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Electricité 1 Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI 1 Faculté des Sciences Electricité Cours

Electricité 1 Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI 1 Faculté des Sciences Electricité Cours Exercices et problèmes corrigés Pr. : M. CHAFIK EL IDRISSI Electricité 1 Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI 2 TABLE DES MATIERES RAPPELS MATHEMATIQUES 5 1. LES VECTEURS 5 2. LES SYSTEMES DE COORDONNEES 6 A- COORDONNEES CARTESIENNES 7 B- COORDONNEES CYLINDRIQUES. 7 C- COORDONNEES SPHERIQUES. 8 3. ANALYSE VECTORIELLE 8 3.1. LES OPERATEURS : GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL. 9 4. THEOREMES FONDAMENTAUX. 10 4.1 CIRCULATION D’UN VECTEUR. 10 4.2. FLUX D’UN VECTEUR A TRAVERS UNE SURFACE. 11 4.3. THEOREME DE STOKES. 11 4.4. THEOREME DE GREEN OSTROGRADSKI. 12 EXERCICES SUR LES RAPPELLES MATHEMATIQUES 13 ELECTROSTATIQUE 14 I- FORCE ET CHAMP ELECTROSTATIQUES 14 I.1 INTRODUCTION. 14 I.2 LA LOI DE COULOMB. 14 I.3 CHAMP ELECTRIQUE DANS LE VIDE. 16 I.3.1.CHAMP ELECTRIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES. 18 a- Distribution volumique. 18 b- Distribution surfacique 19 c- Distribution linéique 19 I.4 THEOREME DE GAUSS. 19 I.4.1 ANGLE SOLIDE. 19 I.4.2 FLUX DU CHAMP ELECTRIQUE. 20 I.4.3 THEOREME DE GAUSS. 22 I.5 APPLICATION : CALCUL DE E PAR LE THEOREME DE GAUSS. 23 I.5.1 CHAMP CREE PAR UNE SPHERE CHARGEE AVEC ρ UNIFORME. 23 I.5.2 ETUDE DES SYMETRIES 25 II. POTENTIEL ELECTRIQUE DANS LE VIDE 26 II.1 INTRODUCTION. 26 II.1.1 CAS OU LE CHAMP EST PRODUIT PAR UNE SEULE CHARGE. 27 II.1.2 LE CHAMP EST PRODUIT PAR UN ENSEMBLE DE CHARGES PONCTUELLES. 27 II.2- POTENTIEL ELECTRIQUE. 28 II.3- RELATION ENTRE LE CHAMP ET LE POTENTIEL ELECTRIQUE. 28 II.4- SURFACE EQUIPOTENTIELLES. 29 II.5- APPLICATION. 30 II.5.1- CAS D’UNE CHARGE PONCTUELLE. 30 II.5.2- CAS DE DEUX CHARGES PONCTUELLES. 30 Electricité 1 Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI 3 II.5.3- ETUDE D’UN DIPOLE. 30 a- Définition. 30 b- Potentiel crée par le dipôle. 31 c- Champ crée par le dipôle. 31 d- Lignes de champ et Surfaces équipotentielles. 32 III. LES CONDUCTEURS 34 III.1 INTRODUCTION. 34 III.1.1 CONDUCTEURS ET ISOLANTS. 34 III.1.2 PROPRIETES D’UN CONDUCTEUR EN EQUILIBRE. 34 III.2. THEOREME DE COULOMB- ELEMENT CORRESPONDANTS. 35 III.2.1 THEOREME DE COULOMB. 35 III.2.2 ELEMENTS CORRESPONDANTS. 36 III.3. INFLUENCES ELECTROSTATIQUES. 36 III.3.1 INFLUENCE SUR UN CONDUCTEUR ISOLE. 36 III.3.2 INFLUENCE SUR UN CONDUCTEUR RELIE AU SOL. 37 III.3.3 INFLUENCE TOTALE. 37 III.3.4 CAPACITE ET COEFFICIENT D’INFLUENCE. 38 a- Capacité d’un conducteur seule et isolé 38 b- Système de conducteur en équilibre électrostatique. 38 III.3.5 LES CONDENSATEURS. 40 III.3.5.1 CAPACITE D’UN CONDENSATEUR. 40 III.3.5.2 APPLICATION. 40 III.3.5.3 GROUPEMENT DE CONDENSATEUR. 41 III.4. ENERGIE ELECTROSTATIQUE. 42 III.4.1 DEFINITION. 42 III.4.2. ENERGIE D’UN CONDUCTEUR. 43 EXERCICES D’ELECTROSTATIQUE 44 I- CALCUL DIRECT DE CHAMPS ELECTROSTATIQUES. 44 II- THEOREME DE GAUSS 45 III- CALCUL INDIRECT DU CHAMP ELECTROSTATIQUE. 47 IV- CONDUCTEURS ELECTROSTATIQUES 48 ELECTROCINETIQUE 51 I. GENERALITES – LOI D’OHM. 51 I.1. COURANT ELECTRIQUE. 51 I.2. DENSITE DE COURANT. 51 I.3. LOI D’OHM. 52 a- Loi d’Ohm locale 52 b- Résistance électrique 53 I.4. LOI DE JOULE. 55 II. LOI D’OHM GENERALISEE 55 II.1. GENERATEUR. 55 III.2. RECEPTEUR. 55 Electricité 1 Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI 4 II.3. LOI D’OHM GENERALISEE. 56 III. ETUDE DES RESEAUX 56 III.1. DEFINITIONS. 56 III.2. LOI DE POUILLET. 57 III.3. LOIS DE KIRCHHOFF. 58 a- Première loi de Kirchhoff 58 b- Deuxième loi de Kirchhoff 58 III. 4. THEOREME DE THEVENIN. 58 III.5. THEOREME DE SUPERPOSITION. 59 III.6. TRANSFORMATION ETOILE – TRIANGLE OU DE KENELLY. 60 III. 7. METHODE DES MAILLES INDEPENDANTES. 60 EXERCICES D’ELECTROCINETIQUE 61 SOLUTION DES EXERCICES ET PROBLEMES 64 RAPPELS MATHEMATIQUES 64 ELECTROSTATIQUE 68 I- CALCUL DIRECT DE CHAMPS ELECTROSTATIQUES 68 II- THEOREME DE GAUSS 74 III- CALCUL INDIRECT DU CHAMP ELECTROSTATIQUE 80 IV- CONDUCTEURS ELECTROSTATIQUES 83 ELECTROCINETIQUE 92 PROBLEMES DE REVISION 96 Electricité 1 Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI 5 Rappels Mathématiques 1. Les vecteurs Un vecteur est un objet mathématique qui possède une intensité et une direction. On désignera un vecteur au moyen d'un symbole surmonté d'une flèche (V ) et son intensité par le symbole sans la flèche V. La composante d'un vecteur sur un axe donné est la longueur de la projection du vecteur sur l'axe. Soit trois axes orthogonaux X, Y et Z. Un vecteur (tridimensionnel) est complètement déterminé par ses composantes x, y, z sur les trois axes. On écrit V = (x, y, z). Cela dit, il est important de remarquer que le vecteur est indépendant des axes choisis (c'est-à-dire du référentiel), tandis que les composantes changent si l'on effectue une rotation des axes, par exemple. Un vecteur unitaire est un vecteur dont la grandeur est égale à 1. On le désigne par une lettre minuscule (i , j , k , u, etc.). Pour tout vecteur V non nul, V V u = est un vecteur unitaire parallèle à V . Les trois vecteurs unitaires ( i , j , k ) sont parallèles aux axes X, Y, Z, respectivement et manifestement, V = x i + y j + z k (1.1) - Le produit scalaire de deux vecteurs 1 V et 2 V est un nombre, noté 1 V . 2 V et défini comme 1 V . 2 V = x1x2 + y1y2 + z1z2. (1.2) On peut montrer que 1 V . 2 V = V1 V2cos α. α est l'angle entre 1 V et 2 V . Le produit 1 V . 2 V est un scalaire, en ce sens que sa valeur ne change pas si l'on effectue une rotation des axes x, y et z. On a 2 2 2 2 V z y x V . V = + + = (1.3) - Le produit vectoriel de 1 V et 2 V est un vecteur, noté 1 V Λ 2 V et défini comme 1 V Λ 2 V = (y1z2 – z1y2) i + (z1x2 – x1z2) j + (x1y2 – y1x2) k = 2 2 2 1 1 1 z y x z y x k i i (1.4) On peut montrer que 1 V Λ 2 V est un vecteur perpendiculaire au plan formé par 1 V et 2 V , dont l’intensité est égale à V1.V2 |sin α| et dont le sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite. Il n'est pas difficile de montrer que : 1 V Λ 2 V = - 2 V Λ 1 V (1.5) Electricité 1 Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI 6 1 V . 2 V = 2 V . 1 V (1.6) 1 V . ( 2 V Λ 3 V ) = 2 V . ( 3 V Λ 1 V ) = 3 V . ( 1 V Λ 2 V ) (1.7) 1 V . ( 2 V Λ 3 V ) = ( 1 V . 3 V ). 2 V - ( 1 V . 2 V ). 3 V (1.8) - La dérivée d'un vecteur par rapport à une variable s'effectue composante par composante. La dérivée d'un produit scalaire ou d'un produit vectoriel suit les lois de la dérivée d'un produit ordinaire. 2. Les systèmes de coordonnées Rappel : L'intégrale d'une fonction f(x) entre deux bornes a et b est égale à l'aire sous la courbe associée. Pour obtenir une valeur approximative de l'aire, on peut faire la construction illustrée à la figure 1.1. On divise l'intervalle (a,b) en n sous intervalles égaux de longueur ∆x, et on évalue l'aire de chacun des rectangles indiqués. Fig. 1.1: Approximation de l'aire sous une courbe. On ainsi : Aire sous la courbe = ∑ = n 1 i i x ) x ( f ∆ (1.9) Et donc ∑ ∫ = +∞ > − = n 1 i i n b a x ) x ( f lim dx ) x ( f ∆ (1.10) Une fonction d'une variable peut être intégrée sur un intervalle. On effectue donc les calculs dans l’espace à une dimension. De même, une fonction de deux variables peut être intégrée sur une surface (on utilise dans ce cas l’intégrale double ∫∫), les calculs sont réalisés dans l’espace à deux dimensions. En fin, une fonction de trois variables peut être intégrée sur un volume (on utilise l’intégrale triple ∫∫∫) et on calcul donc dans l’espace à trois dimensions. f(x2) f(xn) f(x1) xn x2 x1 a b Electricité 1 Pr. M. CHAFIK EL IDRISSI 7 a- Coordonnées cartésiennes M = M (x,y,z) Elément de volume b- Coordonnées cylindriques. M = M (ρ,ϕ,z) Elément de volume En faisant varier ρ de 0 à R, ϕ de 0 à 2π et z de 0 à une valeur h, le point M décrira un cylindre d’axe OZ, de rayon R et de hauteur h. On écrit : h 2 2 R dz d d dz d d dv v 2 R 0 h 0 2 0 v v π ϕ ρ ρ ϕ ρρ π = = = = ∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ . C’est-à-dire que h R v 2 π = qui est bien le volume du cylindre. On peut obtenir la surface (donc deux dimensions) du même cylindre en fixant dés uploads/Marketing/ cours-2-electricite-avec-exercices-corrigees.pdf