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N ˚: 23/2014-M/MT RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de

N ˚: 23/2014-M/MT RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientiﬁque Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Mathématiques MÉMOIRE présenté pour l’obtention du diplôme de Magistère En : MATHÉMATIQUES Spécialité : Recherche Opérationnelle Par : MESSEKHER Salah Eddine Thème a b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b c d d d Contribution à l’Optimisation Non Linéaire à Objectifs Multiples e e e f g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g g h Soutenu publiquement le :19/06/2014, devant le jury composé de : M. M. AÏDER Professeur à l’U.S.T.H.B Président M. M. MOULAÏ Professeur à l’U.S.T.H.B Directeur de mémoire M. M. ABBAS Professeur à l’U.S.T.H.B Examinateur M. A. MEZGHICHE Chargé de recherche à l’U.S.T.H.B Invité Table des matières Table des matières 1 Introduction Générale 2 1 Programmation fractionnaire 4 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Formulation d’un problème fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Notions sur l’optimisation convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Fonctions convexes généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Conditions d’optimalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Conditions d’optimalité de Karush Khun Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Programmation fractionnaire linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Résolution d’un LFP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.1 Résolution directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.2 Résolution par équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.3 Résolution par paramétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Programmation fractionnaire linéaire discrète 20 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Résolution d’un ILFP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1 Résolution directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Table des matières 3 2.2.2 Résolution par séparation et évaluation progressive . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3 Résolution par paramétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Une méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Transformation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2 Principe de la résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.3 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.4 Convergence algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.5 Exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Expérimentation et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Programmation multi-objectifs 37 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Formulation d’un problème multi-objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Notions sur l’optimisation multi-objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.1 Relation de dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.2 L’eﬃcacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.3 Surface de compromis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.4 Les points particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.5 Autres relations de dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.6 Détection graphique de l’eﬃcacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.7 Conditions d’optimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Résolution d’un problème multi-objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4.1 Méthodes a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ th7927 1 .pdf