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COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L’INGENIEUR 2 Cours de ﬁlière MAM, ISTIL deux

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L’INGENIEUR 2 Cours de ﬁlière MAM, ISTIL deuxième année Ionel Sorin CIUPERCA Le but de ce cours est d’introduire un outil très utilisé dans la modélisation mathéma- tique : les distributions. Le cours s’adresse en principal à des élèves des écoles d’ingénieurs ﬁlière modélisation ma- thématique. La plupart des résultats sont donnés sans démonstration, les détails des preuves étant données en classe. 1 Table des matières 1 Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l’intégrale de Lebesque 3 1.1 La mesure de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 L’intégrale de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Les espaces de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 La théorie des distributions. 9 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 L’espace D(Ω) des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 La notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Convergence dans D′(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Produit entre une fonction C∞et une distribution . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Primitives des distributions en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Convolution des distributions et applications à la résolution des équations diﬀérentielles 21 3.1 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 Support d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 Déﬁnition du support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 La convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Applications à la résolution des équations diﬀérentielles linéaires à coeﬃ- cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.2 Solution fondamentale du laplacien et applications . . . . . . . . . . 28 2 Chapitre 1 Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l’intégrale de Lebesque 1.1 La mesure de Lebesque On va introduire d’abord la mesure de Lebesque qui est en fait un nombre réel positif (≥0) qu’on associe à “tout” ensemble de I Rn. En fait on n’associera à tout ensemble de I Rn une mesure mais seulement à certains en- sembles qu’on peut grouper dans une collection des ensembles appellée tribu de Lebesque. Mais on evitera les complications mathématiques et on fait comme si on associe une mesure à tout ensemble de I Rn. En fait les ensembles auxquelles on n’associe pas de mesure sont des ensembles qui ne sont jamais utilisés dans les applications (des ensembles qui ne sont pas intuitives !). Dans la suite pour tout ensemble X on notera P(X) l’ensemble des parties de X. Déﬁnition 1.1. Soit X un ensemble et soit µ : P(X) →[0, +∞] ≡I R+ ∪{+∞}. On dit que µ est une mesure sur X si a) µ(∅) = 0 (ici ∅est l’ensemble vide) b) Pour toute suite des ensembles {An}n∈I N avec An ⊂X, ∀n ∈I N et avec An disjointes deux à deux (An ∩Am = ∅, ∀n ̸= m) on a : µ ∪n∈I NAn = X n∈I N µ(An). Conséquences : 1) Si A1, A2, · · · An ⊂X avec Ai ∩Aj = ∅, ∀i ̸= j alors µ (∪n i=1Ai) = n X i=1 µ(Ai). En particulier, pour tous A, B ⊂X avec A ∩B = ∅on a µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B). 3 2) Si A, B ⊂X avec A ⊂B alors µ(A) ≤µ(B) (car B = A ∪(B −A) avec A ∩(B −A) = ∅donc µ(B) = µ(A) + µ(B −A). Mais comme µ(B −A) ≥0, on a le résultat.) Dans la suite on va s’intéresser à des mesures déﬁnies sur l’espace euclidien I Rn. Proposition 1.2. (Résultat admis) Il existe une mesure λn sur I Rn telle que pour tout ensemble P du type “pavé ouvert” de la forme P = ]a1, b1[×]a2, b2[· · · ]an, bn[ ⊂I Rn avec −∞< ai < bi < +∞, i = 1, · · · n, on a λn(P) = (b1 −a1)(b2 −a2) · · · (bn −an). Cette mesure λn s’appelle mesure de Lebesque sur I Rn. Remarque 1.3. Cette proposition nous donne : Si n = 1 et P = ]a, b[, alors λ1(P) = b −a. Dans ce cas la mesure est la longueur du segment ]a, b[ . Si n = 2 et P =]a1, b1[×]a2, b2[, alors λ2(P) = (b1 −a1)(b2 −a2) et la mesure est l’aire du rectangle ]a1, b1[×]a2, b2[. Si n = 3 et P =]a1, b1[×]a2, b2[×]a3, b3[, alors λ3(P) = (b1 −a1)(b2 −a2)(b3 −a3) et la mesure est le volume du parallelipipède ]a1, b1[×]a2, b2[×]a3, b3[. Alors la mesure de Lebesque généralise respectivement la longueur, l’aire, le volume des ensemble en I R, I R2, I R3 respectivement. Remarque 1.4. Pour calculer la mesure de Lebesque d’un ensemble quelconque en I Rn il faut décomposer cet ensemble en une union (éventuellement inﬁnie) des pavés et faire la somme des mesures de chaque pavé. Pour un ensemble arbitraire ceci peut être assez complique (par exemple pour un disque dans le plan). On verra plus loin une méthode plus simple pour calculer la mesure de Lebesque d’un ensemble arbitraire. Le résultat suivant dit que la mesure de Lebesque de tout singleton est égale à zero : Proposition 1.5. Pour tout x ∈I Rn on a λn({x}) = 0. Démonstration. voir cours. On déduit alors que pour tous a, b ∈I R avec a < b on a λ1(]a, b]) = λ1([a, b[) = λ1([a, b]) = λ1(]a, b[) = b −a (car par exemple ]a, b] = ]a, b[ ∪{b} donc λ1(]a, b]) = λ1(]a, b[)+λ1({b}) et on a le résultat en utilisant le fait que λ1({b}) = 0.) On a aussi : 4 Proposition 1.6. Si A ⊂I Rn est au plus dénombrable (c’est à dire ﬁnie ou dénombrable) alors λn(A) = 0. Démonstration. voir cours. Exemples : 1. L’ensemble {1, 2} est un ensemble de mesure de Lebesque 0 en I R. 2. L’ensemble Q des nombres rationels est un ensemble de mesure de Lebesque 0 en I R. De même Qn est de mesure de Lebesque 0 en I Rn. Question : Y-a-t’il des ensembles de mesure nulle qui ne soient pas au plus dénombrable ? La réponse est OUI, au moins en I Rn avec n ≥2, comme il résulte de la proposition suivante : Proposition 1.7. Soit A est un segment en I R2, par exemple de la forme : A = [a, b] × {c} avec a, b, c ∈I R, a < b. Alors la mesure de Lebesque de A en I R2 est nulle (c’est à dire λ2(A) = 0). Démonstration. voir cours. Ce résultat peut se généraliser au cas d’une courbe arbitraire en I R2, ayant une certaine régularité (par exemple de classe C1 par morceaux). En fait on a le résultat général suivant (preuve assez diﬃcile) : Proposition 1.8. Toute variété (avec une certaine uploads/Marketing/ cours-mathematiques-ingenieur.pdf