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Electricité Générale (2017/2018) UEF1.1 1 Rappels mathématiques 1. Les vecteurs

Electricité Générale (2017/2018) UEF1.1 1 Rappels mathématiques 1. Les vecteurs Un vecteur est un objet mathématique qui possède une intensité et une direction. On désignera un vecteur au moyen d'un symbole surmonté d'une flèche noté (V ) et son intensité par le symbole sans flèche V. La composante d'un vecteur sur un axe donné est la longueur de la projection du vecteur sur l'axe. Soit trois axes orthogonaux X, Y et Z. Un vecteur (tridimensionnel) est complètement déterminé par ses composantes x, y, z sur les trois axes. On écrit V = f(x, y, z). Cela dit, il est important de remarquer que le vecteur est indépendant des axes choisis (c'est-à-dire du référentiel), tandis que les composantes changent si l'on effectue une rotation des axes, par exemple. Un vecteur unitaire est un vecteur dont la grandeur est égale à 1. On le désigne par une lettre minuscule (i , j , k , u, etc.). Pour tout vecteur V non nul, V V u = est le vecteur unitaire parallèle à V . Les trois vecteurs unitaires ( i , j , k ) sont parallèles aux axes X, Y, Z, respectivement et manifestement, on écrit : V = x i + y j + z k (1.1) - Le produit scalaire de deux vecteurs 1 V et 2 V est un nombre, noté ( 1 V . 2 V ), et défini comme 1 V . 2 V = x1x2 + y1y2 + z1z2. (1.2) On peut montrer que 1 V . 2 V = V1 .V2 . cos( α ) ; α est l'angle entre 1 V et 2 V . Le produit 1 V . 2 V est un scalaire, en ce sens que sa valeur ne change pas si l'on effectue une rotation des axes x, y et z. On a 2 2 2 2 V z y x V . V = + + = (1.3) - Le produit vectoriel de 1 V et 2 V est un vecteur, noté ( 1 V Λ 2 V ) et défini comme 1 V Λ 2 V = (y1z2 – z1y2) i + (z1x2 – x1z2) j + (x1y2 – y1x2) k = 2 2 2 1 1 1 z y x z y x k i i (1.4) On peut montrer que ( 1 V Λ 2 V ) est un vecteur perpendiculaire au plan formé par 1 V et 2 V , dont l’intensité est égale à (V1.V2 .|sin α|) et dont le sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite. Il n'est pas difficile de montrer que : 1 V Λ 2 V = - 2 V Λ 1 V (1.5) Electricité Générale UEF1.1 2 1 V . 2 V = 2 V . 1 V (1.6) 1 V . ( 2 V Λ 3 V ) = 2 V . ( 3 V Λ 1 V ) = 3 V . ( 1 V Λ 2 V ) (1.7) 1 V . ( 2 V Λ 3 V ) = ( 1 V . 3 V ). 2 V - ( 1 V . 2 V ). 3 V (1.8) - La dérivée d'un vecteur par rapport à une variable s'effectue composante par composante. La dérivée d'un produit scalaire ou d'un produit vectoriel suit les lois de la dérivée d'un produit ordinaire. 2. Les systèmes de coordonnées Rappel : L'intégrale d'une fonction f(x) entre deux bornes a et b est égale à l'aire sous la courbe associée. Pour obtenir une valeur approximative de l'aire, on peut faire la construction illustrée à la figure 1.1. On divise l'intervalle (a,b) en n sous intervalles égaux de longueur ∆x, et on évalue l'aire de chacun des rectangles indiqués. Fig. 1.1: Approximation de l'aire sous une courbe. On a ainsi : Aire sous la courbe = ∑ = n 1 i i x ) x ( f ∆ = Α = S (1.9) Et donc ∑ ∫ = +∞ > − = n 1 i i n b a x ) x ( f lim dx ) x ( f ∆ (1.10) Une fonction d'une variable peut être intégrée sur un intervalle. On effectue donc les calculs dans l’espace à une dimension. De même, une fonction de deux variables peut être intégrée sur une surface (on utilise dans ce cas l’intégrale double ∫∫), les calculs sont réalisés dans l’espace à deux dimensions. En fin, une fonction de trois variables peut être intégrée sur un volume (on utilise l’intégrale triple ∫∫∫) et on calcul donc dans l’espace à trois dimensions. f(x2) f(xn) f(x1) xn x2 x1 a b Electricité Générale UEF1.1 3 a- Coordonnées cartésiennes M = M (x,y,z) Elément de volume b- Coordonnées cylindriques. M = M (ρ,ϕ,z) Elément de volume En faisant varier ρ de 0 à R, ϕ de 0 à 2π et z de 0 à une valeur h, le point M décrira un cylindre d’axe OZ, de rayon R et de hauteur h. On écrit : h 2 2 R dz d d dz d d dv v 2 R 0 h 0 2 0 v v π ϕ ρ ρ ϕ ρρ π = = = = ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ . C’est-à-dire que h R v 2 π = qui est bien le volume du cylindre. On peut obtenir la surface (pour deux dimensions) du même cylindre en fixant ut ρ = R donc : Rh 2 dz Rd ds s h 0 2 0 s π ϕ π = = = ∫ ∫ ∫∫ . Cas particulier : coordonnées polaires. Pour z = 0, le système est réduit à deux dimensions ϕ et ρ, que l’on note par habitude θ et r. Dans ce cas on peut représenter OM ainsi que l’élément de surface ds dans le référentiel OXY. M z e ρ e ρ ϕ Y X Z z ϕ e dz Y X Z ρ d ϕ d dv = dρ .( ρ d . ϕ ) . dz ϕ ρd M i k j 1 r X Z dx i k j Y X Z dy dz dv = dx.dy.dz Electricité Générale UEF1.1 4 c- Coordonnées sphériques. M = M (r,θ,ϕ) Elément de volume En faisant varier r de 0 à R, θ de 0 à π et ϕ de 0 à 2π, le point M décrira une sphère de rayon R et de centre O. On écrit : π ϕ θ θ ϕ θ θ π π . 2 . 2 . 3 R d d sin dr r d drd sin r dv v 3 R 0 2 0 0 2 v 2 v = = = = ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ . C’est-à-dire que 3 R 3 4 v π = qui est bien le volume de la sphère. On peut obtenir la surface (donc deux dimensions) de la même sphère en fixant dés le début r = R : 2 2 0 0 2 s R 4 d d sin R ds s π ϕ θ θ π π = = = ∫ ∫ ∫∫ . 3. Analyse vectorielle Un objet mathématique qui dépend des coordonnées spatiales x, y, et z est appelé un champ. Un champ peut aussi dépendre du temps. Un champ peut être scalaire (f(x, y, z) ou f(x, y, z, t)) ou vectoriel. Un champ vectoriel est un vecteur qui dépend de x, y, z (et, peut-être aussi, de t). Chaque composante du champ peut être fonction des trois variables spatiales x, y et z. V ( r ) = (Vx(x, y, z), Vy(x, y, z), Vz(x, y, z)) (1.11) On écrit aussi V ( r ) ou V ( r , t). * Un vecteur qui ne dépend pas de r est dit champ uniforme. * Un champ indépendant du tempsest dit constant. r.dθ r.sin (θ) . d ϕ dr r e ϕ e θ M θ e r ϕ Y X Z dv Y X Z dv = r2. sin (θ ).dr .d θ . d ϕ y O x dr r.d θ θ r X X Y Y O M x = r .cos ( θ) y = r. sin( θ) x2 + y2 = r2 ds = r .dr. d θ ds Electricité Générale UEF1.1 5 Exemples: Le champ électrique, le champ magnétique et la vitesse d'un fluide sont des champs vectoriels, tandis que la température, la pression, et la densité de l'atmosphère sont des champs scalaires. | 3.1. LES OPERATEURS : Gradient, divergence et rotationnel. a- L’opérateur gradient Soit f (r ) = f (x, y, z) un champ scalaire. On peut, en général, calculer les dérivées partielles de f par rapport aux variables x, y et z (de même que les dérivées secondes, etc.). Soit r = (x, y, z) et r +dr = (x+dx, y+dy, z+dz) deux points séparés par une distance infiniment petite. La différence entre f ( r + d r ) et uploads/Marketing/ 2-rappels-mathematiques-pdf.pdf