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Table des mati` eres Cours de calcul tensoriel pour la physique d’Emmanuel Plau

Table des mati` eres Cours de calcul tensoriel pour la physique d’Emmanuel Plaut ` a Mines Nancy. Introducto 5 1 Alg` ebre tensorielle 9 1.1 Espace - Vecteurs - Base et rep` ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Remarque sur la notation ≪vecteur ≫: ﬂ` eche vs barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Convention de sommation sur les indices r´ ep´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices r´ ep´ et´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Produit scalaire - Premi` ere rencontre avec le point de contraction . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Formule de changement de base - Notion de repr´ esentation . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ex. 1.2 : V´ eriﬁcation de la coh´ erence de la d´ eﬁnition du produit scalaire . . . . . . . . . . . . 13 1.1.5 Sur le caract` ere ≪direct ≫des bases i.e. la notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 D´ eﬁnition des tenseurs comme applications lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Repr´ esentation par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Formule de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.4 Application : ´ ecriture intrins` eque d’un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Ex. 1.3 : De l’int´ erˆ et de la notation produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.5 Tenseur identit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 D´ eﬁnition et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Applications : d´ eﬁnition de la transposition, tenseurs (anti)sym´ etriques . . . . . . . . 17 Ex. 1.4 : Transposition d’un produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Les tenseurs comme applications multilin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.1 D´ eﬁnition des tenseurs comme applications multilin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ex. 1.5 : Application de la d´ eﬁnition multilin´ eaire r´ ecurrente au cas n = 2 . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 D´ eﬁnition g´ en´ erale du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3 ´ Ecriture intrins` eque et repr´ esentation - Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ex. 1.6 : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilin´ eaire . . . . . . . . . 19 1.5.4 D´ eﬁnition g´ en´ erale du produit contract´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ex. 1.7 : Produit contract´ e de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ex. 1.8 : Produit contract´ e d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ex. 1.9 : Produit contract´ e de deux tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ex. 1.10 : Associativit´ e du produit de contraction dans un cas g´ en´ eral . . . . . . . . . . . . . 22 2 Table des mati` eres 1.5.5 D´ eﬁnition g´ en´ erale du produit doublement contract´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Tenseur altern´ e fondamental et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.1 D´ eﬁnition du tenseur altern´ e fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ex. 1.11 : Utilisation du tenseur altern´ e fondamental pour calcul d’un d´ eterminant . . . . . . 24 1.6.2 Produits mixte et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6.3 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 antisym´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ex. 1.12 : Formules portant sur le tenseur altern´ e fondamental et le vecteur dual . . . . . . . 26 Ex. 1.13 : Formule du double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ex. 1.14 : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 sym´ etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ex. 1.15 : Tenseur antisym´ etrique en fonction de son vecteur dual . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7 Exemples en m´ ecanique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Analyse tensorielle 29 2.1 Gradient d’un champ de tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 D´ eﬁnition intrins` eque en tant que diﬀ´ erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Marketing/ polct-pdf.pdf