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UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/2 07 G 26 A 01 Durée : 04 heures O

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/2 07 G 26 A 01 Durée : 04 heures OFFICE DU BACCALAUREAT Séries : S2-S2A-S4-S5 – Coef. 5 Téléfax (221) 864 67 39 - Tél. : 824 95 92 - 824 65 81 Epreuve du 1er groupe M A T H E M A T I Q U E S Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude. Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR. du 12 08 1998). EXERCICE 1 (04 points) On considère dans ℂ, l’équation : z3 – (3 + 2i)z2 + (1 + 4i)z + 1 – 2i = 0. 1. a) Déterminer la solution réelle de cette équation. (0,5 pt) b) Montrer que i est une solution de cette équation. (0,5 pt) c) Déterminer la troisième solution de cette équation. (0,5 pt) 2. Soient les points A, B et C d’affixes respectives 1, i et 2 + i. a) Déterminer le module et un argument de A B A C z z z z − − . (01 pt) b) En déduire la nature du triangle ABC. (0,5 pt) c) Déterminer l’affixe du point D image de A par la rotation de centre B et d’angle 2 π . (0,5 pt) d) Montrer que A, B, C et D sont sur un cercle de centre I (1+i) et de rayon r à déterminer. (0,5 pt) EXERCICE 2 (04 points) 1. On considère un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note pi la probabilité d’apparition de la face numérotée i. Les pi vérifient : p1 = p2 ; p3 = p4 = 2 p1 ; p5 = p6 = 3 p1 ; a) Montrer que p1 = 12 1 . (01 pt) b) Montrer que la probabilité de l’événement A : « obtenir 3 ou 6 » est égale à 12 5 . (0,5 pt) 2. Un jeu d’adresse consiste à lancer le dé décrit ci- dessus puis à lancer une fléchette sur une cible fixe. Si le joueur obtient 3 ou 6, il se place à 5m de la cible et lance la fléchette sur la cible ; à 5 m, la probabilité d’atteindre la cible est alors 5 3 . Si l’événement A n’est pas réalisé, il se place à 7m de la cible et lance la fléchette ; à 7 m, la cible est atteinte avec une probabilité égale à 5 2 . On note C l’événement : « la cible est atteinte ». a) Déterminer p (C/A) et p (C/A ). (0,5+0,5 pt) En déduire que p (C) = 60 29 . (0,5 pt) b) Déterminer p (A/C). (0,5 pt) …/… 2 M A T H E M A T I Q U E S 07 G26 A 01 Série : S2-S2A-S4-S5 Epreuve du 1er Groupe 2 / 2 3. Le joueur dispose de 10 fléchettes qu’il doit lancer une à une, de façon indépendante, dans les mêmes conditions que précédemment définies. Calculer la probabilité pour qu’il atteigne la cible exactement 4 fois. (0,5 pt) Problème : (12 points) I. Soit g la fonction définie sur ] 0 ; +∞ [ par : g(x) = 1 + x + ln x. 1. Dresser le tableau de variation de g. (01,5 pt) 2. Montrer qu’il existe un unique réel α solution de l’équation g(x) = 0. Vérifier que α appartient à ]0,2 ; 0,3 [. (0,5 pt) 3. En déduire le signe de g sur ] 0 ; +∞ [. (0,5 pt) 4. Etablir la relation ln (α) = -1 - α. (0,5 pt) II. On considère la fonction f définie par :        = > + = 0 x si 0 0 x si x 1 xlnx ) x ( f 1. Montrer que f est continue en 0 puis sur ] 0 ; +∞ [. (0,5+0,5 pt) 2. Étudier la dérivabilité de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat. (0,5+0,5 pt) 3. Déterminer la limite de f en +∞. (0,5 pt) 4. Montrer que, quel que soit x élément de ] 0 ; +∞ [, 2 ) x 1 ( ) x ( g ) x ( ' f + = . (01 pt) En déduire le signe de f ’(x) sur ] 0 ; +∞ [. (0,5 pt) 5. Montrer que f (α) = -α . (0,5 pt) 6. Dresser le tableau de variations de la fonction f. (0,5 pt) 7. Représenter la courbe de f dans le plan muni du repère orthonormal ) j , i , O ( r r . Unité graphique : 5cm. Prendre α ≈ 0,3. (1,5 pt) III. 1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale ∫ = e 1 dx ln(x). x. I . (01 pt) 2. Montrer que pour tout x élément de [ 1 ; e ], 1 e x ln x + ≤ f (x) ≤ 2 x ln x . (01 pt) En déduire que : ) 1 e ( 4 1 e2 + + ≤ ∫ e 1 dx f(x). ≤ 8 1 e2 + . (0,5 pt) UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/2 08 G 26 A 02 Durée : 4 heures OFFICE DU BACCALAUREAT Séries : S2-S4-S5 – Coef. 5 Téléfax (221) 824 65 81 - Tél. : 824 95 92 - 824 65 81 Epreuve du 1er groupe M A T H E M A T I Q U E S Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude. (Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR. du 12.08.1988). EXERCIE 1 (05 points) 1) On considère l’équation (E ) : z3 + (-6 – 4i)z2 + (12 + 21i) z + 9 – 45i = 0. a) Déterminer la solution imaginaire pure z0 de l’équation (E ). (01point) b) Achever la résolution de (E) (on appellera z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et z2 la troisième solution). (01point) 2) Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormé (O, v , u r r ). On considère les points A, B et C d’affixes respectives 3i, 3 + 3i et 3 – 2i. a) Placer les points A, B et C dans le repère. (0,5 point) b) Calculer B z C z B z A z − − . En déduire la nature de ABC. (01,5 point) 3) Soit f la similitude directe qui laisse invariant le point B et qui transforme A en C. a) Donner une écriture complexe de f. (0,5 point) b) Donner les éléments géométriques caractéristiques de f. (0,5 point) EXERCICE 2 (05 points) 1) Soient les équations différentielles (E0) : y’ + y = 0 et (E), y’ + y = e-x cos x. a) Trouver les réels a et b pour que h soit solution de (E), avec h(x) = (a cos x + b sin x) e-x . (0,5 point) b) Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si f-h est solution de (E0). (0,5 point) c) Résoudre (E0). (0,5 point) d) Déduire des questions précédentes la solution générale de (E). (0,5 point) e) Déterminer la solution g de (E) telle que g(0) = 0. (0,5 point) 2) Soit l la fonction définie par l (x) = e-x sin x. a) Exprimer cos       + 4 π x en fonction de cosx et sin x. (0,5 point) b) Etudier les variations de l sur [0, 2π]. (01,5 point) c) Calculer I = ∫2π 0 . (0,5 point) EXERCICE 3 (05,5 points) On dispose de trois urnes U1, U2 et U3. U1 contient 3 boules vertes et 2 boules rouges ; U2 contient 4 boules vertes et 5 boules jaunes ; U3 contient 5 boules jaunes, 4 boules rouges et 1 boule verte. Description de l’épreuve L’épreuve consiste à tirer une boule dans U1. Si elle est verte on la met dans U2 puis on tire une boule dans U2. Si elle est rouge, on la met dans U3 puis on tire une boule dans U3. …/… 2 l (x) dx. M A T H E M A T I Q U E S 2/2 08 G 26 A 02 Séries : S2-S4-S5 Epreuve du 1er groupe Question A) 1) Calculer la probabilité d’avoir une boule verte au deuxième tirage sachant que la première tirée est verte. (0,5 point) 2) Calculer la probabilité d’avoir une boule verte au deuxième tirage sachant que la première est rouge. (0,5 point) 3) En déduire la probabilité d’avoir une boule verte au deuxième tirage. (01 point) 4) Calculer la probabilité d’avoir une boule jaune au second tirage. (0,5 point) 5) Calculer la probabilité d’avoir une boule rouge au deuxième tirage. (0,5 point) B) Au cours de cette uploads/Marketing/ compilation-bac-s2-senegal-www-axloutoth-sn.pdf