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L-P- ARIANA A-Oukhai MATHEMATIQUE S Statistiques 2 eme Sc 8/5/ 2012 I- Le vocab

L-P- ARIANA A-Oukhai MATHEMATIQUE S Statistiques 2 eme Sc 8/5/ 2012 I- Le vocabulaire L'ensemble sur lequel on travaille en statistique est appelé population. Si cet ensemble est trop vaste, on en restreint l'étude à une partie appelée échantillon. Un élément de cet ensemble est appelé individu. La particularité commune que l'on étudie est appelée caractère. (1) Si celle-ci s'exprime par un nombre, il s'agit d’un caractère quantitatif.(dans ce cas, le nombre se note en général xi) Si les valeurs du nombre exprimé en (1) sont isolées, il s'agit d’un caractère discret. Par contre, si ces valeurs sont prises dans tout un intervalle de r , il s'agit d’un caractère continu. (2) Si la particularité étudiée ne s'exprime pas par un nombre, il s'agit d’un caractère qualitatif. les valeurs prises par le caractère sont aussi appelées les modalités. Le nombre d'individus (ni) d'une modalité est appelé effectif. Le nombre total d'individus (N) de la population est appelé effectif total. Le rapport est appelé fréquence. (fi est un nombre toujours compris entre 0 et 1). Souvent, les nombres fi s'expriment par un pourcentage. La somme des nombres fi est toujours égale à 1. La différence des valeurs extrêmes du caractère s’appelle l’étendue. La donnée des valeurs du caractère et des fréquences associées s’appelle la distribution. Dans le cas d'un caractère continu, ou quand le caractère discret prend trop de valeurs, on regroupe en général les individus dans des intervalles de type [a ; b[ appelés classes. Dans la suite, on considère des séries à caractères quantitatifs discrètes ou continues. Notations : • x1 , x2 , … , xp sont les valeurs ou les centres des classes si ces valeurs sont regroupées en classe. • n1 , n2 , … , np sont les effectifs respectifs des valeurs x1 , x2 , … , xp • f1 , f2 , … , fp sont les fréquences respectives des valeurs x1 , x2 , … , xp • N est l’effectif total : N = n1 + n2 + … + np II- Exemples Suite à un contrôle de mathématiques, dans une classe de 28 élèves, le professeur s'est amusé à classer certains résultats dans deux tableaux : TABLEAU 1 notes 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 nb d'élèves (effectifs) 2 0 2 1 2 4 3 2 4 3 2 0 2 1 effectifs cumulés croissants effectifs cumulés décroissants fréquences fréquences cumulées croissantes fréquences cumulées décroissantes Lorsque les résultats de l'enquête statistique sont trop nombreux pour que la liste triée des valeurs soit lisible, on préfère perdre de l'information et ranger les données par intervalles appelés classes. Il faut alors que, dans chaque classe, la répartition des valeurs soit régulière. Sinon, il faut affiner et prendre des classes plus petites. Il n'est pas indispensable que les classes soient de même amplitude, mais il est préférable de ne pas définir de classes de la forme « plus de ... » qui empêcherait alors tout traitement 1 L-P- ARIANA A-Oukhai MATHEMATIQUE S Statistiques 2 eme Sc 8/5/ 2012 ultérieur (histogramme, moyenne...). On compte alors le nombre de fois où la valeur du caractère tombe dans l'intervalle [xi;xi + 1[, ce nombre est appelé effectif de la classe [xi;xi + 1[. TABLEAU 2 temps de révision en h [ 0 ; 1 [ [ 1 ; 2 [ [ 2 ; 3 [ [ 3 ; 4 [ [ 4 ; 5 [ Centres des classes effectifs 7 5 5 6 5 effectifs cumulés croissants fréquences en % fréquences cumulées croissantes en % Compléter les tableau 1 et 2 . Histogramme Pour représenter graphiquement une série statistique continue il faut représenter l'effectif de chaque classe par un rectangle dont la base est l'amplitude de la classe et dont l'aire est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence. Ce diagramme s'appelle un histogramme. Exemple compléter le tableau statistique suivant et tracer l’histogramme Salaires [0, 8[ [8, 12[ [12, 16[ [16,20 [ [20, 30 [ [30, 40[ [40, 60[ Fréquences en % 7 5,3 8,8 27,0 33,6 13,0 5,3 Amplitudes ai ai = xi+1 - xi Hauteur hi hi = L’histogramme de la série est ci-contre: Remarque: si les amplitudes des classes sont identiques, les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences Polygone des fréquences cumulées Puisque la répartition dans chaque classe est supposée régulière, on peut admettre que l'accroissement de la fréquence est une fonction linéaire. On trace alors le polygone des fréquences cumulées croissantes qui permet de lire la fréquence de la classe [x1;x] pour tout x Au préalable, il faut remplir le tableau des fréquences cumulées xi 0 8 12 16 20 30 40 60 fréquences cumulées croissantes 0 7 12,3 21,1 48,1 81,7 94,7 100 Il ne reste plus qu'à tracer le polygone On peut construire de même le polygone des fréquences cumulées décroissantes III -Caractéristiques de position 2 L-P- ARIANA A-Oukhai MATHEMATIQUE S Statistiques 2 eme Sc 8/5/ 2012 1) Caractéristiques de position à tendance centrale • Mode ( ou classe modale ) : notation Mo Le mode, pour un caractère discret, est la valeur du caractère qui correspond au plus grand effectif. Pour un caractère continu, on parle de classe modale . Il peut y avoir plusieurs modes ( ou plusieurs classes modales ) • Médiane : notation Me( pour une série ordonnée par ordre croissant ) La médiane est une valeur Me du caractère qui partage la population en deux sous-ensembles de même effectif . Les éléments du premier sous-ensemble correspondent à des valeurs du caractère inférieures ou égales à Me, ceux du second correspondent à des valeurs du caractère supérieures ou égales à Me . Exemples Si la série comporte un nombre impair de termes la médiane correspond à une valeur de la série. 110 ; 110 ; 113 ; 113 ; 113 ; 115 ; 115 ; 116 ; 117 ; 120 ; 120 ; 121 ; 121. Cette série a pour médiane 115 Si la série comporte un nombre pair de termes on prend comme médiane la demie-somme de deux valeurs. 20 ; 20 ; 21 ; 21 ; 23 ; 23 ; 24 ; 24 ; 25 ; 26 ; 26 ; 30. Cette série a pour médiane 23,5 • Moyenne : notation = = n i x i ou = f1 x1 + f2 x2 + … + fp xp = fi x i Remarque • Lorsque les valeurs du caractère sont réparties en classes (intervalles), on calculera la moyenne en utilisant le centre de chaque classe. • Lorsque les valeurs du caractère sont réparties en classes (intervalles), on calculera la moyenne en utilisant le centre de chaque classe. • La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, alors que la médiane l'est assez peu. • Si les données statistiques font apparaître une ou plusieurs valeurs aberrantes, on peut calculer la moyenne élaguée, c'est-à-dire la moyenne de la série dans laquelle on a supprimé la ou les valeurs aberrantes. ( tab1 ) : ( tab2 ) : Modes : Me = = Classe modale : Me = = 2) Caractéristiques de position non centrale : les quartiles On considère une série ordonnée par ordre croissant.  Le premier Quartile Q1 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 25% des valeurs de celle-ci lui sont inférieures ou égales.  Le troisième Quartile Q3 est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins 75% des valeurs de celle-ci lui sont inférieures ou égales. Remarque :  Une série admet trois quartiles ; le deuxième, dont on a fait usage en première, est associé à la valeur 50% .  De nombreuses calculatrices considèrent les quartiles comme les médianes des deux séries obtenues après avoir partagé la série initiale par sa médiane, ce qui explique les différences constatées. Dans la pratique, ces différences ont peu d’importance vu la taille des séries.  De la même façon, on peut définir les déciles d’une série statistique. Les différentes situations sont regroupées dans le tableau ci-dessous : Série discrète :  Si est un entier, le premier quartile Q1 est la valeur qui dans cette liste occupe le rang et le troisième quartile Q3 est la valeur qui dans cette liste occupe le rang .  Si n’est pas un entier, le premier quartile Q1 est la valeur qui dans cette liste occupe le rang immédiatement supérieur à et le troisième quartile Q3 est le valeur qui dans cette liste occupe le rang immédiatement supérieur à . 3 L-P- ARIANA A-Oukhai MATHEMATIQUE S Statistiques 2 eme Sc 8/5/ 2012 Série continue : ( les valeurs sont regroupées par classe )  Q1 est la valeur correspondant à la fréquence cumulée croissante égale à 0,25 .  Q3 est la valeur correspondant à la fréquence cumulée croissante égale à 0,75 . Exemple La série 11 , 12 , 12 , 13 , 15 , 16 , 16 , 17 , 17 , 18 , 19 uploads/Marketing/ cours-statistiques2013.pdf