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UNIVERSITE DES SCIENCES SOCIALES ET DE GESTION DE BAMAKO (USSGB) FACULTE DES SC

UNIVERSITE DES SCIENCES SOCIALES ET DE GESTION DE BAMAKO (USSGB) FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION (FSEG) / Bamako UNITE D’ENSEIGNEMENT : Statistiques-Probabilités Semestre 2-L1 Table des matières Chapitre 1 : Analyse combinatoire 1. Le langage des ensembles finis ; 2. Le langage des événements ; 3. Analyse combinatoire ; 4. Modèles de tirage Chapitre 2 : Espaces probabilisés 1. Définition générale d’une probabilité ; 2. Propriétés élémentaires d’une probabilité ; 3. Cas d’équiprobabilité ; 4. Application : Le modèle de l’urne ; 5. Probabilité conditionnelle ; 6. Probabilités totales et théorème de Bayes. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles et leurs caractéristiques 1. Notion d’expérience aléatoire ; 2. Définition générale d’une variable aléatoire ; 3. Variable aléatoire discrète et caractéristiques ; 4. Variable aléatoire continue et caractéristiques, 5. Esperance d’une fonction 6. Inégalités fondamentales de Markov, Tchebychev ; 7. Les moments d’une variable aléatoire ; 8. Les quantiles. Chapitre 4 : Les Lois usuelles 1. Lois usuelles discrètes 1.1. Loi de Bernoulli ; 1.2. Loi binominale ; 1.3. Fréquences des succès dans une succession de n épreuves de Bernoulli ; FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION (FSEG) / Bamako/ Mali Page 1 1.4. Estimation : Esperance et variance d’une moyenne de variables aléatoires 1.5. Loi uniforme sur [1, n] ; 1.6. Loi géométrique ; 1.7. Loi de pascal 1.8. Loi hypergéométrique ; 1.9. Loi de poisson 1.10. Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson 2. Lois usuelles continues 2.1. Loi uniforme continue 2.2. Loi exponentielle 2.3. Loi Gamma 2.4. Loi Bêta 2.5. Loi normale Chapitre 5 : Loi normale et ses lois dérivées 1. Fonction de répartition 2. Loi normale centrée et réduite 3. Fonction génératrice des moments 4. Caractéristiques d’une loi normale 5. Calcul des quantiles 6. Lois dérivées de la loi normale : Loi de Khi-Deux ; Loi de Student; Loi de Fisher. Chapitre 6 : Couple aléatoire 1. Définition et typologie des couples aléatoires 2. Fonction de répartition conjointe 3. Couple aléatoire discret 4. Couple aléatoire absolument continu 5. Les caractéristiques d’un couple aléatoire. 6. Extension au cas multidimensionnel : Vecteurs aléatoires Chapitre 7 : Théorèmes limites 1. Inégalités de Bienaymé-Tchebychev ; 2. Convergence en probabilité ; 3. Convergence en moyenne quadratique ; 4. Loi faible de grands nombres ; 5. Convergence en loi ; 6. Théorème central limite ; L’équipe pédagogique de Statistiques de la FSEG remercie par avance ceux qui voudront bien la faire part de leurs remarques et suggestions. FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION (FSEG) / Bamako/ Mali Page 2 Bibliographie 1. Anne-Marie Spallanzani, probabilité et statistiques pour la gestion et l’économie. 2. Benjamin JOURDAIN, Cours de Probabilités et statistique 12 juin 2012 3. C. Larcher et M. Pariente, Statistique et Probabilités, collection dirigée par Claude LOBRY, 1993. 4. Bernard Grais Dunod, Méthodes statistiques. 5. Bernard Goldfard & Catherine Pardoux, Introduction à la méthode statistique, Statistique et probabilités, 7e Edition, CAMPUS LMD. 6. Christophe Hurlin / Valérie Mignon, Statistique et probabilité en Eco-gestion. 7. Eva Cantoni SPRINGPER, Maitrise I, Variable aléatoire, exercices résolus et probabilités et statistiques, 2006. 8. G. COSTANTINI, Probabilités : généralités-conditionnement-indép. http://bacamaths.net/ 9. Jean GUEGAND et Jean Pierre GAVINI, Probabilités / BCPST, 1ere et 2eme Années premier cycle universitaire. 10. Jean Pierre LECOUTRE, Statistiques et probabilités, cours et exercices corrigés. 5eme Edition Dunod. 11. Jean Pierre LECOUTRE, TD Statistiques et probabilités, 6eme Edition Dunod. 12. Mathieu Gentes, Probabilités et Statistiques, Tome 1, Année 2009/2010, IUT d’Orsay 13. Olivier François, Notes de cours de Probabilités Appliquées 14. Pierre Dreyfuss, Statistiques et probabilités appliquées, cours et exercices et travaux pratiques. 15. Ricco Rakotomalala, Notes de cours Probabilités et Statistique, Université Lumière Lyon 16. Walder Masieri, Statistiques et calcul des probabilités : Travaux pratiques énoncés et solutions, 6eme Edition 1994. FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION (FSEG) / Bamako/ Mali Page 3 Chapitre 1 : Analyse combinatoire L’analyse combinatoire élabore des méthodes pour résoudre des problèmes de dénombrement d’objets ou de personnes pris dans un ensemble fini. L’analyse combinatoire est une branche des mathématique qui étudie comment compter les objets. Les probabilités dites combinatoires utilisent constamment les formules de l’analyse combinatoire. 1. Le langage des ensembles finis Définitions : Ensemble : un ensemble est une collection d’objets ou d’évènements, appelés éléments. Exemple : ensemble des nombres naturels N= {0, 1, 2…} Appartenance : si e est élément de l’ensemble E, on écrit : e E Inclusion : un ensemble A est inclut dans un ensemble B, si tout élément e de l’ensemble A est dans l’ensemble B. on écrit A B. A⊂B⇔(∀x ∈E, x∈A⇒x∈B) et A⊂B⇔A ∩B=A Ensemble vide : c’est l’ensemble ne contenant aucun élément, on le note  Ensembles disjoints : deux ensembles A et B sont disjoints s’ils n’ont aucun élément en commun. Aet Bsont disjoints si A∩B=∅ Réunion : On appelle réunion de A et B notéA∪B, l’ensemble constitué des éléments appartenant soit à A, soit à B. si x∈A ∪B⇔x ∈Aou x∈B Intersection : On appelle intersection de A et B, l’ensemble constitué des éléments appartenant soit à A et B. si ∈A∩B⇔x ∈Aet x ∈B Ensemble complémentaire : soit A un sous ensemble d’un ensemble E, le complémentaire de l’ensemble A, noté ´ A; est l’ensemble de tous les éléments de E n’appartenant pas à A. si x∈´ A ⇔x∉A (A ∪´ A=Eet A∩´ A=∅) Propriétés : { A∩B= ´ ´ A∪´ B A−B=A∩´ B A=( A∩´ B)∪(A ∩B ) ( A∩´ B)∩(A ∩B )=∅ Cardinal :on appelle cardinal d’un ensemble E, le nombre d’élément de E. on le note Card(E). Exemple soit E={a,b,c,d}, card(E)=4 Propriétés : { card ( A∪B )=cardA+cardB−card( A∩B) card (A∪´ A )=cardA+card ´ A=cardE Si A∩B=∅,card ( A∪B)=cardA+cardB card (A ×B)=cardA ×cardB FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION (FSEG) / Bamako/ Mali Page 4 Produit cartésien : on appelle produit cartésien de deux ensembles A et B, le couple d’élément formé par A et B. On le note A×B. A×B={(x, y )/ x∈A et y ∈B}. Soit E un ensemble et ( Ai)1≤i ≤n une partition de E formée de n sous-ensembles de E finis, c'est-à-dire ces ensembles sont non vides, deux a deux disjoints et de réunion égale à E. En effet, E est fini et Card (E)=∑ i=1 n Card( Ai) Soient E1,…,Enn ensembles finis (n≥1¿, alors le produit cartésien E1×…×En est fini et Card (E1×…×En)=Card ¿ Card (E n)=(Card (E)) n 2. Le langage des événements  Expérience aléatoire Une expérience est dite aléatoire lorsque son issue ne peut être prévue à priori.  Eventualité Le résultat d’une expérience aléatoire est appelé éventualité ou cas possible Exemple : obtenir le numéro « 5 » d’un dé est une éventualité.  Univers : L’ensemble de toutes les éventualités est appelé univers Ω. Exemple : l’univers d’un dé Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}  Evénement : Un événement est une partie de l’univers, Par exemple { ∅estun événementimpossible obtenirla partie pleinede Ω estunevenement certain obtenirun 3 est un événement élémentaire: \{3\} l'événement obtenir 5 a pour contraire ne pas obtenir5 Incompatibilité Deux événements A et B sont incompatibles lorsqu’ils n’ont aucune réalisation possible commune. L’événement A et B est impossible, A∩B=∅ on dit qu’A et B sont aussi disjoints. 3. Analyse combinatoire Deux types de situations doivent être fondamentalement distingués. L’ordre compte et on parle d’arrangements. L’ordre ne compte pas et on parle de combinaisons. 3.1 Ordre compte (ou tirage successif) 3.1.1 P-listes Soit E un ensemble fini ayant n éléments etp∈N ¿. Une p-liste de E est une liste ordonnée de p éléments de E, distincts ou non. L’ensemble de p-listes de E est le produit cartésienE p. Le nombre de p-listes d’un ensemble à n élément estn p. Exemples : FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION (FSEG) / Bamako/ Mali Page 5 1. Le nombre de dispositions de r boules discernables dans n boîtes estn r. 2. Si un numéro de compte bancaire est formé de 4 chiffres suivis d’une lettre quelconque, alors il y a 10 4×26 1 numéros de compte possibles. 3. Combien peut-on former de codes de la forme LCLC avec L : lettre et C : chiffre ? Il y a 261101261101 possibilités. 3.1.2 Arrangements, Permutation, Factoriel 1.2.1 Arrangements Soit E un ensemble à n éléments etp∈N ¿. On appelle arrangement de p objets toutes suites ordonnées de p objets pris parmi les n. Un arrangement est une p-liste d’éléments distincts de E. Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble à n éléments est : An p Avec p≤n si n≤p alors An p=0  Arrangement avec répétition Lorsqu’un objet peut être observé plusieurs fois dans un arrangement, le nombre d’arrangement de p objets pris parmi n est : An p=n p Exemple : 1. Combien de mots fictifs de 3 lettres peut-on écrire avec les 26 lettres de l'alphabet ? Il y a 26 possibilités pour la 1ère lettre, et 26 possibilités pour la 2ème et 3ème lettre. On peut Donc écrire 26 ⋅ 26 ⋅ 26 = 26 3 = 17'576 uploads/Management/ statistique-math-s2-ch-i-ii-amp-iii-1.pdf