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Exercices corrigés - Matrices orthogonales, endomorphismes orthogonaux Générali

Exercices corrigés - Matrices orthogonales, endomorphismes orthogonaux Généralités sur les matrices orthogonales Exercice 1 - Matrices orthogonales triangulaires supérieures [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures? Indication Commencer par les matrices de taille 2, de taille 3.... Corrigé On va prouver que ce sont les matrices diagonales dont les coefficients diagonaux sont égaux à . Commençons par la première colonne de la matrice orthogonale et triangulaire supérieure. Puisque sa norme vaut 1, et que seul le premier coefficient est non-nul, celui-ci vaut . Considérons désormais la deuxième colonne, dont les coefficients éventuellement non-nuls sont et . Puisque la première colonne est orthogonale à cette colonne, on a et donc . En considérant la norme, on trouve que . Considérons maintenant la troisième colonne. Ses coefficients éventuellement non-nuls sont , et . Écrivons que la troisième colonne est orthogonale à la première. On trouve . Écrivons ensuite que la troisième colonne est orthogonale à la seconde. On trouve . Le calcul de la norme donne . On continue ainsi pour chaque colonne. Réciproquement, une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont égaux à est bien une matrice orthogonale. Exercice 2 - CNS pour que la matrice soit orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient , on pose et , et Démontrer que si et seulement et . Démontrer que si et seulement si et . Indication Les colonnes forment une famille orthonormale. Calculer en plus le déterminant, sous forme factorisée. Corrigé On sait que si et seulement si les colonnes forment une base orthonormale de . Or, le produit scalaire de deux colonnes différentes est toujours égal à , et la norme de chaque colonne vaut . On a donc Or, si , on a ±1 M ±1 m1,2 m2,2 ±m1,2 = 0 m1,2 = 0 m2,2 = ±1 m1,3 m2,3 m3,3 m1,3 = 0 m2,3 = 0 m3,3 = ±1 ±1 (a, b, c) ∈R3 S = a + b + c σ = ab + bc + ca M = ⎛ ⎜ ⎝ a b c c a b b c a ⎞ ⎟ ⎠ . M ∈O3(R) σ = 0 S = ±1 M ∈SO3(R) σ = 0 S = 1 M ∈O3(R) R3 σ (a2 + b2 + c2)1/2 M ∈O3(R) ⟺σ = 0 et (a2 + b2 + c2) = 1. σ = 0 On en déduit donc que On a Calculons le déterminant de . On a Maintenant, si on sait déjà que et , alors , et donc est équivalent à . Exercice 3 - Une symétrie orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit muni du produit scalaire . On considère l'endomorphisme de défini par . Démontrer que est une symétrie orthogonale. Indication Revenir à la définition d'une symétrie, puis d'un endomorphisme orthogonal. Corrigé Il faut d'abord prouver que est une symétrie, c'est-à-dire que . Mais c'est clair, car . Il faut aussi démontrer que est une symétrie orthogonale, c'est-à-dire que conserve le produit scalaire, ou encore que pour tous polynômes . Mais, le seul argument utilisé étant le changement de variables . Exercice 4 - Une symétrie orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] S2 = a2 + b2 + c2 + 2σ = a2 + b2 + c2. M ∈O3(R) ⟺σ = 0 et S2 = 1 ⟺σ = 0 et S = ±1. M ∈SO3(R) ⟺M ∈O3(R) et det(M) = 1 ⟺σ = 0 et S = ±1 et det(M) = 1. M det(M) = ∣ ∣ ∣ ∣ a b c c a b b c a ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ a + b + c b c a + b + c a b a + b + c c a ∣ ∣ ∣ ∣ = (a + b + c) ∣ ∣ ∣ ∣ 1 b c 1 a b 1 c a ∣ ∣ ∣ ∣ = S ∣ ∣ ∣ ∣ 1 b c 0 a −b b −c 0 c −b a −c ∣ ∣ ∣ ∣ = S(a2 + b2 + c2 −ab −bc −ca) = S(S2 −3σ). S = ±1 σ = 0 det(M) = S det(M) = 1 S = 1 E = R3[X] ⟨P, Q⟩= ∫ 1 −1 P(t)Q(t)dt E ϕ(P)(X) = P(−X) ϕ ϕ ϕ ∘ϕ = Id P(−(−X)) = P(X) ϕ ϕ ⟨ϕ(P), ϕ(Q)⟩= ⟨P, Q⟩ P, Q ∈E ⟨ϕ(P), ϕ(Q)⟩= ∫ 1 −1 P(−t)Q(−t)dt = ∫ 1 −1 P(t)Q(t)dt = ⟨P, Q⟩, u = −t Enoncé Soit un espace vectoriel euclidien, et . On pose Montrer que est un endomorphisme orthogonal. Calculer , . Décrire alors géométriquement . Indication Calculer , puis démontrer que est une symétrie orthogonale. Corrigé Posons et . Soit , que l'on décompose en , avec . On a alors : Ceci prouve en particulier, à l'aide de la relation de Pythagore, que , et que l'endomorphisme est orthogonal. Le calcul précédent prouve en outre que et . Ainsi, on a est la symétrie orthogonale par rapport à l'hyperplan . Exercice 5 - Sur les coefficients d'une matrice orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit . On note les vecteurs colonnes de , , et , où est la base canonique de muni de son produit scalaire canonique. Montrer que En déduire que . Cette inégalité est-elle optimale? Démontrer que Démontrer que Indication Ecrire comme un produit scalaire. Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur la somme sur . Démontrer que Corrigé Remarquons que . Ainsi, , d'où le résultat en sommant sur , et en utilisant la linéarité du produit scalaire. L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne E a ∈E∖{0} sa(x) = x −2 a, (a, x) (a, a) sa ker(sa −id) ker(sa + id) sa ∥sa(x)∥ sa F = vect(a) G = a⊥ x ∈E x = g + λa g ∈G sa(x) = x −2 a = λa + g −2λa = g −λa. (a, λa) (a, a) ∥x∥2 = ∥sa(x)∥2 = ∥g∥2 + λ2∥a∥2 ker(sa −id) = G ker(sa + id) = vect(a) ker(sa −id) ⊕⊥ker(sa + id) = E. sa a⊥ M = (mi,j)1≤i,j≤n ∈On(R) (C1, … , Cn) M v = ∑n j=1 Cj u = ∑n j=1 ej (e1, … , en) Rn ∑n i=1 ∑n j=1 mi,j = (u|v). ∣ ∣∑n i=1 ∑n j=1 mi,j∣ ∣≤n ∑1≤i,j≤n |mi,j| ≤n3/2. ∑1≤i,j≤n |mi,j| ≥n. mi,j i n ∑ i=1 |mi,j| ≥( n ∑ i=1 m2 i,j) 1/2 . mi,j = (Cj, ei) ∑n j=1 mi,j = (v, ei) i Mais comme et sont des bases orthonormales de (la deuxième car est orthogonale, ce qui équivaut à dire que ses vecteurs colonnes forment une base orthonormale), on a par le théorème de Pythagore Ceci donne l'inégalité demandée. Cette inégalité est optimale, car est orthogonale, et la valeur absolue de la somme de ses coefficients fait . Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, On somme alors sur et comme il y a termes dans la somme, on trouve le résultat voulu. Le point clé est de remarquer que (c'est-à-dire que la norme 1 est plus grande que la norme 2). Ceci se prouve très facilement en mettant les deux membres au carré. Une fois ceci prouvé, on écrit que et à nouveau on somme fois cette inégalité pour trouver le résultat voulu. Exercice 6 - Factorisation QR [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit une base d'un espace euclidien et soit l'orthonormalisée de Schmidt de . Que dire de la matrice de passage de à ? Montrer que, pour toute matrice , il existe une matrice orthogonale et une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont strictement positifs telles que . Démontrer que le couple est unique. Indication Le résultat est dans la question suivante! Interpréter la matrice comme la matrice de passage de la base canonique à une base , puis s'inspirer de la question précédente. Commencer par démontrer qu'une matrice orthogonale qui est aussi triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs est égale à l'identité. Corrigé Notons la base et son orthonormalisée de Schmidt. Puisque, pour tout , , la matrice de passage est triangulaire ∣ ∣ ∣ ∣ n ∑ i=1 n ∑ j=1 mi,j ∣ ∣ ∣ ∣ ≤∥u∥∥v∥. (ej) (Cj) Rn M ∥u∥2 = ∥v∥2 = n. In n n ∑ i=1 |mi,j| ≤    ⎷ n ∑ i=1 m2 i,j    ⎷ n ∑ j=1 12 = ∥Cj∥× n1/2 = n1/2. j n n ∑ i=1 |mi,j| ≥( n ∑ i=1 m2 i,j) 1/2 n ∑ i=1 |mi,j| ≥∥Cj∥= 1, n B E C B C B A ∈GLn(R) Q R A = QR (Q, R) A B (x1, … , xn) B (u1, … , un) 1 ≤p ≤n vect(u1, … , up) = vect(x1, … , xp) supérieure. De plus, les coefficients sur la diagonale sont égaux à . Ils sont donc strictement positifs. Notons les vecteurs uploads/Marketing/ exercices-corriges-matrices-orthogonales-endomorphismes-orthogonaux.pdf