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Chapitre 25 : Fonctions numériques de deux variables réelles Dans tout ce chapi

Chapitre 25 : Fonctions numériques de deux variables réelles Dans tout ce chapitre, on s’intéressera aux fonctions définies sur une partie R2, à valeurs dans R. I. Limites et continuité A) Topologie de R2 On notera ∥(x, y)∥= p x2 + y2 la norme euclidienne de R2. Elle va remplacer la valeur absolue des réels et le module des complexes dans les définitions de limite et de continuité. Soient a ∈R2 et r ∈R∗ +. On appelle boule de centre a et de rayon r la partie de R2 suivante : B(a, r) = n u ∈R2 | ∥u −a∥< r o On l’appelle également boule ouverte pour la distinguer de la boule fermée définie ainsi : BF (a, r) = n u ∈R2 | ∥u −a∥⩽r o Définition 1 Remarque 1. En dimension 1, une boule (resp : ouverte ou fermée) est un intervalle (resp : ouvert ou fermé). Le concept de boule est la traduction de celui d’intervalle aux dimensions supérieures n ⩾2. Dans ce chapitre, on ne traite que du cas n = 2 ; donc les boules sont en fait des disques. On dit qu’une partie A de R2 est ouverte lorsque elle contient au moins une boule ouverte centrée en chacun de ses points. Ou encore, symboliquement : A est ouverte dans R2 ⇐ ⇒ ∀a ∈A, ∃ε ∈R∗ +, B(a, ε) ⊂A On dit également que A est un ouvert de R2. Définition 2 Exemples : Les boules ouvertes, R∗ + × R (tout demi-plan ouvert), I × J où I et J sont deux intervalles ouverts de R, sont toutes des parties ouvertes de R2. A l’inverse, [a, b]×[c, d] n’est pas ouvert. [a, b[×[c, d] non plus ! 1. Démontrer que la réunion de deux ouverts de R2 est encore un ouvert de R2. Peut-on généraliser ce résultat à une réunion quelconque ? 2. Démontrer que l’intersection de deux ouverts de R2 est encore un ouvert de R2. Peut-on généraliser ce résultat à une intersection quelconque ? Considérer la famille An =] −1 n; 1[. Exercice 1 1 Soient f : R2 →R et M0 = (x0, y0) ∈R2. On appelle applications partielles associées à f en M0 les applications : fy0 : x 7→f(x, y0) et fx0 : y 7→f(x0, y) Définition 3 Remarque 2. Pour définir ces applications partielles, on fixe une des deux variables et l’application partielle dépend de l’autre variable. Ce sont des restrictions de f sur les droites parallèles aux axes passant par M0. Exemple : Soit f : R2 →R définie par f(x, y) =    xy x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) Pour M0 = (0, 0), les applications partielles sont : fy : R → R x 7→ f(x, 0) et fx : R → R y 7→ f(0, y) Ces applications partielles sont donc nulles sur R. Or, ∀λ ∈R, f(λ, λ) = 1 2 ̸= 0, donc f n’est pas nulle sur R2. Ainsi, les applications partielles ne suffisent pas à déterminer la fonction, même au voisinage de M0. Il convient de bien faire la différence entre les applications partielles qui sont des fonctions d’une variable et les applications coordonnées qui sont des fonctions de deux variables. Ce sont en fait les projections orthogonales selon les axes : p1 : R2 → R (x, y) 7→ x et p2 : R2 → R (x, y) 7→ y Confusion classique Soient A un ouvert de R2. 1. Montrer que p1(A) est un ouvert de R. 2. Soient f : A →R. Peut-on affirmer que f(A) est toujours un ouvert de R ? Exercice 2 2 B) Limite et continuité en un point Soient f : A →R et a ∈R2 tel que ∀ε ∈R∗ +, A ∩B(a, ε) ̸= ∅. On dit que ℓ∈R est la limite de f en a, et on note lim (x,y)→af(x, y) = ℓlorsque : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀u ∈A, u ∈B(a, η) = ⇒|f(u) −ℓ| ⩽ε Définition 4 Comme pour les fonctions à une variable, on montre l’unicité de la limite si elle existe et si a ∈A, alors nécessairement, ℓ= f(a). Soit f : U →R où U est un ouvert de R2. On dit que la fonction f est continue en a ∈U lorsque : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀u ∈U, u ∈B(a, η) = ⇒|f(u) −f(a)| ⩽ε On dit que f est continue sur U lorsque f est continue en chaque point a ∈U. On note C0(U, R) l’ensemble des fonctions continues sur U. Définition 5 Remarque 3. Conséquences immédiates ➤f est continue en a ∈U si, et seulement si lim (x,y)→af(x, y) = f(a). ➤Si a / ∈A et si lim (x,y)→af(x, y) = l ∈R, alors on peut prolonger f par continuité en a en posant : e f : A ∪{a} →R, (x, y) 7→ ( f(x, y) si (x, y) ̸= a l si (x, y) = a Propriété 1. Théorèmes de permanence Soit U est un ouvert de R2. Soient f et g deux fonctions continues sur U, à valeurs réelles. Alors : ➤Combinaison linéaire : ∀(λ, µ) ∈R2, λf + µg est continue sur U. ➤Produit : f × g est continue sur U. ➤Inverse et quotient : g ne s’annule pas sur U = ⇒ 1 g et f g sont continues sur U. Démonstration (Propriété 1) Remarque 4. Conséquences immédiates ➤(C0(U, R), +, ·) est un R−espace vectoriel. ➤Toutes les fractions rationnelles à deux variables sont continues sur leur ensemble de définition. 1. Démontrer que l’application p1 : R2 →R, (x, y) 7→x est continue sur R2. 2. En déduire la continuité de toutes les formes linéaires de R2. Exercice 3 3 Étudier la continuité des fonctions définies sur R2 par les formules suivantes : f(x, y) =    x2y x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) g(x, y) =    x3 + y3 x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 sinon Pour la seconde, on pourra passer en coordonnées polaires. Exercice 4 Propriété 2. Continuité des applications partielles Soit f : U →R continue en a = (a1, a2) ∈U. Les applications partielles définies en a sont continues respectivement en a1 et a2. Démonstration (Propriété 2) Remarque 5. CN de continuité La réciproque de ce théorème étant fausse, on utilise systématiquement la contraposée : Si l’une des applications partielles n’est pas continue, alors la fonction n’est pas continue. Exemples : Considérons la fonction f définie sur R2 par f(x, y) =    x x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) D’après les théorèmes de permanence, f est au moins continue sur R2\{(0, 0)}. La première application partielle de f en (0, 0) est la fonction : fy : R →R, x 7→f(x, 0) = ( x x2 = 1 x si x ̸= 0 0 si x = 0 On remarque que fy n’est pas continue en 0, donc f n’est pas continue en (0, 0). Ainsi, f est seulement continue sur R2\{(0, 0)}. Étudier la continuité des fonctions définies sur R2 par les formules suivantes : f(x, y) =    x2 −y2 x2 + y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) g(x, y) =    x2 y si y ̸= 0 0 si y = 0 Exercice 5 4 C) Représentation graphique d’une fonction de R2 dans R Soit f : (x, y) 7→f(x, y) définie sur un ouvert U de R2. On appelle surface représentative de f l’ensemble des points (x, y, z) ∈R3 | z = f(x, y) . Définition 6 Remarque 6. Soit (x0, y0) ∈U. Alors la courbe représentative de l’application partielle fy0 est l’intersection du plan d’équation y = y0 et de la surface d’équation z = f(x, y). Soit k ∈R. On appelle ligne de niveau k de la surface l’intersection de la surface avec le plan d’équation z = k. Définition 7 Remarque 7. Exemple de tracé d’une courbe 3D en Python : 5 II. Calcul différentiel A) Dérivée selon un vecteur et dérivées partielles Remarque 8. Remarque préliminaire On considère une fonction f définie sur U un ouvert de R2 à valeurs dans R. Soient a = (x0, y0) ∈U et ⃗ h un vecteur non nul de R2. Puisque U est un ouvert, il existe δ > 0 tel que pour tout t ∈] −δ, δ[, a + t⃗ h ∈U. On peut donc définir la fonction suivante : φ⃗ h : ] −δ, δ[ → R t 7→ f(a + t⃗ h) La fonction φ⃗ h est donc la restriction de f au segment de droite passant par a et dirigée par ⃗ h. Soient U un ouvert de R2, f ∈F(U, R), a = (x0, y0) ∈U et uploads/Marketing/ chap25-fct-num-a-2-variables.pdf