Universit´ e Pierre et Marie Curie Master IFMA Cours “M´ ethodes num´ eriques d
Universit´ e Pierre et Marie Curie Master IFMA Cours “M´ ethodes num´ eriques d´ eterministes” 2013-2014 Corrig´ e du TP 1: ´ Equations aux d´ eriv´ ees partielles elliptiques En compl´ ement de cette correction, des scripts Scilab correspondant ` a chaque exercice sont t´ el´ echargeables ` a l’adresse suivante : http://proba.jussieu.fr/pageperso/roux/enseignements/1314/ifma/meth det.html Exercice 1. On discr´ etise le segment [0, 1] en {0, δx, 2δx, . . . , 1}, o` u δx = 1 N+1 est le pas de temps. On va donner une approximation de u(nδx), not´ ee un. La m´ ethode des diff´ erences finies s’´ ecrit ici, pour f(x) = x. ( un+1+un−1−2un δx = nδx, n ∈{1, . . . , N} u0 = uN+1 = 0, (1) Les valeurs u0 et uN+1 ´ etant fix´ ees, les inconnues du probl` eme sont les (un)n=1,...,N. L’´ equation (1) se r´ ecrit alors matriciellement comme 1 δx2 AN u1 . . . uN = δx 1 2 . . . N . o` u l’on a not´ e AN = −2 1 0 · · · · · · 0 1 −2 1 ... . . . 0 1 ... ... ... . . . . . . ... ... ... 1 0 . . . ... 1 −2 1 0 · · · · · · 0 1 −2 (2) On obtient alors le vecteur des (un)n=0,...,N+1 en inversant la matrice AN. La solution exacte de l’´ equation u′′(x) = x est u(x) = x3 6 + ax + b, et on obtient les constantes a et b ` a l’aide des conditions au bord, ici u(x) = x3−x 6 . En tra¸ cant sur un mˆ eme graphique la solution approch´ ee et la solution exacte, on remarque que les deux courbes sont extrˆ emement proches (sous Scilab, l’erreur est de l’ordre de 10−17). En fait, on a vu en cours que la m´ ethode des diff´ erences finies est exacte pour un second membre lin´ eaire, ce qui est le cas ici. L’erreur obtenue est donc uniquement due aux erreurs d’arrondi (qui sont bien de l’ordre de 10−17 sous Scilab). Exercice 2. On pose δx = 1 N+1 et on d´ efinit P1 N = {v ∈C([0, 1]), ∀n ∈{0, . . . , N}, v[nδx,(n+1)δx] affine, v(0) = v(1) = 0}, (3) l’espace des fonctions de H1 0(]0, 1[) affines par morceaux sur la subdivision 0 < δx < 2δx < . . . < 1. La m´ ethode des ´ el´ ements finis consiste ` a trouver l’unique fonction uN de P1 N v´ erifiant − Z 1 0 u′ N(x)v′(x)dx = Z 1 0 f(x)v(x)dx. (4) L’espace P1 N ´ etant de dimension finie, il suffit de v´ erifier que la fonction uN v´ erifie (4) si v parcourt une base de P1 N. La base la plus naturelle pour P1 N est la base (ϕn)n=1,...,N, o` u ϕn(mδx) vaut 1 si m = n et 0 sinon. En ´ ecrivant uN = PN n=1 λnϕn et en ´ ecrivant l’´ equation (4) pour v = ϕn, on obtient l’´ egalit´ e − N X n=1 λn Z 1 0 ϕ′ n(x)ϕ′ m(x)dx = Z 1 0 f(x)ϕn(x)dx, ou encore, matriciellement − λ1 · · · λN 1 δxAN = R 1 0 f(x)ϕ1(x)dx · · · R 1 0 f(x)ϕN(x)dx . On calcule (exactement ou num´ eriquement), pour chaque second membre x2, −6 x −1 2 , 1[3/4,1] −2 × 1[1/2,3/4] et δ1/2, le vecteur des R 1 0 f(x)ϕn(x)dx. On peut v´ erifier que la solution exacte est, pour chacun de ces quatre cas, donn´ ee respectivement par u(x) = x4 −x 12 , u(x) = 1 8 − x −1 2 3 , 32u(x) = 5x sur [0, 1 2] −32x2 + 37x −8 sur [ 1 2, 3 4] 16x2 −35x + 19 sur [ 3 4, 1] et u(x) = 1 4(|2x−1|−1). (les coefficients de la troisi` eme fonction sont plutˆ ot ` a calculer num´ eriquement). Pour les ´ el´ ements finis P2, on introduit l’espace P2 N = {v ∈C([0, 1]), ∀n ∈{0, . . . , N}, v[nδx,(n+1)δx] polynomiale de degr´ e ≤2, v(0) = v(1) = 0}. Cet espace est de dimension 2N + 1, et un base naturelle est la base des (ψn)n∈{ k 2 , 1≤k≤2N+1} tels que ψn(mδx) = 1 si m = n et 0 sinon, pour m de la forme m = k 2, avec 1 ≤k ≤2N + 1. On v´ erifie que ces conditions d´ efinissent bien une unique fonction de P2 N, en utilisant les deux polynˆ omes 4x(1 −x), nul en 0 et 1 et valant 1 en 1 2, et x(2x −1), nul en 0 et 1 2 et valant 1 en 1. On v´ erifie alors que la matrice ( R 1 0 ψn(x)ϕm(x)dx)1≤n,m≤N est une matrice pentadiagonale. Exercice 3. La formulation variationnelle s’obtient en multipliant par une fonction v quelconque de H1 0(]0, 1[), en int´ egrant sur ]0, 1[, puis en int´ egrant par parties. − Z 1 0 u′(x)v′(x)dx + Z 1 0 u′(x)v(x)dx = Z 1 0 v(x)dx. On peut bien appliquer Lax-Milgram ici, en notant que la forme bilin´ eaire ` a utiliser ici n’est pas sym´ etrique (` a cause du terme en R u′v). La m´ ethode des ´ el´ ements finis revient ici ` a trouver la fonction uN = PN i=1 λnϕn de l’espace PN 1 v´ erifiant pour tout m ∈{1, . . . , N}, N X n=1 λn − Z 1 0 ϕ′ n(x)ϕ′ m(x)dx + Z 1 0 ϕ′ n(x)ϕm(x)dx = Z 1 0 ϕm(x)dx. Matriciellent, cette ´ equation se r´ ecrit λ1 · · · λN 1 δxAN + 1 2 0 −1 0 · · · · · · 0 1 0 −1 ... . . . 0 1 ... ... ... . . . . . . ... ... ... −1 0 . . . ... 1 0 −1 0 · · · · · · 0 1 0 = δx 1 · · · 1 , et on obtient les (λn)n=1,...,N en r´ esolvant le syst` eme. On peut remarquer que les solutions exactes de u′′(x) + u′(x) = 1 sont donn´ ee par x + ae−x + b. Les conditions au bord donnent ici u(x) = x + e1−x−e e−1 . Exercice 4. On discr´ etise l’espace [0, 1] × [0, 1] en {0, δx, 2δx, . . . , 1} × {0, δx, 2δx, . . . , 1}, avec δx = 1 N+1. La m´ ethode des diff´ erences finies s’´ ecrit ici −1 δx2 (un,m+1 + un,m−1 + un+1,m + un−1,m −4un,m) + un,m = 0, pour 1 ≤n, m ≤N, avec les conditions au bord u0,m = 0, 1 ≤m ≤N, uN+1,m = 1, 1 ≤n ≤N, un,0 = nδx, 1 ≤n ≤N, un,N+1 = nδx, 1 ≤n ≤N. Les inconnues sont ici les un,m avec 1 ≤n, m ≤N, ce qui donne un syst` eme lin´ eaire de taille N 2. Plus pr´ ecis´ ement, on a 1 δx2 BN + IN 2 U + 1 δx2 F = 0 o` u • BN est la matrice d´ efinie par blocs par BN = CN IN 0 · · · · · · 0 IN CN IN ... . . . 0 IN ... ... ... . . . . . . ... ... ... IN 0 . . . ... IN CN IN 0 · · · · · · 0 IN CN , avec CN = −4 1 0 · · · · · · 0 1 −4 1 ... . . . 0 1 ... ... ... . . . . . . ... ... ... 1 0 . . . ... 1 −4 1 0 · · · · · · 0 1 −4 et o` u IN est la matrice identit´ e de taille N ; • IN 2 est la matrice identit´ e de uploads/Marketing/ tp1-corrige 3 .pdf
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- Publié le Mai 14, 2021
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