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Torseurs Table des matières Introduction 3 I - Remarques préliminaires 4 1. Mom

Torseurs Table des matières Introduction 3 I - Remarques préliminaires 4 1. Moment d'un vecteur glissant 4 2. Champs de vecteurs 4 II - Définition 6 III - Changement de point d'un torseur 7 IV - Somme 8 V - Invariants 9 1. Invariants d'un torseur 9 2. Comoment de deux torseurs 9 VI - Torseurs spéciaux 10 1. Torseur nul 10 2. (Torseur) glisseur 10 3. (Torseur) couple 10 VII - Axe central d'un torseur 11 .................................................................................................................................. ................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................. .................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................. ...................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................ 2 Introduction Plusieurs grandeurs physiques que nous étudions (vitesse des points d'un solide, quantité de mouvement, action mécanique, ...) ne peuvent pas être décrites précisément par le seul outil vecteur. Il nous faut alors utiliser un outil plus perfectionné, le torseur. Certaines grandeurs physiques ne peuvent cependant pas non plus être correctement décrites par un torseur, comme l'accélération des points d'un solide par exemple. 3 Remarques préliminaires I 1. Moment d'un vecteur glissant Définition Le moment en du vecteur glissant est le vecteur lié Remarque Ce moment est indépendant du point appartenant à la droite . En eﬀet, si est la projection orthogonale de sur , car et sont colinéaires. 2. Champs de vecteurs Champ de vecteurs Définition Si à tout point de l'espace, on fait correspondre un vecteur lié d'origine (notation ), on dit qu'on définit un champ de vecteurs. Champ de vecteurs uniforme Remarque Si les vecteurs d'un champ ont les mêmes direction, sens, norme en tout point , alors le champ de vecteurs est dit uniforme. Pression au fond d'un réservoir Exemple Un modèle courant pour la pression exercée par un fluide sur une paroi plane au fond d'un réservoir est un champ de vecteurs uniforme. Quel que soit le point de contact considéré entre une particule fluide et la paroi solide, l'eﬀet de la pression peut être modélisé par un vecteur, et ce vecteur aura même direction, même sens et même norme partout. Champ de vecteurs équiprojectif Remarque Si les vecteurs du champ respectent la propriété d'équiprojectivité : , alors le champ de vecteurs est dit équiprojectif. 4 Vecteurs vitesses des points d'un solide en mouvement Exemple Parmi plusieurs autres grandeurs physiques, les vitesses des points d'un solide indéformable en mouvement peuvent être modélisées par un champ de vecteurs équiprojectif. Remarques préliminaires 5 Définition II Torseur Définition Le torseur est un outil mathématique permettant de représenter de manière concise un champ de vecteurs équiprojectif. Point d'observation Le champ de vecteurs a une "apparence" diﬀérente suivant le point à partir duquel on l'observe. Le torseur a donc une expression diﬀérente suivant le point où il est exprimé. Somme (ou "Résultante") Définition La somme d'un torseur est le vecteur libre égal à la somme des vecteurs libres du champ de vecteurs. Moment Définition Le moment, par exemple en O, du torseur est le vecteur lié d'origine O, somme des moments en O des diﬀérents vecteurs glissants. Syntaxe et sont appelés les éléments de réduction du torseur au point O. Torseur au point O Définition Le torseur en O s'écrit comme suit : Coordonnées d'un torseur dans une base b Fondamental En exprimant la résultante et le moment dans une base commune , on peut écrire le torseur comme suit : où la colonne de : gauche correspond aux coordonnées de la somme (résultante) droite correspond aux coordonnées du moment 6 Changement de point d'un torseur III Nous serons fréquemment amenés à vouloir exprimer un torseur en diﬀérents points ; cela reviendra à "observer" depuis diﬀérents "points de vue" le même torseur, c'est-à-dire le même champ de vecteurs équiprojectif. Comme la résultante est un vecteur libre et le moment un vecteur lié, seul le moment change d'expression suivant le point considéré. Relation de Varignon Définition Remarque On cite souvent à l'oral (mais pas aux concours !) la relation de "BABAR" Ainsi, devient Champ de moments Pour un torseur donné, puisqu'à tout point correspond un moment , qui est un vecteur lié, le champ constitué par les vecteurs est un champ de moments. Une propriété d'un champ de moments est qu'il est équiprojectif. La réciproque est vraie : tout champ de vecteurs équiprojectif est un champ de moments (théorème de Delassus). Fondamental Un champ de moments vérifiera donc toujours les propriétés suivantes : équiprojectivité : relation de Varignon : 7 Somme IV Soient deux torseurs et exprimés en O : et . Somme de deux torseurs Définition Remarque La somme de deux (ou plus) torseurs nous permettra d'additionner des vitesses, des actions mécaniques, etc.. Même point d'expression Attention L'addition (ou la soustraction) de plusieurs torseurs n'a de sens que si tous sont exprimés au même point. 8 Invariants V 1. Invariants d'un torseur Somme La somme de vecteurs libres est elle-même un vecteur libre ; la somme (ou résultante) d'un torseur est donc un vecteur indépendant du point où il est calculé. C'est un invariant. Automoment Définition Le produit scalaire de la résultante avec le moment d'un torseur (quel que soit son point de calcul), est également indépendant du point : c'est un autre invariant, appelé automoment. En eﬀet : , donc avec nécessairement nul. 2. Comoment de deux torseurs Soient deux torseurs et exprimés en O : et . Comoment de deux torseurs Définition Le comoment des deux torseurs est le scalaire Invariance du comoment Attention Le comoment est un invariant : il est le même quel que soit le point considéré. Il faut bien entendu que les deux torseurs soient néanmoins exprimés au même point ! Remarque Le comoment nous permettra de calculer une puissance mécanique. 9 Torseurs spéciaux VI Définition Un torseur est dit spécial si son automoment est nul. 1. Torseur nul Définition Un torseur est nul si ses deux éléments de réduction (résultante et moment) sont nuls en un point quelconque. Il est noté . Remarque Si un torseur est nul en un point alors il est nul en tout point (cf. Varignon). 2. (Torseur) glisseur Définition Un torseur est appelé glisseur s'il existe un point où son moment est nul. Remarque Pour tous les points appartenant à la droite parallèle à la résultante, passant par ce point où le moment est nul, le moment reste nul. Ce torseur peut donc être exprimé en n'importe quel point sur cette droite (il peut "glisser" sur cette droite) et garder sa forme de glisseur. 3. (Torseur) couple Un torseur est appelé (torseur) couple si sa résultante est nulle, et si son moment ne l'est pas. Remarque Un torseur couple est indépendant du point où il est exprimé (cf. Varignon). 10 Axe central d'un torseur VII Définition On appelle axe central d'un torseur l'ensemble des points tels que le moment est colinéaire à la résultante . Axe central unique Remarque Cet axe central existe et est unique pour tout torseur, sauf pour : le torseur nul le torseur couple Le moment est minimum pour tout point de l'axe central. Axe central d'un glisseur Remarque Un glisseur a son moment nul pour tout point de l'axe central. 11 uploads/Marketing/ torseurs-papier.pdf