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Université de Provence 2011–2012 Mathématiques Générales 1 Feuille d’exercices

Université de Provence 2011–2012 Mathématiques Générales 1 Feuille d’exercices n◦4 Théorie des ensembles, applications I. Théorie des ensembles Exercice 1 symboles de théorie des ensembles Soient X un ensemble non vide et A, B, C trois parties de X. 1. Expliciter les formules de théorie des ensembles : x ∈A ∪B, x ∈A ∩B, x ∈Ac, où c désigne le symbole de complément, au moyen des connecteurs logiques et des symboles élémentaires (x ∈A) et ( x ∈B). 2. Déterminer les ensembles suivants : 1. X ∩∅c 2. Xc ∩∅ 3. (X ∩∅)c 4. X ∪∅c 5. (Xc ∩∅)c 6. (Xc ∪∅)c ∩X. 3. Montrer que A ∪B ⊂A ∪C et A ∩B ⊂A ∩C ⇒B ⊂C. Exercice 2 Opérations sur les ensembles 1. Soient E, F et G trois ensembles. Montrer les propriétés suivantes : (a) (E ∩F) ∪G = (E ∪G) ∩(F ∪G) (b) (E ∪F) ∩G = (E ∩G) ∪(F ∩G) 2. Soient A et B des parties d’un ensemble E, montrer (a) (A ∪B)c = Ac ∩Bc (b) (A ∩B)c = Ac ∪Bc (c) A ⊂B ⇒Bc ⊂Ac. 3. Soient A et B des parties d’un ensemble E, démontrer que : A ∪B = E ⇔Ac ⊂B ⇔Bc ⊂A. Exercice 3 extrait examen 2008 Soient A, B, C, D des parties d’un ensemble E non vide telles que l’on ait les quatre hypothèses : (1) A ∩B = C ∩D; (2) C ∪D = E; (3) C ⊂A; (4) D ⊂B. Prouver que C = A puis que D = B. Exercice 4 Produit cartésien Etant donnés, deux ensembles A et B, on appelle produit cartésien de A par B, l’ensemble {(x, y)/x ∈A, y ∈B}. 1. Soit A = {1, 2, 3}, B = {1, 5} et C = {2, 10}. Expliciter les produits cartésiens : A × B, B × A, C × B, (A∩C)×B, ainsi que l’ensemble (A×B)∩(C ×B). Que remarque-t-on ? Peut-on généraliser le résultat ? Enoncer un résultat analogue avec les symboles ∪et ×. 2. Soient les sous-ensembles de R suivants : I = [0, 3], J = [0, 4], K = [1, 4], L = [1, 5]. Dessiner, dans le plan rapporté au repère orthonormé (0,⃗ i,⃗ j), les ensembles : I × J et K × L ; déterminer : (I × J) ∩(K × L). 3. Pour les ensembles quelconques A, B, C, D, déterminer (en justiﬁant le résultat) (A × B) ∩(C × D). 4. Montrer en donnant un contre-exemple, que (A × B) ∪(C × D) n’est en général pas un produit cartésien. 5. Que vaut ∅× B ? 6. Résoudre l’équation : A × B = ∅. Exercice 5 Ensemble des parties d’un ensemble 1. Soit l’ensemble A = {a , b , c , d}. Déterminer P(A). 2. L’ensemble P(∅) est-il vide ? 3. Si E est un ensemble à k éléments, combien P(E) a-t-il d’éléments ? II. Applications Exercice 6 Montrer que la composée de deux applications injectives (resp. surjectives) est une application injective (resp. surjective). Exercice 7 Soient f : X →Y et g : Y →Z deux applications. Notons h = g ◦f. 1. Montrer que h injective entraîne f injective. 2. Montrer que h surjective entraîne g surjective. Exercice 8 Soit f une application de X dans Y . 1. Montrer que f est injective si et seulement si il existe une fonction g : Y →X telle que g ◦f = IdX. La fonction g est-elle unique ? (on pourra faire un dessin avec diagramme sagital ) 2. Prouver que f est bijective si et seulement si ∃!g : Y →X telle que g ◦f = IdX. 2 Exercice 9 (Application “image réciproque") On rappelle que si f est une application de X dans X′, l’application de P(X′) dans P(X), notée commodément mais abusivement f −1, qui à A′ associe f −1(A′), est toujours bien déﬁnie. Soient X, X′ deux ensembles et f : X →X′ une application. 1. Rappeler la déﬁnition de f(A) pour une partie A de X, ainsi que la déﬁnition de f −1(A′) pour une partie A′ de X′. 2. Si f est une des fonctions usuelles cos x, sin x, ex, x2, √x ou ln x, déterminer f −1({y}), suivant les valeurs du réel y et dire si f est injective ou surjective. 3. Pour tous (A, B) ∈P(X)2 et (A′, B′) ∈P(X′)2, montrer que : (a) f(A ∪B) = f(A) ∪f(B) (b) f(A ∩B) ⊂f(A) ∩f(B) (on dessinera un contre-exemple à l’autre inclusion). (c) f −1(A′ ∪B′) = f −1(A′) ∪f −1(B′) (d) f −1(A′ ∩B′) = f −1(A′) ∩f −1(B′). 4. Pour tout A ⊂X, A′ ⊂X′, comparer : (a) f(Ac) et f(A)c ; f −1(A′c) et f −1(A′)c. (b) A et f −1(f(A)) ; A′ et f(f −1(A′)). 5. Montrer que A′ ⊂B′ ⇒f −1(A′) ⊂f −1(B′) ; Exercice 10 Soient les fonctions f : ( R → R x 7→ x3 −x + 2 g : ( R → R x 7→ x2 −4 Calculer f ◦g, g ◦f ainsi que la fonction fg : ( R → R x 7→ f(x)g(x) Exercice 11 Une fonction f : R →R est dite paire si f(−x) = f(x) pour tout x ∈R, et impaire si f(−x) = −f(x) pour tout x ∈R . On déﬁnit la fonction s par s : ( R → R x 7→ −x 1. Exhiber une fonction paire mais pas impaire, puis une fonction impaire mais pas paire. 2. Existe-t-il des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires ? 3. Trouver toutes les fonctions qui sont à la fois paires et impaires. 4. Montrer qu’une fonction f : R →R est paire ssi f ◦s = f. 5. Montrer qu’une fonction f : R →R est impaire ssi f ◦s = s ◦f. 3 6. Si f est une fonction quelconque, que dire des fonctions x 7→f(x) + f(−x) 2 , x 7→f(x) −f(−x) 2 ? 7. Montrer que toute fonction f s’écrit de manière unique comme la somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Exercice 12 Expliciter f(]0, 1[), f([1, 2[), f([−3, −2]), f −1(]0, 1[), f −1([1, 2[),f −1([−3, −1]),f −1([−1 2, 3]) pour chacune des fonctions f : R →R suivantes 1) f : x 7→x2 2) f : x 7→ex 3) f : x 7→ 1 1 + x2 4) f : x 7→sin x Exercice 13 extrait examen 2008 1. Etant donnée une application f de E vers F, rappeler les déﬁnitions mathématiques de f injective et f surjective, puis exprimer que f n’est pas injective, et enﬁn que f n’est pas surjective. En déduire la déﬁnition mathématique de : f n’est pas bijective. 2. On considère l’application f déﬁnie par : f : R\{−2} 7→ R x 7→ x + 1 x + 2 – Démontrer que f est injective. – Combien l’équation f(x) = 1 a-t-elle de solution ? En déduire que f n’est pas surjective. – Soit g l’application déﬁnie par g : R\{−2} 7→ R\{1} x 7→ x + 1 x + 2 Justiﬁer que g est bijective et déterminer sa bijection réciproque. Exercice 14 extrait DS 2010 1. Étudier la fonction g(x) = sin2(x) déﬁnie sur [−π, 2π] et tracer son graphe. 2. Rappelez la déﬁnition des ensembles g([π/4, 3π/4]) et g−1([−1/2, 1/2]) et les déterminer l’aide du graphe. Exercice 15 extrait DS 2010 (pour information) Soient X et X′ deux ensembles et f une application de X vers X′. Pour tout A ⊂X, A′ ⊂X′, : 1. montrer que f −1(A′c) = f −1(A′)c. 2. Que peut-on dire de f(Ac) et f(A)c ? (Indic. On dessinera des contres exemples aux deux inclusions.) 4 uploads/Marketing/ td4-l1mg-2011.pdf