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NOTIONS SUR LES TENSEURS – Partie 1 Repère cartésien oblique - Covariance et co

NOTIONS SUR LES TENSEURS – Partie 1 Repère cartésien oblique - Covariance et contrevariance Définitions Soient les vecteurs i e  où i = (1,2,3) de la base d'un repère cartésien oblique c R ayant son origine en O. A tout point P correspond un vecteur O P x − =  et un système de trois quantités i i e x x  . = ; réciproquement, les trois quantités i x déterminent la position du point P , on les appelle coordonnées covariantes du point P ou composantes covariantes du vecteur x . Le vecteur x  peut aussi s'exprimer linéairement en fonction des vecteurs i e  de la base ; on écrit i ie x x  = (où i est un indice de sommation) et on appelle les coefficients i x les coordonnées contrevariantes du point P ou composantes contrevariante du vecteur x . La justification des qualificatifs covariant et contrevariant sera donnée plus loin. Relations entre les i x et les i x j ij i j j i i x g e e x e x x = ⋅ = ⋅ =     (en posant j i ij e e g  . = ) Il y a correspondance biunivoque entre les i x et les i x , et la matrice des j i g est symétrique et inversible, de sorte que les j x sont exprimables en fonction des i x : i ji j x g x = avec g g cofacteur g j i ji = , où g est le déterminant de la matrice ) ( j i g j j i ji j i i e x e g x e x x     = = = (en posant i ji j e g e  = ) ; les vecteurs j e  sont linéairement indépendants puisque le déterminant g g g g e e e D g g g e g e g e g D e e e D k j i ijk k j i k j i k k j j i i 1 ) , , ( ) , , ( ) , , ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = = = = η          calculé par rapport à c R , est différent de zéro. On peut adopter le système des vecteurs j e comme nouvelle base, on l'appelle base duale des i e . On définit un nouveau repère * c R appelé repère dual de c R , construit sur les vecteurs de la base duale associée au point O. i k k i k jk ij j ij e e e g g e g     = = = δ , on obtient ainsi les i e  linéairement en fonction des j e  On a les relations : i j ij j ij i x x g x e g x e = = ⋅ = ⋅     j j j ij i i i e x e g x e x x     = = = j i ik jk k jk i j i g g e g e e e δ = = ⋅ = ⋅     1 Ces relations montrent que chaque axe de * c R est perpendiculaire à un plan de coordonnées de c R et, réciproquement, chaque axe de c R est perpendiculaire à un plan de coordonnées de * c R ; les deux trièdres formés par c R et * c R sont dits supplémentaires. De plus le produit scalaire i i e e  . (i étant fixé et non pas ici indice de sommation) est égal à l'unité. En vue d'harmoniser les symboles, nous poserons : i j j i g e e = ⋅  , on a bien entendu i j i j g δ = Remarques : 1) en repère cartésien orthonormé, les matrices ) ( ij g et ) ( jk g sont des matrices unité et l'on a : i i x x = et i i e e  = , il n'y a pas lieu de faire la distinction entre un indice placé en position supérieure et ce même indice placé en position inférieure. 2) dans un monôme, une contraction (ou sommation) s'effectue sur deux indices muets, l'un placé en position supérieure et l'autre en position inférieure. Il en est toujours ainsi quand le repère n'est pas orthonormé. Coordonnées curvilignes générales - Repère local Les points de l'espace étant rapportés à un repère cartésien c R , donnons-nous les coordonnées cartésiennes α x d'un point P en fonction de coordonnées curvilignes quelconques i x . On suppose que la correspondance ) ( i x x x α α = avec ) , , ( ) ( 3 2 1 x x x xi = , est biunivoque, continue et à dérivées continues. La position du point P est aussi bien déterminée par les i x que par les α x : on dit que les variables i x constituent un système de coordonnées. Quand une des variables i x varie seule, le point P décrit une ligne i L que l'on appelle ligne coordonnée. Si les relations ) ( i x x x α α = sont linéaires, les lignes i L sont des droites comme les lignes α L qui correspondent aux coordonnées cartésiennes. On dit alors que les coordonnées i x sont rectilignes. En général les lignes coordonnées sont des courbes : on dit alors que les i x sont des coordonnées curvilignes. Si les lignes i L sont orthogonales entre elles, les coordonnées i x sont dites orthogonales. Les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques sont deux exemples de coordonnées curvilignes orthogonales. 2 Définition des vecteurs de la base du repère local ) ( i x P P   = avec ) , , ( ) ( 3 2 1 x x x xi = les coordonnées curvilignes i i i i i i dx e dx P dx x P P d    = = ∂ ∂ = , i i i P x P e ,    = ∂ ∂ = associés au point P, les vecteurs i e  constituent un repère R , dit repère local, pour le système donné des coordonnées curvilignes. Chaque vecteur i e  est évidemment tangent à la ligne coordonnée i L passant par P et il est orienté dans le sens des i x croissants le long de cette ligne. Remarques : Pour des coordonnées rectilignes, les relations ) ( i x x x α α = avec ) , , ( ) ( 3 2 1 x x x xi = , sont linéaires de la forme i i x a x α α = où les coefficients α i a sont des constantes; les dérivées i P,  dont les composantes suivant c R sont les α i a , sont alors elles-mêmes des constantes. Réciproquement, si les i e  sont des constantes par rapport à c R , les relations ) ( i x x x α α = avec ) , , ( ) ( 3 2 1 x x x xi = sont linéaires et les coordonnées i x sont rectilignes. En dehors de ce cas, les vecteurs du repère R dépendent de la position du point P; c'est pourquoi on définit un repère local au point P. Pour les coordonnées curvilignes covariantes et les vecteurs de la base duale locale, on retrouve des formules analogues à celles démontrées en repère cartésien oblique, mais en raisonnant sur les i dx puisque nous sommes en repère local. Posons par définition : j i ij e e g  ⋅ = et i i e P d dx   ⋅ = alors : j ij i j j i dx g e dx e dx = ⋅ =   ) ( Par un raisonnement analogue à celui mené en repère cartésien oblique et en remarquant qu'il y a correspondance biunivoque entre les i dx et les j dx , alors la matrice ij g est inversible et les j dx sont exprimables en fonction des i dx . En appelant ij g la matrice inverse de la matrice ij g , on a : i ji j dx g dx = j j j ij i i i dx e dx g e dx e P d     = = = , où on pose i ji j e g e  = i ji j j j i i dx g e dx e dx e P d     = = = , on voit que j ij i e g e uploads/Marketing/ notions-sur-les-tenseurs.pdf