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MP du lycée Berthollet, 2015/2016 http://mpberthollet.wordpress.com Résumé 15 : Espaces préhilbertiens Dans tout ce cours E sera un R−espace vectoriel de dimension n ∈N∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I ESPACES PRÉHILBERTIENS Soit E un espace vectoriel réel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive sur E, que l’on note généralement < ., . >. Ici, “positive” signifie que pour tout x ∈E, < x, x >⩾0 et “définie” signifie que pour tout x ∈E, si < x, x >= 0, alors x = 0E. On dit que E, < ., . >
est un espace préhilbertien. S’il est de plus de dimen- sion finie, il est dit euclidien. Puisque la forme bilinéaire est positive, on peut poser ∀x ∈E, ∥x∥= √< x, x >, que l’on appelle norme euclidienne (ou hilbertienne) de x, associée au produit scalaire < ., . >. Elle vérifie pour tous x, y ∈E : < x, y >= 1 4  ∥x + y∥2 −∥x −y∥2 Identité de polarisation ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2 + 2 < x, y > Identité d’ Al-Kachi. La première de ces deux égalités prouve qu’il y a une bijection entre les normes euclidiennes et les produits scalaires. Inégalité de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski Soient x et y deux vecteurs de E. Alors, < x, y > ⩽∥x∥× ∥y∥. De plus, on a l’équivalence entre l’egalité < x, y > = ∥x∥× ∥y∥la colinéarité entre x et y. Le signe de < x, y > est alors égal au signe du coefficient de colinéarité. Inégalité de Minkowski Soient x et y deux vecteurs de E. On a l’égalité : ∥x + y∥⩽∥x∥+ ∥y∥, avec égalité si et seulement si x et y sont positivement colinéaires. Le théorème de représentation de Riesz : Si E est un espace euclidien, pour toute forme linéaire ϕ : E →R, il existe un unique vecteur x0 ∈E tel que pour tout x ∈E, ϕ(x) =< x0, x > . EXEMPLES : ▷Le produit scalaire usuel sur Rn. ϕ : (X, Y ) ∈(Rn)2 7→ n X i=1 xiyi ∈R. ▷Le produit scalaire usuel sur Mn,p(R) : ϕ : (M, N) ∈Mn,p(R) × Mn,p(R) 7→Trace tMN
. On remarque que ce produit scalaire est le p.s. défini ci-dessus lorsque l’on iden- tifie l’espace des matrices à l’espace des vecteurs de Rnp, i.e Trace tMN
= n X i=1 p X j=1 mi,jni,j. En utilisant les propriétés de la trace, on peut prouver que toute matrice symé- trique est orthogonale aux matrices antisymétriques. ▶Soit E = L 2(I, R) l’espace des fonctions intégrables sur l’intervalle I à valeurs réelles. L’application ϕ : (f, g) ∈E × E 7→ Z I f(t)g(t)dt. est un produit scalaire sur E. ▶L’espace ℓ2(N) des suites réelles telles que X n⩾0 u2 n est convergente est muni d’un produit scalaire : u, v = +∞ X n=0 unvn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II ORTHOGONALITÉ Ici, E est un espace préhilbertien sur K = R ou C. § 1. Entre vecteurs.— Deux vecteurs x et y de E sont dits orthogonaux lorsque < x, y >= 0, et x est dit unitaire ou normé lorsque ∥x∥= 1, ce qui est le cas de y/∥y∥pour tout y ∈E non nul. Une famille de vecteurs est orthogonale lorsque ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux, et elle est orthonormale lorsqu’elle est orthogonale et que tous ses vecteurs sont unitaires. Résumé 15 : Espaces préhilbertiens Page 1 MP du lycée Berthollet, 2015/2016 http://mpberthollet.wordpress.com Proposition II.1 Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre, donc en particulier une famille orthonormale. De plus, si (e1, . . . , ep) est orthogonale, alors le théorème de Pythagore s’ap- plique : p X i=1 ei 2 = p X i=1 ∥ei∥2. § 2. Entre sous-espaces vectoriels .— Soit Ωune partie non vide de E. uploads/Marketing/ resume15-espaces-prehilbertiens.pdf

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• Publié le Jui 08, 2021
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