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Institut Sup´ erieur de M´ ecanique de Paris Cours de math´ ematiques septembre

Institut Sup´ erieur de M´ ecanique de Paris Cours de math´ ematiques septembre 2011 Introduction ` a la notion de tenseur par St´ ephane Dugowson s.dugowson@gmail.com type tenseur 1` ere base coeﬀ. 1 2` eme base coeﬀ. 2 rel. bases rel. coeﬀ. T 0,0 = K λ 1 λ 1 λ 1 = 1 λ = λ T 1,0(X) = X x (e) (e)U = uiei (f) (f)V = vifi (f) = (e)P V = P −1U T 0,1(X) = X∗ ξ (ǫ) M(ǫ) = µiǫi (ϕ) N(ϕ) = νiϕi (ǫ) = P (ϕ) N = MP T 1,1(X) = L(X) r ei ⊗ǫj ai j fi ⊗ϕj bi j ei ⊗ǫj = qk i (fi ⊗ϕj)pj l B = P −1AP T 0,2(X) = B(X, K) s ǫi ⊗ǫj cij ϕi ⊗ϕj dij ǫi ⊗ǫj = pi k(ϕk ⊗ϕl)pj l D = tP CP Figure 1 – R´ ecapitulatif des tenseurs usuels d’ordre ≤2 Pr´ esentation 0.1 Pourquoi parle-t-on de tenseurs ? Comment exprimer math´ ematiquement les contraintes qui s’exercent en chaque point d’un milieu continu (solide, ﬂuide, etc.) ? Les scalaires per- mettent certes d’exprimer des pressions, et les vecteurs des forces, mais ces entit´ es math´ ematiques s’av` erent insuﬃsantes : une contrainte en un point d’un milieu continu n’est pas une simple pression ni mˆ eme repr´ esentable par un unique vecteur force. Alors qu’un scalaire est la donn´ ee d’un nombre, et qu’il en faut trois pour repr´ esenter un vecteur (une base ayant ´ et´ e choisie), six nombres au moins sont n´ ecessaires ` a l’expression d’une telle contrainte. On s’est rendu compte que ces six scalaires caract´ erisaient, dans une base donn´ ee, une matrice 3 × 3 sym´ etrique. Mais, de mˆ eme qu’un vecteur est un ˆ etre math´ ematique ind´ ependant du choix d’une base et qu’il ne se r´ esume donc pas ` a ses trois coordonn´ ees, de mˆ eme les six coeﬃcients en question se rapportent en fait ` a une entit´ e math´ ematique qui existe par elle-mˆ eme ≪en amont ≫de ces coeﬃcients : un tenseur. Le mot tenseur vient donc bien de l’id´ ee d’exprimer, entre autre, des sortes de tensions, des contraintes, etc. Mais la notion de tenseur se r´ ev` ele 1 d’une grande g´ en´ eralit´ e, avec des applications dans bien d’autres domaines que la seule m´ ecanique des milieux continus (´ electromagn´ etisme, relativit´ e, g´ eom´ etrie diﬀ´ erentielle). Remarque 1. Un scalaire, un vecteur, une forme lin´ eaire, une forme bilin´ eaire, une application lin´ eaire sont, nous le verrons, des tenseurs particuliers. Dans ce cours, on a choisi de prendre pour scalaires le corps des r´ eels R, aussi les espaces vectoriels consid´ er´ es seront tous r´ eels. Cela dit, les choses ne seraient pas fondamentalement diﬀ´ erentes pour un autre corps, en particulier C. 0.2 Le principe de construction des tenseurs La notion de tenseurs repose sur deux extensions diﬀ´ erentes de la notion d’espace vectoriel : les vari´ et´ es et les produits tensoriels. 0.2.1 Vari´ et´ es et champs de tenseurs La premi` ere extension est plutˆ ot une extension de la notion d’espace af- ﬁne, elle consiste ` a faire appel ` a des espaces courbes plutˆ ot qu’aux espaces aﬃnes qui sont en quelque sorte trop rectilignes pour de nombreuses appli- cations. Ces espaces courbes, appel´ ees des vari´ et´ es, ressemblent n´ eanmoins aux espaces aﬃnes, mais uniquement de fa¸ con locale, au voisinage de chaque point. Grˆ ace ` a cette ressemblance, on peut construire en chaque point d’une vari´ et´ e des vecteurs tangents, et une famille de vecteurs tangents, un pour chaque point de la vari´ et´ e, s’appelle un champ de vecteurs. Plus g´ en´ eralement, on peut d´ eﬁnir des tenseurs variant de point en point, constituant ainsi des champs de tenseurs. Tr` es souvent, lorsqu’on parle de tenseur, on veut dire champ de tenseurs. Toutefois, ` a notre niveau, nous ne pr´ esenterons pas la th´ eorie des vari´ et´ es : nos espaces ne seront pas courb´ es, ce seront des (parties d’)espaces aﬃnes . De plus, le but de cette introduction concerne la d´ eﬁnition des tenseurs en eux-mˆ emes, plutˆ ot que des champs de tenseurs. 0.2.2 Produit tensoriel La deuxi` eme extension va d´ ecouler d’une op´ eration math´ ematique essen- tielle, ` a la fois tr` es simple et tr` es abstraite : le produit tensoriel. Ce produit tensoriel constitue le principe fondamental de construction des tenseurs, car il permet de fabriquer de nouveaux types de tenseurs ` a partir des deux types 2 de tenseurs fondamentaux que sont les vecteurs de l’espace de base et les formes lin´ eaires sur cet espace, c’est-` a-dire les vecteurs de l’espace dual. Remarque 2 (Primal, dual, bidual). Quelle est la diﬀ´ erence entre un vec- teur et une forme lin´ eaire ? On pourrait dire, en s’appuyant sur l’existence (en dimension ﬁnie) d’un isomorphisme canonique entre l’espace primal et le bidual : la diﬀ´ erence entre un vecteur et une forme lin´ eaire, c’est qu’une forme lin´ eaire associe un scalaire ` a tout vecteur, alors qu’un vecteur associe un scalaire ` a toute forme lin´ eaire. Par contre, mˆ eme si un espace vectoriel de dimension ﬁnie X et son dual X∗sont toujours isomorphes (ils ont mˆ eme dimension), on ne peut g´ en´ eralement pas les identiﬁer, car il n’y a pas d’iso- morphisme canonique entre eux. La dualit´ e entre eux peut s’exprimer par le fait que les vecteurs de X s’identiﬁent ` a des applications lin´ eaires R − →X (pourquoi ?), tandis que les formes lin´ eaires sont des applications lin´ eaires X − →R. Dans le cas particulier, mais tr` es fr´ equent dans les applications, o` u l’espace X est muni d’une structure euclidienne, il y a alors un isomor- phisme entre X et X∗naturellement associ´ ee ` a cette structure. C’est par exemple un tel isomorphisme qui permet de d´ eﬁnir le vecteur gradient d’une fonction num´ erique (i.e. ` a valeur dans R) d´ eﬁnie sur un espace euclidien X. De mˆ eme, c’est cet isomorphisme qui permet de ≪rapatrier ≫dans X la base duale d’une base de X : la base duale d’une base de X est une base de X∗, mais lorsque X est euclidien, celle-ci peut ˆ etre repr´ esent´ ee par une deuxi` eme base de X, qu’on appelle aussi, par un l´ eger abus, ≪base duale ≫(voir ` a ce sujet la section 2.10). On peut aborder le produit tensoriel ` a partir de la question toute bˆ ete suivante : Qu’est-ce que le produit de deux vecteurs ? 1 Produit tensoriel de deux espaces vecto- riels La notion de produit tensoriel r´ epond ` a la question : quel est le produit le plus g´ en´ eral qui puisse ˆ etre fait d’un vecteur x ∈X par un vecteur y ∈Y ? Remarque 3. L’op´ eration d´ esign´ ee en fran¸ cais comme produit vectoriel ne r´ epond pas ` a cette question, car il s’agit d’une op´ eration tr` es sp´ eciﬁque, qui ne fonctionne que dans le seul cas o` u X = Y est l’espace euclidien orient´ e ` a trois dimensions, op´ eration not´ ee ∧en fran¸ cais, comme le produit ext´ erieur donc (dont il est une esp` ece de repliement), alors qu’on l’appelle ≪cross product ≫en anglais, et qu’on le note × dans la litt´ erature anglophone. A 3 noter que ce ≪produit vectoriel ≫l` a n’est pas associatif : il m´ erite ` a peine le nom de produit. 1.1 Qu’est-ce qu’un produit ? En premier lieu, un produit entre les ´ el´ ements de X et ceux de Y est une op´ eration × d´ eﬁnie sur l’espace X × Y des couples : ` a tout couple, une telle op´ eration produit associe... quelque chose... mais quoi ? autrement dit, quel sera l’espace d’arriv´ e d’une telle op´ eration ? En g´ en´ eral, on n’a pas de raison de supposer que ce produit doive n´ ecessairement appartenir ni ` a X ni ` a Y (de fait, en ce qui concerne par exemple le produit particulier que nous allons d´ eﬁnir dans cette section, produit que nous noterons x⊗y et que nous appellerons produit tensoriel, l’espace d’arriv´ ee de cette op´ eration, not´ e X ⊗Y , sera le plus souvent distinct de X et de Y ). Remarque 4. La notion de produit cart´ esien de deux espaces vectoriels est tout-` a-fait essentielle (on vient d’ailleurs de l’utiliser pour parler de l’espace des couples), mais si elle constitue un produit des espaces, elle ne consiste aucunement en une multiplication des vecteurs eux-mˆ eme. Par exemple, le couple (0, y) est non nul (si y est non nul), tandis que pour un produit de vecteurs digne de ce nom, on peut s’attendre ` a uploads/Marketing/ tenseurs-pdf.pdf