1 chapitre 3 :ENSEMBLES CONVEXES DANS R2- FONC- TIONS CONCAVES - FONCTIONS CONV

1 chapitre 3 :ENSEMBLES CONVEXES DANS R2- FONC- TIONS CONCAVES - FONCTIONS CONVEXES 1. D´ efinitions D´ efinition 1.1. Un sous-ensemble C de R2 est dit convexe si pour tout couple de points de C, le segment de droite joignant ces points est contenu dans C. Illustration C convexe C n’est pas convexe D´ efinition ´ equivalente : C est convexe ssi ∀A, B ∈C, [AB] ⊂C Soit D ∈[AB] A ⊢−−−−D −−−−−⊣B doncD = A + λB, avec λ ∈[0, 1] . A  a1 a2  et B  b1 b2  = ⇒− → AB = B−A donc D = A+λ(B−A) = (1 −λ) A + λB = D. Dire que ∀A, B ∈C [AB] ⊂C ⇐ ⇒∀A, B ∈C tous les points de [A, B] sont dans C. Or tout point de [AB] s’´ ecrit : D = (1 −λ)A + λB ∀λ ∈[0, 1] Autre d´ efinition : C est convexe ssi ∀A, B ∈C , ∀λ ∈[0, 1] , (1 −λ) A + λB ∈C. 1.0.1. Fonctions concaves sur un intervalle. D´ efinition 1.2. La fonction f : I − →R est dite concave si : C =  (x, y) ∈R2/y ≤f(x) est convexe avec x ∈I. 1. UCAD, Facult´ e des Sciences Economiques et de Gestion (FASEG), Ann´ ee : 2010-2011, Premi` ere ann´ ee Cours de Math´ ematiques, Diaraf SECK version 0.2 1 2 Autre D´ efinition ´ equivalente : f : I − →R est concave ssi ∀λ ∈[0, 1] ∀x, y ∈I, f(λx + (1 −λ)y) ≥λf(x) + (1 −λ) f(y). Illustration Remarque 1.3. La concavit´ e de f est dite stricte si : ∀x, y ∈I, ∀λ ∈[0, 1] alors : f(λx + (1 −λ)y) > λ f(x) + (1 −λ) f(y) Exemple 1.4. f : I − →R x 7− →ax + b a, b ∈R f est elle concave ? OUI En effet ∀x, y ∈I, ∀λ ∈[0, 1] , f(λx + (1 −λ) y) = a(λx + (1 −λ)y) + b = ⇒ λ [ax] + [(1 −λ)] ay + b mais b = 1 × b = (λ −λ + 1)b donc b = λb + (1 −λ)b d’o` u f(λx + (1 −λ)y) = λax + (1 −λ)ay + λb + (1 −λ)b = λ [ax + b] + (1 −λ) [ay + b] f(λx + (1 −λ)y) = λ f(x) + (1 −λ) f(y) 2. Propri` et´ es et Th´ eor` emes Lemme 2.1. Soit f : I − →R ; I un intervalle, f une fonction concave. Soit x, y, z ∈I avec x < y < z Alors on a les in´ egalit´ es suivantes : f(z) −f(y) z −y ≤f(z) −f(x) z −x f(z) −f(x) z −x ≤f(y) −f(x) y −x 2. PROPRI` ET´ ES ET TH´ EOR` EMES 3 Remarque 2.2. Ces in´ egalit´ es sont strictes si la concavit´ e est stricte. Illustration Propri´ et´ e 1 : Soit f une fonction concave sur I un intervalle et soient a, b ∈I, a ̸= b et λ ∈]0, 1[ tels que : λf(a) + (1 −λ) f(b) = f(λa + (1 −λ)y) On suppose aussi que a < b alors : f est une fonction affine sur [a, b] et f(x) = f(a) + (x −b)f(b) −f(a) b −a ∀x ∈[a, b] Propri´ et´ e 2 : Soit f une fonction continue sur [a, b] (a, b ∈R) et concave (resp. strictement concave) sur ]a, b[ . Alors : f est concave (resp.strictement concave) sur [a, b] . Propri´ et´ e 3 : Si f est concave sur un intervalle I, alors elle est continue et admet une d´ eriv´ ee ` a droite f ′ d(x) et une d´ eriv´ ee ` a gauche f ′ g(x) en tout point x int´ erieur ` a cet intervalle. En outre on a : f ′ g(x) ≥f ′ d(x) et f(t)−f(x) t−x ≥f ′ g(x) ∀t ∈I avec t < x. f(t) −f(x) t −x ≤f ′ d(x) ∀x ∈I avec t > x f ′ d(x1) ≥f ′ g(x2) pour tous x1, x2 int´ erieurs ` a I tels que : x1 < x2 4 Remarque 2.3. Si f est strictement concave sur I, alors les in´ egalit´ es dans la propri´ et´ e 3 sont strictes. Th´ eor` eme 2.4. Fondamental Soit f une fonction continue sur un intervalle I et d´ erivable ` a l’int´ erieur de I, Alors : f concave sur I si et seulement si f(x) ≤f(xo)+(x−xo) f ′(xo) ∀x, xo int´ erieurs ` a I. De plus la concavit´ e de f est stricte si et seulement si l’in´ egalit´ e est stricte. Th´ eor` eme 2.5. (Maximum d’une fonction concave) Soit f une fonction concave sur un intervalle I et d´ erivable en un point ao ∈I alors : Si f ′(ao) = 0, f a un maximum absolu en ao et ce maximum est stricte si la concavit´ e est stricte. Th´ eor` eme 2.6. (D´ ecroissance de la d´ eriv´ ee d’une fonction concave) Soit f une fonction continue sur I un intervalle de R et d´ erivable ` a l’int´ erieur de I alors : f est concave (resp. strictement concave) si et seulement f’ est d´ ecroissante (resp. strictement d´ ecroissante) ` a l’int´ erieur de I. Th´ eor` eme 2.7. (Condition du 2nd ordre) Soit f une fonction continue sur un intertervalle I et d´ erivable 2 fois ` a l’int´ erieur de I. Alors : f est concave sur I si et seulement si f”(x) ≤0 ∀x int´ erieur ` a I. Si l’in´ egalit´ e est stricte (pour tout x int´ erieur ` a I) la concavit´ e est stricte. D´ efinition 2.8. On dit que la fonction f d´ efinie sur I est convexe si l’ensembe des points se trouvant au-dessus de son graphe est convexe, c’est-` a-dire si : C =  (x, y) ∈R2/y ≥f(x), x ∈I est convexe. 2. PROPRI` ET´ ES ET TH´ EOR` EMES 5 D´ efinition 2.9. On dit que f : I − →R (I inter. de R) est convexe si : ∀x1, x2 ∈I, ∀λ ∈[0, 1] on a : f(λx1 + (1 −λ)x2 ≤λ f(x1) + (1 −λ) f(x2) Illustration Remarque 2.10. Si l’in´ egalit´ e est stricte pour x1 ̸= x2 on dira que f est strictement convexe. Th´ eor` eme 2.11. Fondamental Soit f une fonction continue sur un intervalle I et d´ erivable ` a l’int´ erieur de cet intervalle I. Alors : f convexe si et seulement si f(x) −f(xo) ≥(x −xo) f ′(xo). La convexit´ e de f est stricte si l’in´ egalit´ e est stricte. Th´ eor` eme 2.12. (Minimum d’une fonction convexe) Soit f une fonction convexe sur un intervalle I et d´ erivable en xo ∈I. Alors si f ′(xo) = 0, f a un minimum absolu en xo et ce minimum est stricte si la convexit´ e est stricte. Th´ eor` eme 2.13. (Croissance de la d´ eriv´ ee d’une fonction convexe) Soit f une fonction continue sur un intervalle I et d´ erivable ` a l’int´ erieur de I, Alors f est convexe (resp. strictement convexe) si et seule- ment si f’ croissante (resp. strictement croissante). Th´ eor` eme 2.14. (Conditions 2nd ordre) Soit f une fonction continue sur un intervalle I et 2 fois d´ erivable ` a l’int´ erieur de I. 6 Alors f est convexe sur I si et seulement f”(x) ≥0 ∀x int´ erieur ` a I. Si l’in´ egalit´ e est stricte (pour tout x int´ erieur ` a I ) la convexit´ e est stricte. D´ efinition 2.15. (Point d’inflexion) On dit que f : I − →R (I intervalle de R) a un inflexion en xo ∈I s’il existe a < xo et b > xo, a, b ∈I tels que f soit concave (resp. convexe) sur [a, xo] et convexe (resp. concave) sur [xo, b] . Le point (xo, f(xo)) est appel´ e point d’inflexion du graphe de f . Propri´ et´ e : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et 2 fois d´ erivable ` a l’int´ erieur de I, les d´ eriv´ ees ´ etant continues. Alors : * Si f a une inflexion en un point xo int´ erieur ` a I, on a : f”(xo) = 0 Remarque 2.16. La r´ eciproque est fausse. En effet, soit f(x) = x4 donc f ′(x) = 4x3 et f”(x) = 12x2 ∀x ∈R f”(x) ≥0 donc f ′ est croissante donc f est convexe. f ′(0) = 0, C(0, f(0)) n’est pas un point d’inflexion. Remarque 2.17. Si f”(xo) n’existe pas, f peut tout de mˆ eme avoir un point d’inflexion en xo (Cf exercices). Exemple 2.18. (1) f(x) = x2 −x + 1 f ′(x) = 2x − 1 f”(x) = 2 > 0 f est convexe (2) f ′(x) = ex f ′(x) = ex f”(x) = uploads/Marketing/ chapitre-3 1 .pdf

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• Publié le Dec 15, 2021
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