Ecole Nationale des Siences Appliquées Université Mohammed Premier OUJDA Techni

Ecole Nationale des Siences Appliquées Université Mohammed Premier OUJDA Techniques d'Optimisation Pr. Loubna Boudjaj Filière : Génie Civil Coordinateur de lière : Pr. Mohammed Derouich Pr. Mohamed Derouich Généralités Notions et Rappels Mathématiques Chapitre 1: Généralités et Rappels Mathématiques Loubna BOUDJAJ ENSA OUJDA Université Mohammed Premier 14 Février 2022 L.B 2 Sommaire 1 Généralités Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 2 Notions et Rappels Mathématiques Norme et suite minimisante Minimum local, minimum global Rappel de calcul diérentiel Fonction diérentiable Dérivée suivant un vecteur Dérivées partielles Matrice Jacobienne et Matrice Hessienne Formule de Taylor Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 1 Généralités Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 2 Notions et Rappels Mathématiques Norme et suite minimisante Minimum local, minimum global Rappel de calcul diérentiel Fonction diérentiable Dérivée suivant un vecteur Dérivées partielles Matrice Jacobienne et Matrice Hessienne Formule de Taylor L.B 4 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) Pourquoi l'optimisation ? Les techniques d'optimisation sont aujourd'hui utilisées dans nombreux domaines dont la logistique, la gestion de production, la nance, les protocoles de transport d'information des réseaux informatiques, le transport d'énergie dans les réseaux électriques, les stratégies militaires, les transports aériens et ferroviaires entre autres...Et ces outils sont utilisés dans les bureaux d'études mécaniques en génie civil. Il est important de mettre à disposition, et de manière simple, la connaissance des méthodes d'optimisation.[1] L.B 5 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) En mathématiques, l'optimisation est une science cherchant à modéliser, à analyser et à résoudre analytiquement ou numériquement les problèmes qui consistent à minimiser ou maximiser une fonction sur un ensemble donné. Son objectif principal est la construction d'algorithmes permettant d'approcher une solution d'un problème sous la forme : (PO) :Trouver u, tel que u ∈U et f (u) = infv∈U f (v) où U est une partie donnée d'un espace vectoriel V et f : V →R une fonction donnée. L.B 6 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) A l'optimisation on s'intéresse à répondre aux questions suivantes : Existence et unicité de la solution du problème (PO). Caractérisation d'une solution éventuelle du (PO) (ie) les conditions nécessaires et su santes dans certains cas : les conditions nécessaires font intervenir la dérivée première de f , la convexité de U, les dérivées premières des fonctions de contraintes les conditions su santes font intervenir la convexité de f , les dérivées secondes ainsi. la construction d'algorithme pour approcher la solution u (c'est-à-dire )la construction d'une suite (un)n≥0 d'éléments de l'ensemble U tel que limn→+∞un = u avec u0 choisi arbitrairement. L.B 7 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 1 Généralités Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 2 Notions et Rappels Mathématiques Norme et suite minimisante Minimum local, minimum global Rappel de calcul diérentiel Fonction diérentiable Dérivée suivant un vecteur Dérivées partielles Matrice Jacobienne et Matrice Hessienne Formule de Taylor L.B 8 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) On considère le problème d'optimisation donné par (PO) :Trouver u, tel que u ∈U et f (u) = infv∈U f (v) f : U ⊆V →R est appelée fonction coût ou critère, et on a : Si U = V , on dit que (PO) est un problème d'optimisation sans contrainte. Si U ⊂V , on dit que (PO) est un problème d'optimisation sous contrainte. Si dim U < +∞(resp. dimU = +∞), on dit que (PO) est un problème d'optimisation en dimension nie (resp. in nie). Remarque Dans ce cours on s'intèresse à l'optimisation en dimension nie, et si la valeur du minimum est atteinte, le (PO) devient (PO) :Trouver u, tel que u ∈U et f (u) = minv∈U f (v) L.B 9 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) Remarque Puisque maximiser une quantité revient à minimiser son opposé, alors les problèmes de minimisation englobent les problèmes de maximisation Remarque Si le (PO) possède une solution, on cherchera à la caractériser, à la déterminer lorsque ce sera possible et pour cela on exploitera les conditions nécessaires d'optimalité. Si le (PO) ne possède pas de solution, on cherchera à exhiber une suite minimisante (c'est à dire ) une suite des élèments de l'ensemble U convergeant vers inf{f (x), x ∈U}. L.B 10 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 1 Généralités Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 2 Notions et Rappels Mathématiques Norme et suite minimisante Minimum local, minimum global Rappel de calcul diérentiel Fonction diérentiable Dérivée suivant un vecteur Dérivées partielles Matrice Jacobienne et Matrice Hessienne Formule de Taylor L.B 11 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) Optimisation fonctionnelle / paramétrique [2] Inconnues = fonctions →{ Optimisation fonctionnelle Optimisation en dimension in nie Commande optimale Inconnues = entier ou réels →    Optimisation paramétrique Optimisation en dimension nie Programmation mathématique ∗Programmation mathématique Inconnues = entiers →  Optimisation combinatoire Programmation en nombres Inconnues = réels →    Optimisation continue Programmation linéaire Programmation non linéaire Inconnues = entiers et réels → Programmation mixte L.B 12 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 1 Généralités Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) 2 Notions et Rappels Mathématiques Norme et suite minimisante Minimum local, minimum global Rappel de calcul diérentiel Fonction diérentiable Dérivée suivant un vecteur Dérivées partielles Matrice Jacobienne et Matrice Hessienne Formule de Taylor L.B 13 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) Un (PO) problème d'optimisation consiste à maximiser ou minimiser une fonction objectif de n variables de décision (de conception) soumises à un ensemble de contraintes. On commence par : Dé nir les variables Ensemble des variables qui régissent la situation à modéliser. Variables réelles, entières, binaires. Préciser la fonction objectif Fonction mathématique composée des variables de décision (conception) qui représente le modèle. Préciser les contraintes du problème Ensemble des paramétres qui limitent le modèle réalisable. Equations ou inéquations composées des variables de décision(conception). Préciser les paramétres du modèle Constantes associées aux contraintes et à la fonction objectif. L.B 14 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) Exemple Une entreprise qui fabrique des tables et des chaises utilise une même machine pour fabriquer ses produits. - Fabriquer une chaise nécessite 8 heures, tandis qu'une table nécessite 10 h à la machine, et cette machine peut être utilisé au maximum de 140 heures par semaine. - Pour répondre à la demande, l'entreprise veut fabriquer au moins 5 tables par semaine. - Fabriquer une table requière 5 employés tandis qu'une chaise requière 3 employés. Pour être e cace, le nombre d'employés nécessaire à la fabrication des tables doit être au maximum 35 employées de plus que le nombre nécessaire d'employés à la fabrication des chaises. En considérant toutes ces contraintes, si la vente d'une table apporte un pro t de 51 dollars et celle d'une chaise un pro t de 48 dollars. Combien de tables et de chaises devrait produire l'entreprise en une semaine pour maximiser ses pro ts ? L.B 15 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) Solution les variables On pose : X : le nombre des tables Y : le nombre des chaises la fonction objectif maximiser 51X + 48Y les contraintes 10X + 8Y ≤140 X ≥5 5X ≤35 + 3Y Y ≥0 On trace les droites données par ces équations D1 : 10X + 8Y = 140, D4 : Y = 0, D3 : 5X = 35 + 3Y et D2 : X = 5 L.B 16 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) Polygône des contraintes avec des sommets A(5; 11, 25), B(10; 5), C(7; 0), D(5; 0). Tous les points sur le contour bleu sont des solutions á l'exemple. −On cherche le point qui maximise le pro t. −Pour maximiser ou minimiser, la solution doit être toujours un des points des sommets du polygône des contraintes. L.B 17 Généralités Notions et Rappels Mathématiques Motivation Vocabulaire d'optimisation Classi cation Formulation d'un problème d'optimisation (PO) La solution sera au sommet de polygône : X désigne le nombre de chaises, donc on va choisir le point entier le plus près qui est A(5 ;11) On calcule le pro t associè á chacun des sommets de polygône : f(A)=783 f(B)=750 f(C)=357 f(D)=255 Donc le point A qui maximise la fonction f et la réponse est : 5 tables et 11 chaises L.B 18 Généralités Notions et Rappels uploads/Management/ techniquesd-x27-optimisation-cours.pdf

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• Publié le Aoû 09, 2022
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