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336 Introduction à l'automatique décembre 2010 CORRIGÉ DES EXERCICES RELATIFS A

336 Introduction à l'automatique décembre 2010 CORRIGÉ DES EXERCICES RELATIFS AU CHAPITRE 5 : SYNTHÈSES BASÉES SUR L'UTILISATION DU PLAN P. Exercice 1: a) La transmittance de la boucle fermée est donnée par (voir exercice 8, chap. 3) : . La constante de temps de cette boucle fermée vaut et la gain K répondant à la spécification vaut donc 0,1. b) b1) La boucle fermée interne a maintenant pour transmittance . La constante de temps d'intégration du P+I vaudra donc et la transmittance de ce régulateur s'écrira . La transmittance de la boucle ouverte du système de régulation global . Le lieu d'Evans s'inspire des remarques suivantes: - nous rappelons que tout l'axe réel appartient au lieu d'Evans et que les différentes portions correspondant à un gain d'Evans se trouvent à gauche d'un nombre pair de pôles et de zéros; - le défaut de zéros valant 1, le lieu comportera une asymptote dirigée à 180/ pour un gain d'Evans (à 0/ pour ); On peut directement en déduire le lieu d'Evans (trivial) qui est donné ci-dessous pour et pour (notons que, pour , le système de régulation global serait instable pour toute valeur du gain) : 337 Introduction à l'automatique décembre 2010 Afin que la réponse indicielle de la boucle fermée soit de même rapidité que celle de la boucle ouverte, nous placerons le pôle en . Ceci correspond donc, en appliquant la règle du module, à un gain d'Evans de 1. De plus, la transmittance étant monique, le gain d'Evans est égal au gain . La transmittance du régulateur s'écrira donc . b2) En ajoutant cette boucle externe, l'on dispose à présent d'un pôle intégrateur au niveau de la structure de réglage. Celui-ci nous garantira donc l'astatisme de conduite vis-à-vis d'une perturbation amont (Cf. l'exemple de la fuite considéré dans l'exercice 8 du chapitre 3). Si l'on n'avait utilisé qu'une seule boucle de réglage, avec un P+I de transmittance deux pôles à l'origine se seraient présentés au niveau de la boucle ouverte du système de régulation. Ceci conduirait au lieu d'Evans présenté ci -dessous où l'on constate qu'il existe toute une zone (correspondant aux gains d'Evans inférieurs à 2) où la réponse indicielle du système présente des oscillations. En outre, au-delà de cette valeur du gain d'Evans, la réponse indicielle du système est ralentie à mesure que l'on augmente le gain. Exercice 2: a) La boucle ouverte du système de régulation s'écrit où . Le tracé du lieu d'Evans se base sur les remarques suivantes: - le défaut de zéros valant 1, il y aura une asymptote dirigée à 180/ ( ) ou à 0/ ( ); l'un des deux pôles de la boucle ouverte se dirigera donc vers cette direction asymptotique à mesure que le gain augmente, tandis que l'autre pôle se dirigera vers le zéro; - le tracé du lieu pour est dès lors trivial; par contre, l'on remarque que, pour , 338 Introduction à l'automatique décembre 2010 le lieu devra nécessairement présenter des intersections avec l'axe réel; calculons ces intersections: Les lieux d'Evans (pour et ) sont présentés ci-après. b) Si le gain conduit effectivement à une boucle fermée présentant un pôle dominant (et donc un pôle réel), ce dernier se situera en où x est la solution de l'équation résultant de l'application du critère du module: . Le pôle dominant (c.à.d. le plus lent et donc le plus proche de l'origine) se situe donc en . c) La limite de stabilité se situe ici à l'intersection du cercle avec l'axe imaginaire. Cette situation correspond en effet à deux pôles conjugués imaginaires purs et donc à une réponse indicielle oscillante à la limite de stabilité. Recherchons l'intersection du lieu avec l'axe imaginaire. Le lieu d'Evans est le lieu des pôles de la transmittance . S'il existe une intersection du lieu avec l'axe imaginaire, les racines du polynôme seront du type . Il suffit donc de résoudre le système d'équations dont nous retiendrons la solution . Celle-ci nous enseigne que le système de régulation est à la limite de stabilité pour et que sa réponse indicielle présentera alors des oscillations (ni amorties ni divergentes) de pulsation égale à . Il en résulte immédiatement qu'un gain conférera au système de régulation une marge de gain de 6 dB puisque l'on peut encore dans ce cas amplifier le gain d'un facteur 2 avant d'atteindre la limite de stabilité. 339 Introduction à l'automatique décembre 2010 d) Une réponse indicielle sans oscillations nécessite des pôles réels au niveau de la transmittance du système étudié. Afin que cette réponse soit la plus rapide possible, il faut en outre que le pôle dominant (c.à.d. le plus lent) soit autant éloigné qu'il se peut de l'origine du plan p. Cette configuration correspond à l'amortissement critique unitaire qui apparaît ici à l'intersection du lieu avec le demi-axe réel négatif. Sachant que ce point se situe en (-0,37 ; 0) (Cf. ci-avant), la règle du module nous donne immédiatement le gain d'Evans: et donc . Exercice 3: Nous avons vu dans l'exercice 9 du chapitre 3 que la structure de régulation fonctionnelle se révélait équivalente à une boucle fermée classique comportant, dans ce cas-ci, un régulateur P+I de transmittance . La boucle ouverte du système de régulation équivalent a donc pour transmittance: a) Le tracé du lieu d'Evans se base sur les remarques suivantes: - le défaut de zéros étant égal à 4, les 4 pôles du système de régulation tendront vers les 4 directions asymptotiques dirigées suivant 45/, 135/, 225/, 315/ (pour ) ou suivant 0/, 90/, 180/, 270/ (pour ); - l'intersection de ces asymptotes se situera au point ; - les intersections du lieu avec l'axe réel seront données par les racines de l'équation , c.à.d. en ; l'intersection en correspond au lieu pour (Cf. problème du signe du gain d'Evans sur les différentes portions de l'axe réel) et les deux autres racines correspondent aux intersections de l'axe réel avec le lieu pour ; 340 Introduction à l'automatique décembre 2010 Les lieux d'Evans sont donnés ci-après. b) L'on remarque que, pour un gain d'Evans négatif, le système de régulation sera toujours instable. Pour un gain d'Evans positif, l'intersection du lieu avec l'axe réel la plus proche de l'origine correspondra à un amortissement critique unitaire. La règle du module nous donne la valeur du gain d'Evans correspondant: . Exercice 4: a) L'inverse de la valeur absolue de la partie réelle des pôles de la transmittance est égale à la sous-tangente de l'enveloppe exponentielle du signal oscillant. D'autre part la partie imaginaire des pôles est égale à la pulsation apparente des oscillations. On en déduit donc la transmittance suivante: . La transmittance ne présente pas de zéro puisque la réponse indicielle démarre avec une tangente nulle ( ). K devra être égal à 2 afin que le gain statique soit unitaire. On obtient donc bien . b) La transmittance de la boucle ouverte du système de régulation est donnée par . Le tracé du lieu d'Evans (pour ) se base sur les remarques suivantes: - le défaut de zéros étant égal à 3, il y aura 3 directions asymptotiques: 60/, 120/ et 180/; - l'intersection des asymptotes se situera en ; 341 Introduction à l'automatique décembre 2010 - la direction de départ des branches correspondant aux pôles complexes conjugués sont données p a r e t - l'intersection du lieu avec l'axe imaginaire conduit à l'équation dont les solutions sont données par . Le lieu d'Evans pour est donné ci-après. Notons que, pour , le système de régulation eût été instable. c) Nous avons vu ci-dessus que les points d'intersection du lieu avec l'axe imaginaire correspondaient à un gain . Ces pôles caractérisent le système de régulation à sa limite de stabilité. L'on en déduit donc que le gain du régulateur conférant une marge de gain de 6dB au système de régulation vaut . Exercice 5: a) Le régulateur PI aurait pour transmittance . La transmittance en boucle ouverte devient donc . Le tracé du lieu d'Evans (pour ) se base sur les remarques suivantes: - le défaut de zéros étant égal à 2, il y aura 2 directions asymptotiques: 180/ et 270/; - l'intersection des asymptotes se situera en . 342 Introduction à l'automatique décembre 2010 Le lieu d'Evans est donné ci-après et l'on constate que l'on se trouve à la limite de stabilité pour toute valeur du gain . b) La réalisation de la boucle interne conduit à une transmittance . La transmittance du système réglé vu par le P+I+D est donc . Souhaitant placer les pôles de cette transmittance en p=-1 et en p=-2, il faudra donc choisir un gain . Afin de compenser le pôle le plus lent, situé en p=-1, l'on choisira et afin de compenser le pôle le plus rapide, situé en p=-2, l'on choisira ( ). On obtient donc finalement, au niveau de la boucle ouverte externe, la transmittance . Le tracé du lieu d'Evans ( ) se base sur les remarques suivantes: - le défaut de zéros uploads/Marketing/ corrige-chap5.pdf