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i @Support de Cours 1 Mécanique Quantique et Relativité Adil Chahboun Faculté d

i @Support de Cours 1 Mécanique Quantique et Relativité Adil Chahboun Faculté des Sciences et Techniques de Tanger 2015 Ces notes de cours sont une synthèse réalisée à partir de plusieurs references dont quelques unes sont citées à la ﬁn [1–3]. D’excellents cours, présentations, et vidéos sont disponibles sur le net. J’encourage vivement les étudiants à leur rendre visite. Ce polycopié est appelé à s’améliorer par vos suggestions et remarques. AC 1. rédigé avec L A T EX ii Table des matières 1 Origines de la Théorie Quantique 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.1 Approche Classique de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . 3 1.2.2 Approche Quantique de Max Planck . . . . . . . . . . 4 1.3 Eﬀet Photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Eﬀet Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Généralisation de la dualité onde corpuscule . . . . . . . . 13 1.6 La fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.1 Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.2 Notion de paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.3 Vitesse de groupe et vitesse de phase . . . . . . . . . . 18 1.7 Relation d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Equation de Schrödinger et ses applications 21 2.1 Equation d’onde non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Fonction d’onde de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 L’équation de Schrödinger indépendante du temps . . 22 2.1.3 Equation de Schrödinger dépendante du temps . . . . 23 2.1.4 conditions de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Phénomènes découlant de la mécanique ondulatoire . . . . . . 24 2.3 Résolution de l’équation de Schrödinger pour des cas simples 25 2.3.1 Problèmes à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2 Franchissement d’une discontinuité de potentiel . . . . 25 2.3.3 Franchissement d’une barrière de potentiel . . . . . . 29 2.3.4 Eﬀet Tunnel en physique des solides . . . . . . . . . . 33 2.3.5 Particule dans un puits de potentiel . . . . . . . . . . 35 3 Formalisme mathématique de la mécanique quantique 41 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Espace des fonctions d’onde (F) . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1 Structure de Fx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 iv Table des matières 3.3 Base orthornormée complète et discrète uj(x) . . . . . . . . . 42 3.3.1 Relation de Fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.2 Expression du produit scalaire et de la norme . . . . . 43 3.4 Base orthonormée complète et continue Vα(x) . . . . . . . . . 44 3.4.1 Développement de ψ(x) appartenant à Fx sur Vα(x) . 44 3.4.2 Expression du produit scalaire et de la norme . . . . . 44 3.4.3 Exemple de base continue . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5 Notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5.1 Vecteurs "ket" et "bra" . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6 Opérateurs Linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6.2 Produit de deux opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6.3 Propriétés des commutateurs . . . . . . . . . . . . . . 48 3.6.4 Représentation d’un opérateur par une matrice . . . . 48 3.6.5 Action d’un opérateur sur un ket . . . . . . . . . . . . 48 3.6.6 Élément A entre ⟨ψ| et |φ⟩. . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.6.7 Valeur moyenne d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . 49 3.6.8 Exemple d’opérateur linéaire : Projecteur . . . . . . . 49 3.6.9 Relation de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.7 Opérateurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.7.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.7.2 Opérateurs hermétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.8 Vecteurs propres et valeurs propres d’un opérateur . . . . . . 50 3.8.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.8.2 Equation caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.8.3 Valeurs propres et vecteurs propres d’un opérateur her- métique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.9 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.9.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.9.2 Exemples d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.9.3 P dans la representation |X⟩ . . . . . . . . . . . . . . 52 3.10 Observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.10.1 Théorème fondamental I . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.10.2 Théorème fondamental II . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.10.3 Ensemble complet d’observables qui commutent E.C.O.C. 54 4 Les Postulats de la Mécanique Quantique 55 4.1 Enoncé des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.1 Etat d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Marketing/ mecanique-quantique-et-relativite-1-redige-avec-l-tex.pdf