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21/12/2020 Spécialité Maths, CNED - item-522 https://glose.education/read/speci

21/12/2020 Spécialité Maths, CNED - item-522 https://glose.education/read/specialite-maths/item-522?cid=5ef30f60f8fbf50317e68e43#6374 1/12 CNED - – TERMINALE MATHEMATIQUES S S S S SÉ É É É ÉQUENCE QUENCE QUENCE QUENCE QUENCE 4 4 4 4 4 : SUCCESSION D’ : SUCCESSION D’ : SUCCESSION D’ : SUCCESSION D’ : SUCCESSION D’É É É É ÉP P P P PREUV REUV REUV REUV REUVES ES ES ES ES IND IND IND IND INDÉ É É É É É É É É É PENDANTES PENDANTES PENDANTES PENDANTES PENDANTES - - - - - S S S S SCH CH CH CH CH MA DE BE MA DE BE MA DE BE MA DE BE MA DE BERNOULL RNOULL RNOULL RNOULL RNOULLI I I I I COURS 3 Séance 3 - LOI BINOMIALE ET APPROFONDISSEMENTS 1. Loi binomiale A. Définition Soit un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, n étant un entier positif et p ∈ [0 ;1], et soit X la variable aléatoire associant à cette expérience le nombre de succès. On dit alors que X suit une loi binomiale de paramètres n et p que l’on note B( , n ;p). Exempl Exempl Exempl Exempl Exemple e e e e : : : : : dans l’activité, à la deuxième question, ;0.55). Y suivait la loi B(4 Champ d’application des lois binomiales : tirages successifs avec remise d’une épreuve à 2 issues. Elle intervient dès lors que l’on répète de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli. En particulier, elles jouent un rôle fondamental en modélisation pour dénombrer les individus d’une population présentant la modalité d’un certain caractère. Propriété Propriété Propriété Propriété Propriété La loi de la variable aléatoire X est donnée, pour tout entier k compris entre 0 et n, par   (= ) = B B(−)− 21/12/2020 Spécialité Maths, CNED - item-522 https://glose.education/read/specialite-maths/item-522?cid=5ef30f60f8fbf50317e68e43#6374 2/12 CNED - – TERMINALE MATHEMATIQUES B. Calcul à l’aide de la calculatrice C. Exercices 1. 1. 1. 1. 1. Exercic Exercic Exercic Exercic Exercice 1 e 1 e 1 e 1 e 1 Un concessionnaire de voitures vend le même jour 7 véhicules identiques à des particuliers. On sait que la probabilité pour que ce type de voiture soit en état de rouler 2 ans après est de 0.9. On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures en état de rouler 2 ans après leur achat. Précisez l'univers X(Ω) et indiquez quelle est la loi suivie par X. Calculer la probabilité pour que les 7 voitures soient en service deux ans plus tard. Calculer la probabilité pour que les 7 voitures soient hors de service deux ans plus tard. Calculer la probabilité pour que 4 voitures soient hors de service deux ans plus tard. Calculer la probabilité pour qu'il y ait au plus une voiture hors service. Correction d Correction d Correction d Correction d Correction de l’exercice 1 e l’exercice 1 e l’exercice 1 e l’exercice 1 e l’exercice 1 Objectif : on définit l’univers d’une variable aléatoire et on donne sa loi de probabilité. Il faut ici savoir interpréter de façon correcte le texte de façon à calculer les bonnes probabilités. En particulier, bien distinguer le succès de l’échec. 21/12/2020 Spécialité Maths, CNED - item-522 https://glose.education/read/specialite-maths/item-522?cid=5ef30f60f8fbf50317e68e43#6374 3/12 CNED - – TERMINALE MATHEMATIQUES X(Ω)={0,1,2,3,4,5,6,7}, et puisqu’on répète 7 fois de façon identique et indépendante la même épreuve de Bernoulli de paramètre 0.9, X suit B(7,0.9) On cherche P(X=7)=0.97 ≈0.4783 Les 7 voitures sont hors service signifie que X=0, P(X=0)=0.17 = 10−7 Si 4 voitures sont hors service au bout de 2 ans, c’est qu’il en reste 3 en service, soit on cherche P(X=3)= B 7 3B 0.930.14 . B 7 3B = 35, lecture sur triangle de Pascal, donc (= 3 = ) 35 × 0.930.1 0. 4 ≈ 0026 Pour qu’il y ait au plus une voiture hors service, il faut qu’il y ait au moins 6 voitures en service au bout de 2 ans, donc on cherche : P(X ≥ 6)=P(X=6)+P(X=7) ≈ 0.8503 (on peut utiliser la calculatrice par exemple). Propriétés Propriétés Propriétés Propriétés Propriétés Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n ;p). L’espérance mathématique de X est E(X)=np Sa variance est V(X)=np(1-p) Son écart-type est (  ) = B( ) = B(1 −) 2. 2. 2. 2. 2. Exercic Exercic Exercic Exercic Exercice 2 e 2 e 2 e 2 e 2 Sophie achète un paquet de 100 caramels qui comporte 15% de caramels au chocolat. Pour éviter les caries, sa mère ne lui laisse qu'un échantillon de 10 caramels prélevés au hasard. Quelle est la probabilité pour que Sophie mange au moins 2 caramels au chocolat ? Soit X, la variable aléatoire associée au nombre de chocolats. Calculer E(X) et σ (X). Donner une interprétation de E(X) dans le contexte de l'énoncé. Correction d Correction d Correction d Correction d Correction de l’exercice 2 e l’exercice 2 e l’exercice 2 e l’exercice 2 e l’exercice 2 Objectif : ici, on doit reconnaître une loi binomiale et trouver ses paramètres. D’autre part, il faut calculer son espérance et en donner une interprétation. X suit une loi binomiale B(10 cherche P(X≥2)=1 ;0.15). On -P(X≤ 1) en utilisant l’événement contraire. En effet les calculatrices sont capables de calculer P(X=k) et , P(X ≤ k), donc il faut se ramener à un de ces cas de figures. On obtient P(X ≥ 2)≈ 0.456. Il y a environ 46 % de chance que Sophie mange au moins 2 caramels au chocolat dans les 10 que sa mère lui a donné. () = = 1.5. En moyenne, sur 10 chocolats Sophie peut s’attendre à en avoir 1 ou 2 au , caramel. () = √10 × 0.15 × 0.85 = 1.13 21/12/2020 Spécialité Maths, CNED - item-522 https://glose.education/read/specialite-maths/item-522?cid=5ef30f60f8fbf50317e68e43#6374 4/12 CNED - – TERMINALE MATHEMATIQUES 3. 3. 3. 3. 3. Graphe d Graphe d Graphe d Graphe d Graphe d’une l ’une l ’une l ’une l ’une loi binomia oi binomia oi binomia oi binomia oi binomiale le le le le L’exemple ci-dessous est le graphe d’une variable aléatoire X suivant une loi B(20 ;1/3) On peut obtenir le graphe d’une loi binomiale sur le logiciel Géogébra en utilisant la fenêtre « calcul de probabilités ». Remarque Remarque Remarque Remarque Remarque : : : : : on observe, dès que n devient suffisamment grand, comme c’est le cas ici, les contours d’une courbe « en cloche ristique d’une courbe de Gauss que vous avez » caracté déjà du observer (courbes de naissance courbe de production de cellules , photovoltaïques). 4. 4. 4. 4. 4. Exercic Exercic Exercic Exercic Exercice 3 e 3 e 3 e 3 e 3 L'oral d'un examen comporte 100 sujets possibles. Le candidat tire 3 sujets au hasard; parmi ces 3 sujets, il choisit le sujet qu'il désire traiter. Ce candidat a révisé seulement 60 sujets. On considère la variable aléatoire X correspondant au nombre de sujets révisés parmi les 3 tirés. Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier. Quelle est la probabilité pour que le candidat obtienne au moins un sujet révisé ? Combien doit-on tirer de sujets pour que P(X≥ 1) ≥ 0,99 ? Correction d Correction d Correction d Correction d Correction de l’exercice 3 e l’exercice 3 e l’exercice 3 e l’exercice 3 e l’exercice 3 Objectif Objectif Objectif Objectif Objectif : : : : : on doit ici justifier une loi binomiale et déterminer un seuil. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de sujets révisés lorsqu'on répète 3 fois de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli X suit une loi binomiale de paramètres 3 et 0.6 21/12/2020 Spécialité Maths, CNED - item-522 https://glose.education/read/specialite-maths/item-522?cid=5ef30f60f8fbf50317e68e43#6374 5/12 CNED - – TERMINALE MATHEMATIQUES P(X ≥ 1)=1-P(X=0)=1 −0.43=0.936, il y a donc 93.6% de chance qu’il ait au moins un sujet qu’il a révisé parmi les 2 tirés. On cherche n tel que P(X≥1)≥0,99 ⇔ ⬄ 1 −(= 0) ≥0.99 ⬄ 0.4≤0.01 ⬄ ln 0.4 ( ) ≤ln 0. ( 01) car la fonction logarithme est strictement croissante sur ℝ+ ⬄ ≥ ln(0.01) ln(0 4 . ) car ln(0.4)<0 ⬄ n≥5,02. Donc il faut tirer au moins 6 sujets pour avoir plus de 99% de chance d’en avoir au moins un qui a été . révisé Remarque Remarque Remarque Remarque Remarque : : : : :si vous n’avez pas encore vu la fonction logarithme vous pouvez procéder par , tâtonnement, et expliquer que la suite géométrique de raison 0.4 est strictement décroissante, et 0.45 > 0.01 et 0.4 0. 6 ≤ 01, ce qui justifie la valeur 6 comme résultat. 5. 5. 5. 5. 5. Exercic Exercic Exercic Exercic Exercice 4 e 4 e 4 e 4 e 4 Une entreprise souhaite acheter un parc de 600 ordinateurs neufs ; la probabilité que l'un d'entre eux tombe en panne pendant la période de garantie est de 0,1. La panne de l'un des ordinateurs n'affecte pas les autres machines du parc. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre d'ordinateurs uploads/Marketing/ seq-4-proba-schema-de-bernoulli-seance-3.pdf