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Elasticité – Chapitre I – Rappels Mathématiques et Notations D. Nedjar G.Civil

Elasticité – Chapitre I – Rappels Mathématiques et Notations D. Nedjar G.Civil USTO 1 Chapitre I RAPPELS MATHEMATIQUES ET NOTATIONS I-1) Notation Indicielle: I-1-1) Convention de sommation: Soit ܸ ሬԦ ൌݒଵݔ Ԧଵ൅ݒଶݔ Ԧଶ൅ݒଷݔ Ԧଷ ൌ ∑ ݒ௜ݔ Ԧ௜ ଷ ௜ୀଵ (1.1) ൌ ݒ௜ݔ Ԧ௜ ሺ݌ܽݎ ܿ݋݊ݒ݁݊ݐ݅݋݊ ݋݊ ݋݉݁ݐ ݀ᇱéܿݎ݅ݎ݁ ݈݁ ݐ݁ݎ݉݁ ∑ ሻ ଷ ௜ୀଵ Règle 1: Chaque fois que dans un terme d’une expression un indice est répété, il convient de faire varier cet indice de 1 à la dimension de l’espace (ici à 3) et de faire la somme des termes ainsi obtenus. Un tel indice est appelé indice muet ou indice de sommation. Soit maintenant la matrice suivante : ࡭ൌ൥ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ ൩ (1.2) Et soit le vecteur ܹ ሬሬሬԦ tel que: ܹ ሬሬሬԦ ൌ࡭ܸ ሬԦ. Ses composantes sont donc : ൞ ݓଵൌܽଵଵݒଵ൅ ܽଵଶݒଶ൅ܽଵଷݒଷൌ∑ ܽଵ௝ݒ௝ ൌ ܽଵ௝ݒ௝ ଷ ௝ୀଵ ሺ݃ݎâܿ݁ à ݈ܽ ݎè݈݃݁ ܿ݅െ݀݁ݏݏݑݏሻ ݓଶൌܽଶଵݒଵ൅ ܽଶଶݒଶ൅ܽଶଷݒଷൌ∑ ܽଶ௝ݒ௝ ൌ ܽଶ௝ݒ௝ ଷ ௝ୀଵ ሺ݃ݎâܿ݁ à ݈ܽ ݎè݈݃݁ ܿ݅െ݀݁ݏݏݑݏሻ ݓଷൌܽଷଵݒଵ൅ ܽଷଶݒଶ൅ܽଷଷݒଷൌ∑ ܽଷ௝ݒ௝ ଷ ௝ୀଵ ൌ ܽଷ௝ݒ௝ ሺ݃ݎâܿ݁ à ݈ܽ ݎè݈݃݁ ܿ݅െ݀݁ݏݏݑݏሻ (1.3) Par une autre règle, ces trois dernières équations peuvent s’écrire sous la forme compactée suivante : ݓ௜ൌܽ௜௝ݒ௝ (1.4) où ici l’indice i apparait une seule fois dans chaque terme de l’égalité (1.4). Cette deuxième règle s’énonce alors comme suit: Règle 2: Si dans un terme, un indice apparait une seule fois, alors ce terme prend autant de valeurs que de dimensions de l’espace utilisée (par exemple 3 valeurs distinctes dans l’espace 3D). Un tel indice est appelé indice libre. Donc pour la relation (1.4) on a : pour le terme ݓ௜ les valeurs ݓଵ, ݓଶ et ݓଷ et pour le terme ܽ௜௝ݒ௝ les valeurs ܽଵ௝ݒ௝, ܽଶ௝ݒ௝ et ܽଷ௝ݒ௝. Ce qui donne pour chacune des valeurs de cet indice libre i les équations suivantes : ൝ ݓଵൌܽଵ௝ݒ௝ ݓଶൌܽଶ௝ݒ௝ ݓଷൌܽଷ௝ݒ௝ (idem 1.3) Remarque:  Tout d’abord on dira qu’un terme est représenté par des produits et que deux ou plusieurs termes dans une expression mathématique sont séparés par les opérateurs d’addition et/ou de soustraction.  Les termes d’une même expression mathématique (équations, composantes de vecteurs, etc.) doivent avoir les mêmes indices libres.  Donner des noms différents aux indices libres et aux indices muets.  Un indice ne peut apparaitre plus de deux fois dans un terme.  Les deux règles citées ci-dessus représentent la convention dite convention d’Einstein. ݔଵ ݔଶ ݔଷ ܸ ሬԦ Elasticité – Chapitre I – Rappels Mathématiques et Notations D. Nedjar G.Civil USTO 2 I-1-2) Symbole de Kronecker: On note ce symbole par la lettre grecque ߜ à deux indices ߜ௜௝ avec les propriétés suivantes : ߜ௜௝ൌ൜1 ݏ݅ ݅ൌ݆ 0 ݏ݅ ്݆݅ (1.5) Moyennant cette définition, on constatera que cette notation indicielle se représente sous forme matricielle par la matrice identité bien connue : ࡵࢊൌ൥ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ൩ൌ൥ ߜଵଵ ߜଵଶ ߜଵଷ ߜଶଵ ߜଶଶ ߜଶଷ ߜଷଵ ߜଷଶ ߜଷଷ ൩≡ߜ௜௝ (1.6) I-1-3) Symbole de Permutation (dit de Levi-Civita ou d’antisymétrie): On note ce symbole par la lettre grecque ߝ à trois indices ߝ௜௝௞ avec les propriétés suivantes : ߝ௜௝௞ൌ ቐ 1 ݏ݅ ݈݁ݏ ݅݊݀݅ܿ݁ݏ ݅, ݆ ݁ݐ ݇ ݂݋ݎ݉݁݊ݐ ݑ݊݁ ݀݁ݏ ݐݎ݋݅ݏ ݏéݍݑ݁݊ܿ݁ݏ ݀݅ݐ݁ݏ ࢖ࢇ࢏࢘ࢋ࢙: 1,2,3 ݋ݑ 2,3,1 ݋ݑ 3,1,2 െ1 ݏ݅ ݈݁ݏ ݅݊݀݅ܿ݁ݏ ݅, ݆ ݁ݐ ݇ ݂݋ݎ݉݁݊ݐ ݑ݊݁ ݀݁ݏ ݐݎ݋݅ݏ ݏéݍݑ݁݊ܿ݁ݏ ݀݅ݐ݁ݏ ࢏࢓࢖ࢇ࢏࢘ࢋ࢙: 1,3,2 ݋ݑ 2,1,3 ݋ݑ 3,2,1 0 ݏ݅ ܽݑ ݉݋݅݊ݏ ݀݁ݑݔ ݅݊݀݅ܿ݁ݏ ݏ݋݊ݐ ݅݀݁݊ݐ݅ݍݑ݁ݏ (1.7) Remarque: On démontre que les symboles de Kronecker et de permutation sont reliés par l’expression suivante: ߝ௜௝௞ ߝ௜௦௧ൌߜ ௝௦ ߜ௞௧െ ߜ ௝௧ ߜ௞௦ (1.8) Et on peut montrer grâce à cette relation que : ൜ߝ௜௝௞ ߝ௜௝௠ൌ2ߜ௞௠ ߝ௜௝௞ ߝ௜௝௞ ൌ6 (1.9) I-1-4) Notation de dérivation : Soit la fonction scalaire ܨሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ . On remplace par convention de notation ce qui suit : డி డ௫೔ൌܨ ,௜ (1.10) Donc par convention, la notation ", ݅" correspond à une différentiation de la fonction F par rapport à la variable ݔ௜. Ainsi, en utilisant la convention d’Einstein, la forme mathématique dite différentielle totale s’écrit : ݀ܨൌ డி డ௫భ݀ݔଵ൅ డி డ௫మ݀ݔଶ൅ డி డ௫య݀ݔଷൌ డி డ௫೔݀ݔ௜ൌܨ ,௜݀ݔ௜ (1.11) I-2) Calcul Fonctionnel: I-2-1) Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs ܣ Ԧ de composantes ሺܽଵ, ܽଶ, ܽଷሻ et ܤ ሬԦ de composantes ሺܾଵ, ܾଶ, ܾଷሻ est défini par le scalaire: ܣ Ԧ. ܤ ሬԦ ൌܣ. ܤ. ܿ݋ݏߠ ൌܽଵܾଵ൅ܽଶܾଶ൅ܽଷܾଷ (1.12) ൌܽ௜ܾ௜ Exemple : le produit scalaire des vecteurs de base s’écrit : ݔ Ԧ௜. ݔ Ԧ௝ൌߜ௜௝ (1.13) ߠ ܣ Ԧ ܤ ሬԦ ݔ Ԧଵ ݔ Ԧଶ ݔ Ԧଷ Elasticité – Chapitre I – Rappels Mathématiques et Notations D. Nedjar G.Civil USTO 3 I-2-2) Produit vectoriel : Le produit vectoriel des deux vecteurs ܣ Ԧ et ܤ ሬԦ de l’exemple précédent est défini par le vecteur : ܣ ԦΛܤ ሬԦ ൌܣ. ܤ. ݏ݅݊ߠ. ݔ Ԧ ( ݔ Ԧ : vecteur unitaire perpendiculaire au plan formé par ܣ Ԧ et ܤ ሬԦ ) ൌ቎ ݔ Ԧଵ ݔ Ԧଶ ݔ Ԧଷ ܽଵ ܽଶ ܽଷ ܾଵ ܾଶ ܾଷ ቏ ൌሺܽଶܾଷെܽଷܾଶሻݔ Ԧଵെሺܽଵܾଷെܽଷܾଵሻݔ Ԧଶ൅ሺܽଵܾଶെܽଶܾଵሻݔ Ԧଷൌቌ ሺܽଶܾଷെܽଷܾଶሻ ሺܽଷܾଵെܽଵܾଷሻ ሺܽଵܾଶെܽଶܾଵሻ ቍ ൌቌ ߝଵ௝௞ܽ௝ܾ௞ ߝଶ௝௞ܽ௝ܾ௞ ߝଷ௝௞ܽ௝ܾ௞ ቍൌߝ௜௝௞ܽ௝ܾ௞ (1.14) Exemple : le produit vectoriel des vecteurs de base s’écrit : ݔ Ԧ௜Λ ݔ Ԧ௝ൌߝ௜௝௞ݔ Ԧ௞ (1.15) I-2-3) Tenseurs : Un tenseur est une entité mathématique permettant d’identifier une application linéaire ou une forme bilinéaire et qui correspond à une généralisation de la notion de vecteur. On parle alors de tenseurs d’ordre n. Le nombre de composantes « Cp » d’un tenseur d’ordre « n » dans un espace de dimension « Dim » est donné par la relation : Cp ൌDim୬ (1.16) Ainsi on distingue dans l’espace tridimensionnel 3D: Tenseur d’ordre 2, il comprend 2 indices libres. Exemple: ࡭௜௝ (matrice 3x3, Cp ൌ3ଷൌ9). Tenseur d’ordre 1, il comprend 1 indice libre. Exemple: ܸ ௜ (vecteur 3x1, Cp ൌ3ଵൌ3). Tenseur d’ordre 0, ne comprend aucun indice. Exemple: ߩ (c’est un scalaire, Cp ൌ3଴ൌ1). Tenseur d’ordre n, il comprend n indices libres. Exemple: ࡭௜భ௜మ௜య…௜೙(il possède 3୬ composantes). I-2-4) Analyse vectorielle : Soient ܨሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ une fonction scalaire et ܸ ሬԦ ൌቌ ݒଵሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ݒଶሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ݒଷሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷሻ ቍ≡ݒ௜ une fonction vectorielle. On définit ce qui suit: a- Le gradient d’un scalaire: ݃ݎܽ݀ ሬሬሬሬሬሬሬԦ ܨൌ׏ ሬ ሬԦܨൌ డி డ௫భݔ Ԧଵ൅ డி డ௫మݔ Ԧଶ൅ డி డ௫యݔ Ԧଷൌ డி డ௫೔ݔ Ԧ௜ ≡ ۉ ۈ ۇ డி డ௫భ డி డ௫మ డி డ௫యی ۋ ۊ ≡ డி డ௫೔ (1.17) On remarquera que le gradient d’un scalaire (tenseur d’ordre 0) est un vecteur (tenseur d’ordre 1). b- Le laplacien d’un scalaire: ∆ܨൌ డమி డ௫భ మ ൅ డమி డ௫మ మ ൅ డమி డ௫య మ ൌܨ ,ଵଵ൅ ܨ ,ଶଶ൅ܨ ,ଷଷൌܨ ,௜௜ (1.18) On remarquera que le laplacien d’un scalaire (tenseur d’ordre 0) est un scalaire. ߠ ܣ Ԧ ܤ ሬԦ ݔ Ԧଵ ݔ Ԧଶ ݔ Ԧଷ Elasticité – Chapitre I – Rappels Mathématiques et Notations D. Nedjar G.Civil USTO 4 c- La divergence d’un vecteur: div ܸ ሬԦ ൌ డ௩భ డ௫భ ൅ డ௩మ డ௫మ ൅ డ௩య డ௫య ൌݒଵ,ଵ൅ݒଶ,ଶ൅ݒଷ,ଷൌݒ௜,௜ (1.19) On remarquera que la divergence d’un vecteur (tenseur d’ordre 1) est un scalaire (tenseur d’ordre 0). d- Le laplacien d’un vecteur: ∆ܸ ሬԦ ൌ൭ ∆ݒଵ ∆ݒଶ ∆ݒଷ ൱ൌ൭ ݒଵ,௝௝ ݒଶ,௝௝ ݒଷ,௝௝ ൱ ൌݒ௜,௝௝ (1.20) On remarquera que le laplacien d’un vecteur (tenseur d’ordre 1) est un vecteur. e- Le rotationnel d’un vecteur: ݎ݋ Ԧݐ ܸ ሬԦ ൌ቎ ݔ Ԧଵ ݔ Ԧଶ ݔ Ԧଷ డ డ௫భ డ డ௫మ డ డ௫య ݒଵ ݒଶ ݒଷ ቏≡ߝ௜௝௞ݒ௞,௝ (1.21) On remarquera que le rotationnel d’un vecteur est un vecteur. f- Le gradient d’un vecteur: ݃ݎܽ ധധധ݀ ܸ ሬԦ ൌ൥ ݒଵ,ଵ ݒଵ,ଶ ݒଵ,ଷ ݒଶ,ଵ ݒଶ,ଶ ݒଶ,ଷ ݒଷ,ଵ ݒଷ,ଶ ݒଷ,ଷ ൩≡ݒ௜,௝ (1.22) On remarquera que le gradient d’un vecteur (tenseur d’ordre 1) est un tenseur d’ordre 2 (‘matrice’). g- Soit ࡭ un tenseur d’ordre 2 -voir (1.2)-. On définit sa divergence par : div ࡭ൌ൭ ܽଵଵ,ଵ൅ܽଵଶ,ଶ൅ܽଵଷ,ଷ ܽଶଵ,ଵ൅ܽଶଶ,ଶ൅ܽଶଷ,ଷ ܽଷଵ,ଵ൅ܽଷଶ,ଶ൅ܽଷଷ,ଷ ൱≡ ܽ௜௝,௝ (1.23) On remarquera que la divergence d’un tenseur d’ordre 2 est un tenseur d’ordre1 (vecteur). De manière générale : - le gradient d’un tenseur d’ordre n est un tenseur d’ordre (n+1), - la divergence d’un tenseur d’ordre n>0 est un tenseur d’ordre (n-1), - le laplacien d’un tenseur d’ordre n est un tenseur d’ordre n. I-2-5) Théorème de Gauss-Ostrogradski: Soit V un domaine de l’espace, S sa frontière et ݊ ሬ Ԧ sa normale extérieure.  Si F est une fonction scalaire, on démontre que : ׬ ݃ݎܽ ሬሬሬሬԦ݀ ܨ ݀ݒ ௏ ൌ׬ ܨ ݊ ሬ Ԧ ݀ݏ ௌ ou bien ׬ ܨ ,௜ ݀ݒ ௏ ൌ׬ ܨ ݊௜ ݀ݏ ௌ (1.24)  Si ܸ ሬԦ est une fonction vectorielle, on démontre que : ׬ ݀݅ݒ ܸ ሬԦ ݀ݒ ௏ ൌ׬ ܸ ሬԦ. ݊ ሬ Ԧ ݀ݏ ௌ ou bien ׬ ݒ௜,௜ ݀ݒ ௏ ൌ׬ ݒ௜ ݊௜ ݀ݏ ௌ (1.25) On appelle également cette dernière relation théorème de Green ou théorème de la divergence. ݔ Ԧଵ ݔ Ԧଶ ݔ Ԧଷ ݊ ሬ Ԧ ܵ V Elasticité – Chapitre I – Rappels Mathématiques et Notations D. Nedjar G.Civil USTO 5 I-3) Grandeurs propres d’un tenseur d’ordre deux (Matrice): I-3-1) Problème propre : Etant donné un uploads/Marketing/ cours-elasticite-chapitre-i.pdf