18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 1 Analyse du comp
18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 1 Analyse du comportement vibratoire des plaques fissurées par la X-FEM M. Bachene1, R. Tiberkak 2 , S. Rechak3* et B.E.K. Hachi 4 1 Département de Génie Mécanique, Université de Médéa, Algérie 2 Département de Génie Mécanique, Université de Blida, Algérie 3 Département de Génie Mécanique, Ecole Nationale Polytechnique d’Alger, Algérie 4 Département d'Electromécanique, Université de Djelfa, Algérie *auteur correspondance: srechak@hotmail.com Résumé : Dans cet article, la méthode des éléments finis étendue (X-FEM) est utilisée pour décrire le comportement vibratoire des plaques présentant une discontinuité à différentes positions. La théorie utilisée est celle de Mindlin, où les effets de l'inertie de rotation et des déformations en cisaillement transverse sont pris en considération. Deux types d'éléments sont testés dans la discrétisation par éléments finis à savoir, élément quadratique à 4 nœuds et élément quadratique à 9 nœuds. La technique d'itération en sous espace est ensuite utilisée pour la résolution du problème aux valeurs propres. Différentes applications sont considérées, à savoir : cas des plaques avec fissure centrale et plaques avec fissure au bord. Les résultats obtenus en termes de fréquences propres et en fonction de la longueur de la fissure sont satisfaisants comparativement à ceux disponibles dans la littérature Abstract : In this Paper, the extended finite element method (X-FEM) is used to describe the vibratory behavior of plates having a discontinuity at various positions.The Mindlin's theory, in witch the effects of the rotary inertia and transverse shear deformation are taken into account, is used.Two Kinds of elements are tested in the discretization by finite elements, the 4 nodes quadratic element, and the 9 nodes quadratic element. The subspace iteration method is then used to solve the eigenvalue problem. Various applications are considered such as the case of plates with central crack and the plates with an edge crack. The results obtained in terms of Eigen frequencies with respect to the crack length are satisfactory as compared to those available in the literature. Mots clefs : Comportement vibratoire, X-FEM, plaques fissurées. 1 Introduction La méthode des éléments finis étendue (X-FEM), présentée par Moës et al. (1999) permet d'éviter le remaillage au cours de l'analyse des structures présentant des discontinuités. Elle a montré son efficacité dans l'analyse de plusieurs problèmes de mécanique de la rupture, mais son application dans la dynamique des structures est assez limitée. L'objectif principal de ce travail est de démontrer la validité de la X-FEM dans l'analyse du comportement vibratoire des plaques fissurées. La méthodologie présentée par Moës et al. (1999) est suivie pour développer les expressions des matrices de rigidité et de masse. Des cas de plaques avec fissure centrale et fissure au bord sont considérés. La fissure est supposée non 18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 2 y x z a b h FIG. 1 - Schéma d'une plaque fissurée propagente et parallèle à la direction longitudinale de la plaque. Cette supposition permet de contrôler la position de la fissure par rapport au maillage par éléments finis. A cet effet, la fissure est supposée alignée avec l'élément et s'arrête sur son bord, ce qui permet d'éviter le raffinement du maillage au voisinage de la fissure et permet aussi de réduire la grandeur de la complexité de l'analyse. 2 Formulation X-FEM Une plaque rectangulaire de dimensions latérales a, b et d'épaisseur h est considérée. Le système d'axes (x,y,z) passe par la surface moyenne de cette plaque (Figure 1). Dans cette analyse, le champ de déplacements utilisé est basé sur la théorie de Mindlin, le déplacement d'un point quelconque de la plaque est défini par trois variables indépendantes, un déplacement vertical w, et deux rotations x θ et y θ respectivement autour des axes x et y. Pour une plaque fissurée, la formulation X-FEM permet d'écrire le champ de déplacements sous la forme (Moës et al. (1999)): u i i j j i I j J N u N Hu ∈ ∈ ′ = + ∑ ∑ (1) avec N les fonctions d’interpolation standards, I l’ensemble des points nodaux de la plaque, J l’ensemble des nœuds des éléments traversés par la fissure, H la fonction d’enrichissement, i u le déplacement nodal classique et j u′ les degrés de liberté nodaux correspondant aux fonctions d'enrichissement. Le champ de déformations exprimé en terme des déformations en courbures et déformations en cisaillement transverse se déduit du champ de déplacements (1) est s'écrit: x 0 i ,x j ,x y 0 i ,y j ,y 0 i 0 j xy 0 i ,y i ,x j ,y j ,x x 0 i x 0 j i I j J xz i ,x i j ,x j y 0 i y 0 j yz i ,y i j ,y j 0 N 0 0 N H 0 0 0 N 0 0 N H w w 0 N N 0 N H N H N N 0 N H N H 0 N 0 N N H 0 N H ∈ ∈ κ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ κ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ κ = θ + θ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ′ γ θ θ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ γ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ (2a) Les indices x et y dénote la dérivée de N respectivement par rapport aux directions x et y. Le système (2a) peut être réécrit sous la forme contracte suivante : i j B u B u ′ ′ ε = + (2b) Où j j B HB ′ = Dans l'analyse des vibrations libres non amorties, la forme générale de l’équation du mouvement est : 0 d d = + M K (3) 18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 3 K et M sont respectivement la matrice de rigidité globale et la matrice de masse globale (obtenues par l’assemblage des matrices élémentaires), d est le vecteur global des déplacements nodaux et d le vecteur global des accélérations nodales. L'équation (3) peut être obtenue par application du principe de Hamilton : ( ) 2 1 t t F T U dt = − ∫ (4) où t est le temps, T et U sont respectivement l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de la plaque. Pour un élément e de la plaque, l'énergie potentielle, après intégration suivant l’épaisseur de la plaque, est ; { } e T T e u 1 U u u K u 2 ⎧ ⎫ ′ = ⎨ ⎬ ′ ⎩ ⎭ (5) où e K est la matrice de rigidité élémentaire, exprimée par : e e e e T T i i i j e e A A ii ij e e e T T ji jj j i j j A A B CB dA B CB dA K K K K K B CB dA B CB dA ⎡ ⎤ ′ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ′ ′ ′ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ C est la rigidité de la plaque et e A la surface élémentaire. L'énergie cinétique d'un élément e de la plaque est : { } e T T e u 1 T u u M u 2 ⎧ ⎫ ′ = ⎨ ⎬ ′ ⎩ ⎭ (6) Le point représente la dérivée première du champ de déplacements par rapport au temps et e M la matrice masse élémentaire exprimée par : e e e e i i i j e e A A ii ij e e e ji jj j i j j A A N N hdA N N HhdA M M M M M N H N hdA N H N HhdA ⎡ ⎤ ρ ρ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ρ ρ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ où ρ est la masse volumique de la plaque. Pour la recherché des fréquences propres, l'équation (3) est converti en un problème aux valeurs propres comme suit : (K M)d 0 −λ = (7) La technique d'itération sur sous espace (Bathe et Wilson. (1996)) est utilisée pour le calcul des valeurs propres i λ et leurs vecteurs propres correspondants i d . 3 Etudes numériques La recherche des réponses vibratoires est effectuée par le développement d'un programme informatique en Fortran où la X-FEM est implémentée. Afin de donner une idée sur l'ordre de précision de ce programme, une étude comparative est effectuée sur les premières fréquences 18ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 4 propres, où nos résultats sont comparés à ceux obtenus par les solutions analytiques. A cet effet, deux cas uploads/Management/analyse-du-comportement-vibratoire-des-p-pdf.pdf
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- Publié le Nov 21, 2021
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