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Plan pour la résolution d’un problème : 4 ETAPES THEME : RESOLUTION D’UN PROBLE

Plan pour la résolution d’un problème : 4 ETAPES THEME : RESOLUTION D’UN PROBLEME A L’AIDE DES EQUATIONS CHOIX DE L’INCONNUE MATHEMATISATION RESOLUTION RETOUR AU PROBLEME Peu importe le nom de l’inconnue ( x , y , z , n … ), l’important est ici de préciser ce que représente l’inconnue. Les unités, si elles existent, sont également à mentionner. C’est la traduction du problème avec les éléments mathématiques. C’est l ‘étape la plus difficile. Il convient de lire le texte mot par mot. Le but est de déterminer une équation Dans cette partie, il faut oublier ce que représente l’inconnue et faire une résolution purement mathématique. La valeur déterminée est-elle plausible, cohérente, satisfaisante … ? Exercice 1 : En ajoutant 4 au triple de ma note en mathématiques on obtient 40. Quelle est ma note ? Choix de l’inconnue. Soit x la note cherchée. Mathématisation : En ajoutant 4 au triple de ma note en mathématiques on obtient 40 En ajoutant 4 au triple de ma note ( la note est x ) on obtient 40 Résolution : L’équation à résoudre est : 3x + 4 = 40 Nous obtenons successivement : 3x = 40 – 4 3x = 36 12 3 36 = = x Retour au problème : La lettre x représente le nombre cherché. Nous pouvons donc conclure : Le nombre cherché est 12. Vérification : Le triple de cette note est 12 3× soit 36. En ajoutant 4 , nous obtenons 36 + 4, soit 40 .C’est le résultat attendu ! La rédaction : + + 4 3 x + 4 3 x + 4 = 40 Soit x le nombre cherché. Soit x le nombre cherché. Soit x le nombre cherché. Soit x le nombre cherché. 3x + 4 = 40 3x + 4 = 40 3x + 4 = 40 3x + 4 = 40 3x = 40 3x = 40 3x = 40 3x = 40 - - - - 4 4 4 4 Exercice 2 : Trouvez trois nombres consécutifs dont la somme est 705. Remarque : Dans l’exemple précédent, un seul nombre était inconnu. Ici, trois nombres sont à déterminer. Dans l’absolu, il est impossible, à votre niveau, de découvrir trois nombres, sauf… si ces nombres sont dépendants. Par exemple, si nous pouvions trouver le premier nombre. Le second serait alors égal à ce nombre augmenté de 1 et le troisième, égal au premier nombre augmenté de 2 ! Choix de l’inconnue. Soit n le premier nombre. Remarque : Pourquoi avoir changé de lettre pour l’inconnue. Nous pouvons toujours appeler x le premier nombre. Une inconnue sera pratiquement toujours représentée par la lettre x. Cependant, par habitude, lorsque nous cherchons un nombre entier, souvent le nombre inconnu est représenté par la lettre n ; lorsque nous cherchons une durée ( un temps ), l’inconnue est plutôt représentée par la lettre t ; lorsque nous cherchons une masse , l’inconnue est souvent représentée par la lettre m ; lorsque nous cherchons une intensité ( en Physique ) , l’inconnue est souvent représentée par la lettre i , … Remarque : Avant de mathématiser le problème, nous devons écrire, en fonction de l’inconnue choisie , ici n , les autres nombres intervenant dans le problème. Le deuxième nombre est n + 1 . Le troisième nombre est n + 2 . Mathématisation : Les trois nombres sont n , n + 1 et n + 2. Nous savons que la somme est égale à 705. Nous avons ( attention aux parenthèses inutiles ici, mais très utiles s’il y avait une différence ) n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) = 705 Résolution : n + n + 1 + n + 2 = 705 3n + 3 = 705 3n = 705 – 3 3n = 702 3x = 36 3x = 36 3x = 36 3x = 36 12 12 12 12 3 3 3 3 36 36 36 36 x x x x = = Le nombre cherché est Le nombre cherché est Le nombre cherché est Le nombre cherché est 12 . 12 . 12 . 12 . Consécutif : ( adjectif ) Généralement au pluriel [En parlant de choses] Qui se suivent immédiatement n = 3 702 = 234 Retour au problème : Le premier nombre est 234, le second 234 + 1 , soit 235 et le troisième est 234 + 2 soit 236 Les trois nombres consécutifs sont 234, 235 et 236 La vérification est laissée au soin du lecteur. La rédaction : Remarque : Une autre façon de résoudre le problème était de poser n le nombre du « milieu » ( le deuxième nombre ). Le premier nombre était alors égal à n – 1 et le troisième nombre était n + 1 . L’équation devenait ( n – 1 ) + n + ( n + 1 ) = 705 Soit n – 1 + n + n + 1 = 705 Soit 3n = 705 Soit n = 3 705 = 235 Le deuxième nombre étant égal à 235, le premier est 234 et le troisième est 236. Exercice 3 : Pierre, Paul et Jean ont ensemble 1OO ans . Trouvez l'âge de chacun d'eux sachant que Paul a 10 ans de plus que Jean et que l'âge de Pierre est égal à la somme des âges de Paul et de Jean. Choix de l’inconnue. Le personnage qui apparaît le plus souvent dans ce texte est Jean ( ou Paul ) Soit x l’âge de Jean Avant de mathématiser, déterminons les âges des autres personnages ; L’âge de Paul est ( 10 ans de plus que Jean ) : x + 10 Soit n le premier nombre. Soit n le premier nombre. Soit n le premier nombre. Soit n le premier nombre. Le second nombre est n + 1 Le second nombre est n + 1 Le second nombre est n + 1 Le second nombre est n + 1 Le troisième nombre est n + Le troisième nombre est n + Le troisième nombre est n + Le troisième nombre est n + 2 2 2 2 Nous avons Nous avons Nous avons Nous avons n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) = 705 n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) = 705 n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) = 705 n + ( n + 1 ) + ( n + 2 ) = 705 n + n + 1 + n + 2 = 705 n + n + 1 + n + 2 = 705 n + n + 1 + n + 2 = 705 n + n + 1 + n + 2 = 705 3n + 3 = 705 3n + 3 = 705 3n + 3 = 705 3n + 3 = 705 3n = 705 3n = 705 3n = 705 3n = 705 – – – – 3 = 702 3 = 702 3 = 702 3 = 702 n = n = n = n = 3 3 3 3 702 702 702 702 = 234 = 234 = 234 = 234 Les trois nombres sont 234, 235 et 236. Les trois nombres sont 234, 235 et 236. Les trois nombres sont 234, 235 et 236. Les trois nombres sont 234, 235 et 236. L’âge de Pierre est ( somme des âges de Paul et de Jean ) : x + (x + 10 ) soit x + x + 10 , c’est à dire 2 x + 10 Mathématisation : Pierre, Paul et Jean ont ensemble 1OO ans Donc ( 2x + 10 ) + (x + 10 ) + x = 100 Résolution : 2x + 10 + x + 10 + x = 100 4x + 20 = 100 4x = 100 – 20 4x = 80 x = 4 80 = 20 Retour au problème : x représente l’âge de Jean, donc Jean a 20 ans, Paul a 20 + 10 soit 30 ans et Pierre a 10 20 2 + × soit 50 ans Jean : 20 ans Paul : 30 ans Pierre : 50 ans La vérification est laissée au soin du lecteur. La rédaction : Age de Jean Age de Paul Soit x l’âge de Jean. Soit x l’âge de Jean. Soit x l’âge de Jean. Soit x l’âge de Jean. L’âge de Paul est x + 10 L’âge de Paul est x + 10 L’âge de Paul est x + 10 L’âge de Paul est x + 10 L’âge L’âge L’âge L’âge de Paul est x + ( x + 10 ) soit 2x + 10 de Paul est x + ( x + 10 ) soit 2x + 10 de Paul est x + uploads/Marketing/ ex-equations.pdf