SCE = 1504.4 MCE = 752.2 Résiduelle n −p −1 = 9 SCR = 176.4 MCR = 19.6 Total n −1 = 11 SCT = 1680.8 2. Quel est le coeﬃcient de détermination R2 du modèle (2) ? Commenter. ▶Le coeﬃcient de détermination du modèle (2) est donné par R2 = SCE SCT = 1504.4 1680.8 ≃0.89. Cela signiﬁe que 89% de la variance des données est expliquée par ledit modèle. 3. Donner une estimation de la variance de ϵ. ▶La valeur d’un estimateur non biaisé de la variance de ϵ, basée sur notre échantillon, est donnée par : b σ2 = SCR n −p −1 = 176.4 9 = 19.60. 4. Déterminer la statistique observée de Fisher Fobs. ▶La statistique observée de Fisher s’écrit : Fobs = n −p −1 p SCE SCR = MCE MCR = 9 2 × 1504.4 176.4 ≃38.38. 5. Tester l’hypothèse H0 : β1 = β2 = 0 , contre H1 : β1 ̸= 0 ou β2 ̸= 0. Conclure. ▶D’après la régle de décision, puisque Fobs > Fcritique, on déduit donc le rejet de H0 au proﬁt de H1 avec un risque d’erreur α = 5%. Par conséquent, on conclut que le modèle de régression (2) est globalement signiﬁcatif. Bon courage. iii uploads/Management/ s5-econometrie-examjanvier2015.pdf