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Systèmes isostatiques Dans un premier temps, nous allons redéfinir les principa

Systèmes isostatiques Dans un premier temps, nous allons redéfinir les principales notions de théorie des mécanismes. Des calculs d’hyperstatisme seront ensuite détaillés sur un cas simple. Nous utiliserons alors les différentes méthodes proposées pour étudier des systèmes plus complexes. I. Principales notions de théorie des mécanismes Un système est dit isostatique si son degré d’hyperstatisme est égal à 0. Pour comprendre cette définition, il nous faut définir différents outils. 1.1. Torseurs statiques et cinématiques des liaisons Chaque liaison cinématique et statique du graphe des liaisons possède un torseur statique et un torseur cinématique associé. On notera le torseur statique des efforts exercés par le solide S1 sur le solide S2 par la liaison L1 au point A { } 12 12 12 12 12 12 ( 1 2) A A X L Y M T S S Z N ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ → = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ On notera le torseur cinématique du solide S1 par rapport au solide S2 par la liaison L1 au point A { } 12 12 12 12 12 12 ( 1/ 2) A A U V C S S W α β γ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.2. Liaison équivalente Le système suivant, possède deux liaisons en parallèle entre les solides S1 et S2. On définit les liaisons équivalentes Leq entre les deux solides S1 et S2 : On a alors { } { } { } 1 2 ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) eq L L L T S S T S S T S S → = → + → Cette méthode est également applicable aux liaisons en série. On obtient alors : { } { } { } 1 2 ( 1 2) ( 1 2) ( 1 2) eq L L L C S S C S S C S S → = → + → 1.3. Degré d’hyperstatisme Lorsqu’un système possède des liaisons en parallèle, il est possible de déterminer toutes les inconnues statiques de liaison par le seul principe fondamental de la statique. Le nombre d’inconnues statiques de liaison qu’il faut ainsi fixer pour pouvoir résoudre le problème par le PFS est appelé degré d’hyperstatisme et est noté h. Mathématiquement, ceci s’écrit : S h N rS = − (1) où Ns est le nombre d’inconnues statiques et rs le nombre d’équations indépendantes obtenues en appliquant le PFS aux différents solides su système. rs correspond également au nombre de composantes du torseur cinématique de liaison équivalente à un système de deux liaisons en parallèle imposées nulles. Si on définit le degré de S1 S2 L1 L2 S1 S2 L1 S1 S2 L1 L2 S1 S2 Leq mobilité m du système comme le nombre de mouvements élémentaires possibles du système, on obtient alors : 6( 1) S U m n r m m = − − = + I (2) où n est le nombre de solides du système, bâti compris mU la mobilité utile et mI la mobilité interne (degré de mobilité n’influent pas sur le mouvement des autres pièces du mécanisme) 1.4. Application aux chaînes cinématiques complexes. Il est parfois fastidieux de déterminer rS. C’est pourquoi on élimine rS entre les équations (1) et (2) pour obtenir une équation utilisable dans le cas général : 6( 1) S h m N n = + − − 1.5. Avantages d’un système isostatique Chaque degré d’hyperstatisme correspond à une contrainte géométrique très forte. La mise en position des pièces doit être plus précise pour permettre le montage. Le système est alors plus rigide. Un système isostatique est donc économique puisqu’il n’est pas nécessaire de lui imposer des contraintes géométriques coûteuses. De plus, il est important de pouvoir quantifier les inconnues de liaison pour pouvoir dimensionner les différents composants du mécanisme. II. Exemple simple d’application On considère le mécanisme suivant, représenté par son schéma cinématique. Cette association de liaisons pivot glissant en parallèle pour réaliser une liaison glissière est très courante en robotique. Traçons le graphe des liaisons associé : On suppose qu’un torseur d’efforts extérieurs connus est appliqué sur le solide S1. { } 1 ( 1) O X L T ext S Y M Z N ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ → = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ On isole S1 et on applique le PFS au point O1: { } { } { } 1 ( 0 1) ( 1) 0 i O i T S S T ext S → + → = 1 O ∑ Avec { } { } 1 1 ( 0 1) ( 0 1) eq i O O i T S S T S S → = → ∑ Celui de la liaison pivot glissant d’axe O1 z s’écrit : { } 01 01 1 01 1 ' ' ( 0 1) ' ' 0 0 O X L T S S Y M ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ → = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 01 01 Celui de la liaison pivot glissant d’axe O2 z s’écrit : { } 01 01 2 01 2 '' '' ( 0 1) '' '' 0 0 O X L T S S Y M ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ → = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Il s’agit maintenant de changer le torseur { } 2 2 ( 0 1) O T S S → de point, en utilisant la formule générale suivante, avec des notations implicites : 1 2 1 2 O O M M O O R = + ∧ uuuu r r uuuuuu r u r uuuu D’où { } 01 01 01 2 01 1 01 '' '' '' ( 0 1) '' '' 0 O X L M T S S Y XY ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ → = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ avec 1 2 . O O X x = uuuuuu r r x z y S0 S1 L1 L2 x z y z O1 O2 Liaison pivot d’axe O1 z S1 S0 Liaison pivot d’axe O2 z Le PFS donne donc, au point O1 : 01 01 01 01 01 01 01 01 01 ' '' 0 ' '' . '' 0 ' '' ' '' 0 L L L M M M X Y N X X X Y Y Y + + = + + = + = + + = + + = 0 0 On a 5 équations indépendantes 5 S r = 8 5 3 S S h N r h = − = − = Avec la formule générale, 6( 1) S h m N n = + − − 1 8 6 1 3 h = + −× = Pour rendre ce système isostatique, on se propose de modifier la liaison en O2 et d’annuler les 3 inconnues statiques qui empêchent de résoudre le système. Les deux premières équations donnent : 01 01 '' '' 0 M L = = Pour les trois équations suivantes, on choisit d’annuler soit 01 '' X soit Y . 01 '' Mais l’annulation de Y donnerait une liaison équivalente pivot glissant (on peut le vérifier on cherchant le torseur de liaison équivalente au point O1). On annule donc 01 '' 01 '' X . { } 2 0 2 0 0 ( 0 1) '' 0 0 0 O T S S Y ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ → = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 La liaison en O2 obtenue est une liaison ponctuelle de normale x. Le système est rendu isostatique puisque l’on peut déterminer toutes les inconnues de liaison. Remarque : La résolution précédente c’est effectué par la statique car les liaisons étaient en parallèles. Dans le cas de liaisons en série, on utilisera les torseurs cinématiques. III. Technologiquement parlant. 3.1. Contrainte fonctionnelle d’isostatisme Nous avons déjà dans la première partie présenté l’avantage économique d’une conception isostatique. (Remarque : une grande majorité des produits ne sont pas isostatiques : Votre chaise a bien quatre pieds). Construire des systèmes isostatiques n’est donc pas systématiquement nécessaire. En revanche, dans certaines applications, c’est une obligation. Exemple : Qu’elle est la contrainte géométrique prépondérante pour avoir un bon étau ? Le parallélisme des 2 mors. Ce qui impose que le mors mobile soit en liaison glissière parfaite avec le bâti de l’étau. Les solutions technologiques classiques des étaux sont de ce type : Sans étude poussée, on s’aperçoit vite, que le système est hyperstatique. Cela va engendrer des efforts parasites dans le mécanisme et donc des déformations qui risquent de fausser le parallélisme. Le calcul nous donne ici : h = m – 6*(n-1)+Ns = 0 -12 +22 = 10 Mors Sans résoudre le problème des 2 liaisons pivot, que tout le monde connaît, voici comment ne pas pré contraindre la liaison glissière (ce qui nous intéresse). La liaison glissière bloque 5 ddl, la ponctuelle en contact du mors en bloque 1. Le système est bloqué et isostatique. Dans le réel, l’ensemble {hélicoïdale + 2* uploads/Marketing/ systemes-isostatiques.pdf