1A 2010-2011 MATRICES ET CALCUL MATRICIEL Objectifs  Savoir ce qu'est une matr

1A 2010-2011 MATRICES ET CALCUL MATRICIEL Objectifs  Savoir ce qu'est une matrice.  Savoir additionner deux matrices.  Savoir multiplier deux matrices.  Savoir calculer l'inverse d'une matrice 1 Les matrices ? ...un tableau tout simplement ! Il existe bien une dé nition très belle et très structurée des matrices. En fait, ce qu'il faut en retenir, c'est l'aspect pratique d'une représentation mathématique. En créant cette notation, les mathématiciens ont voulu simpli er des notations et des calculs qui à l'époque 1 étaient franchement peu pratiques. On peut donc dé nir les matrices comme une forme de tableau, façon Excel. Dé nition 1 (Notation). On appelle matrice à n lignes et p colonnes, une représentation sous forme d'un tableau d'un objet mathématique ou physique. Les éléments qui composent une matrice peuvent être des nombres réels, complexes, entiers, mais aussi des vecteurs,... On note alors : M =        a11 a12 · · · a1p a21 a22 · · · a2p . . . . . . . . . . . . . . . . . . aij . . . an1 · · · · · · anp        = (aij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p sous forme étendue ou compressée ! Les aij sont donc des réels ou des complexes, ou des vecteurs,... Si aij ∈R, ∀i ∈{1, . . . , n}, ∀j ∈{1, . . . , p} alors on note M ∈Mn,p (R) Si aij ∈C, ∀i ∈{1, . . . , n}, ∀j ∈{1, . . . , p} alors on note M ∈Mn,p (C) Ainsi, Mn,p (K) est l'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coe cient dans l'ensemble K Exemple 1. Voici quelques exemples concrets : ✓A = ( 1 2 3 −1 0 1 ) ∈M2,3 (R) ✓B =   i −i −i √ 2 1 −i 2  ∈M3,2 (C) 1. XVIIIe et XIXe siècles 1 JA-JMB-ML 1A 2010-2011 ✓I = ( 1 0 0 1 ) ∈M2,2 (R) ✓D = ( 1 2 3 4 ) ∈M1,4 (R) 2 Opérations sur les matrices 2.1 L'addition des matrices L'addition entre deux matrices est une opération très naturelle. Elle est notée + tout sim- plement et on a la dé nition suivante : Dé nition 2. Soit A et B deux matrices appartenant au même ensemble Mn,p (K), alors si l'on a : A = (aij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p B = (bij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p et bien A + B = (aij + bij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p ∈Mn,p (K) Remarque 1. Vous voyez que la dé nition est précise. L'addition de deux matrices n'est possible qu'à condition que les deux matrices appartiennent toutes deux au même ensemble. Sinon, la somme n'existe pas ! Exemple 2. Soit A =   1 2 3 1 1 0  et B =   0 1 −1 −1 1 2  . Ces deux matrices appartiennent toutes les deux au même ensemble M3,2 (R). L'addition est donc possible et on a : A + B =   1 2 3 1 1 0  +   0 1 −1 −1 1 2  =   1 3 2 0 2 2   Propriété 1. Soit A, B et C trois matrices appartenant à l'ensemble Mn,p (K) (i) A + B = B + A La somme des matrices est commutative. (ii) (A + B) + C = A + (B + C) La somme des matrices est associative. (iii) Il existe un élément neutre pour l'addition des matrices. Cette matrice est appelé matrice nulle notée O et on a tout simplement : O = (0) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p =    0 · · · 0 . . . 0 . . . 0 · · · 0    2 JA-JMB-ML 1A 2010-2011 (iv) Toute matrice A ∈Mn,p (K) possède une matrice symétrique notée −A ∈Mn,p (K) telle que : A + (−A) = O D'ailleurs pas abus de notation on note aussi A −A = O. On a : −A = (−aij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p Ces 4 propriétés font de (Mn,p (K) , +) un groupe commutatif. 2.2 Multiplication d'une matrice et d'un scalaire On peut, comme avec des vecteurs (vous allez voir que ce n'est pas un hasard !), multiplier une matrice par un scalaire α c'est à dire un élément de l'ensemble K. Dé nition 3. Soit une matrice A ∈Mn,p (K) telle que A = (aij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p et un scalaire α ∈K ; alors on a : α · A = (αaij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p =      αa11 · · · αa1p . . . αaij . . . αan1 · · · αanp     ∈Mn,p (K) Exemple 3. Soit A = ( 1 2 3 4 ) ∈M2,2 (R) et soit α = 7 alors 7 · A = ( 7 14 21 28 ) Remarque 2. Plusieurs remarques sur cette opération · ✓On peut ne pas écrire le · de multiplication ; ainsi on écrit αA plutôt que α · A ✓Le scalaire s'écrit toujours à gauche de la matrice. Ainsi on écrit 7A mais surtout pas A7 ! De même on écrit 1 7A mais surtout pas A 7 ! ✓La multiplication d'une matrice par un scalaire est une loi externe. Propriété 2. Quelques propriétés sur la loi · (i) ∀α ∈K, ∀(A, B) ∈(Mn,p (K))2 , α (A + B) = αA + αB (ii) ∀(α, β) ∈K2, ∀A ∈Mn,p (K) , (α + β) A = αA + βA (iii) ∀(α, β) ∈K2, ∀A ∈Mn,p (K) , α (βA) = (αβ) A (iv) 1 est l'élément neutre pour la multiplication d'une matrice par un scalaire, que ce soit si K = R ou si K = C Remarque 3. Les 4 propriétés vues à la propriété 1 et les 4 que l'on vient de voir, font de (Mn,p (K) , +, ·) un espace vectoriel. Les vecteurs sont donc dans cet espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes. On voit une nouvelle fois que la notation avec une èche serait désastreuse ! 3 JA-JMB-ML 1A 2010-2011 2.3 Multiplication des matrices La multiplication des matrices est une loi très particulière. Regardez bien cette dé nition : Dé nition 4. Soit une matrice A = (aij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽p ∈Mn,p (K) et soit une autre matrice B = (bij) 1⩽i⩽p 1⩽j⩽q ∈Mp,q (K). Alors le produit de A par B est possible, on a A × B ∈Mn,q (K) et : A × B = (cij) 1⩽i⩽n 1⩽j⩽q avec cij = p ∑ k=1 aikbkj Remarque 4. TRÈS IMPORTANT ! ✓Le nombre de colonnes de la première matrice dans la multiplication doit être égal au nombre de ligne de la deuxième matrice. Sinon, le calcul de A × B est impossible. ✓La matrice résultat du produit de deux matrices, possède le nombre de lignes de la pre- mière matrice et le nombre de colonnes de la deuxième. ✓On peut écrire AB au lieu de A × B Exemple 4. On veut calculer le produit de AB avec A = ( 1 2 3 −2 0 3 ) , B =   1 0 −1 2 1 1 1 6 1   Le produit est possible car A ∈M2,3 (R) et B ∈M3,3 (R). De plus la matrice AB ∈M2,3 (R). AB = ( 1 × 1 + 2 × 2 + 3 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 3 × 6 1 × (−1) + 2 × 1 + 3 × 1 (−2) × 1 + 0 × 2 + 3 × 1 (−2) × 0 + 0 × 1 + 3 × 6 (−2) × (−1) + 0 × 1 + 3 × 1 ) AB = ( 8 20 4 1 18 5 ) Pro tons en pour calculer BA. Le produit n'est pas possible car B ∈M3,3 (R) et A ∈M2,3 (R). C'est la première surprise de ce drôle de produit ! AB peut exister et pas BA ! Exemple 5. Soit A =   5 2 3 4 0 1  ∈M3,2 (R) et B = ( 2 3 0 1 0 2 ) ∈M2,3 (R) alors AB est possible et on a : AB =   12 15 4 10 9 8 1 0 2  ∈M3,3 (R) 4 JA-JMB-ML 1A 2010-2011 De même BA est possible et on a : BA = ( 19 16 5 4 ) ∈M2,2 (R) Deuxième surprise, le produit matriciel n'est pas commutatif c'est à dire qu'en général quand les deux produits sont possibles AB ̸= BA Exemple 6. Soit A = ( 3 −9 −1 3 ) ∈M2,2 (R) et B = ( 2 6 1 3 ) ∈M2,2 (R), alors les deux produits AB et BA sont possibles et on a : AB = ( −3 −9 1 3 uploads/Marketing/ matrices.pdf

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• Détails
• Publié le Jui 12, 2022
• Catégorie Marketing
• Langue French
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