1- Variable aléatoire discrète: 1.1-Notion d’une variable aléatoire discrète Dé
1- Variable aléatoire discrète: 1.1-Notion d’une variable aléatoire discrète Définition: Une grandeur numérique X prenant, lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x1, x2, ..., xn avec des : p1, p2, ..., pn est une variable aléatoire discrète. Exemple: • Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à 6 faces. Le lanceur gagne la somme double de la valeur de la face obtenue si celle-ci est paire, sinon, il perd le double de la valeur indiquée par le dé, • On appelle le gain, positif ou négatif, du joueur après un lancer, Ici, l’ensemble des issues possibles est Ω 1; 2; 3; 4; 5; 6 On a défini avec une variable aléatoire réelle telle que: 1 2; 2 4; 3 6; 4 8; 5 10; 6 12. 1 Chapitre 2: Variables aléatoires ENSAS 2018-2019 1.2-Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète Définition : La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction f qui a chaque valeur associe sa probabilité. Remarque : En général, on présente la loi d’une variable aléatoire X sous la forme d’un tableau, qui récapitule les valeurs prises par X ainsi que les probabilités associées. Dans tout le reste du chapitre, on considèrera la variable aléatoire discrète de loi : Exemple : On reprend l’énoncé de l’exemple précédent. La loi de X est donnée par : Remarque : On note que pour chacun de ces tableaux, la somme des probabilités élémentaires fait 1, en accord avec l’un des axiomes des probabilités ! 2 ENSAS 2018-2019 Définition: Soit X une variable aléatoire. La loi de probabilité de X est définie par la fonction , appelée fonction de répartition de la variable X, définie par: : ℝ→ [0, 1] x → P(≤ x). • On dit que deux variables aléatoires et ont la même loi si elles ont la même fonction de répartition = . 1.3- Fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète Remarque: La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est une fonction "en escalier" croissante de 0 à 1. 3 ENSAS 2018-2019 1.4-Espérance d’une variable aléatoire Définition: Soit X une variable aléatoire discrète, on appelle espérance de la variable aléatoire X le réel noté E(X) qui vaut : Remarque: Ce nombre important en probabilités représente la valeur moyenne de la variable aléatoire X. Définition: Soit X une variable aléatoire discrète d’espérance E(X). On appelle variance de la variable aléatoire X le réel noté V (X) qui vaut : • On appelle écart-type de X le réel noté (X) défini par : 4 ENSAS 2018-2019 Théorème (De Koenig): Propriété • La variance et l’écart-type d’une variable aléatoire réelle X sont des nombres positifs. • L’écart-type mesure la dispersion des valeurs d’une variable aléatoire par rapport à son espérance. • Si X est exprimé dans un certaine unité, (X) l’est dans la même unité. I.5 -Transformation affine d’une variable aléatoire Propriété Soit X une variable aléatoire discrète admettant une espérance et une variance, alors pour tous a; b ∈R, la variable aléatoire aX + b admet une espérance, une variance et un écart-type définis par : 5 ENSAS 2018-2019 1.6- Lois fondamentales discrètes 1.6.1- Loi de Bernoulli Définition : • Une expérience de Bernoulli est une expérience qui n’a que deux issues possibles, l’une appelée « succès» qui a pour probabilité p, l’autre appelée « échec » qui a pour probabilité q = 1 −p. • Définir une loi de Bernoulli de paramètre p, c’est associer une loi de probabilité discrète à cette expérience aléatoire en faisant correspondre la valeur 1 à l’apparition d’un succès et 0 à celle d’un échec. Exemple: Si on lance un dé et qu’on nomme « succès » l’apparition de la face 6, on obtient la loi de Bernoulli suivante : 6 ENSAS 2018-2019 Propriété: Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli B(p), alors : L’espérance de X vaut E(X) = p. La variance de X vaut V (X) = pq. 1.6.2- Loi binomiale : Définition: La loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n; p) est la loi de probabilité du nombre de succès dans la répétition de n expériences de Bernoulli de paramètre p identiques et indépendantes. Elle est définie par : • On lance 2 fois un dé bien équilibré. On s’intéresse à l’apparition de la face 6. Chaque lancer est une expérience de Bernoulli de paramètre . On obtient donc une loi binomiale,(2; ) Exemple: 7 ENSAS 2018-2019 Propriété: Soit X une variable aléatoire suivant une loi Binomiale B(n, p), alors : L’espérance de X vaut E(X) = np. La variance de X vaut V (X) = npq. 1.6.3- loi de Poisson Définition: La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre , notée () avec > 0 lorsque sa loi de probabilité vérifie : Exemple : On considère la variable aléatoire X mesurant le nombre de clients se présentant au guichet 1 d’un bureau de poste par intervalle de temps de durée 10 minutes entre 14h30 et 16h30. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre = 5. ! " ! , ∀ ∈ℕ Pour = 5, on a: 8 ENSAS 2018-2019 On peut aussi représenter graphiquement la loi () : Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre , alors l’espérance et la variance sont égales et valent E(X) = V (X) = . 9 ENSAS 2018-2019 2- Variable aléatoire continue: 2.1-Notion d’une variable aléatoire continue Définition: Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de ℝ. Exemple: Exemple de variables aléatoires continues : Variable T correspondant à la taille d’un élève, Variable L correspondant à longueur d’un train, Variable A correspondant au temps d’attente à une caisse . . . 2.2- Fonction de répartition Définition Soit X une variable aléatoire, on appelle fonction de répartition de X la fonction définie sur ℝpar ' ( ≤') Propriétés : La définition nous permet d’écrire : • ) ≤ ≤* ≤* ≤) * ()). • > * 1 (*) 10 ENSAS 2018-2019 Remarque: La fonction de répartition d'une variable aléatoire continue est une fonction continue, croissante de 0 à 1. 11 ENSAS 2018-2019 2.3-Densité et loi de probabilité Définition: Dans le cas où est dérivable, la fonction f dérivée de F est appelée densité de probabilité de X et pour tout x de ℝ, , ' -(') Conséquences : • étant une fonction croissante, f est positive. • ) ≤ ≤* * ) . - ' /' 0 1 • . - ' /' 1 23 3 Graphiquement, l’aire entre la courbe de f, qui est une fonction positive, et l’axe des abscisses vaut 1 2.4- Espérance et variance Définition: Soit X une variable aléatoire continue et f sa densité. • L’espérance de X est le réel défini par la relation : 4 . '- ' /' 23 3 • La variance de X est le réel défini par la relation: 5 . ' 4() ²- ' /' 23 3 • L’écart-type de X est le réel défini par la relation: 5() 7 12 ENSAS 2018-2019 2.5-Lois fondamentales continues 2.5.1- Loi normale (Laplace-Gauss): Définition: On appelle loi Normale de paramètres 8 ∈ℝ et ∈ℝ+ la loi d’une variable aléatoire continue prenant toutes les valeurs réelles, de densité de probabilité la fonction définie pour tout x ∈ℝpar: - ' 1 2: 7 ; < = > ² On note : ⟶@(8; ) Exemple: Exemples de courbes pour quelques valeurs de 8 et : 13 ENSAS 2018-2019 Propriétés: • On admet que si est une variable aléatoire suivant la loi normale @(8; ) alors: 4 8; 5(X)= ² Ainsi les paramètres d’une loi normale sont en fait son espérance mathématique et son écart-type. • Pour tous a et b réels tels que a < * : ) ≤ ≤* 1 2: 7 B ; < = > ; /' 0 1 • On peut démontrer en introduisant la loi normale réduite: 8 ≤ ≤8 + ≈0,68 8 2 ≤ ≤8 + 2 ≈0,95 14 ENSAS 2018-2019 Stabilité d’une loi normale: • Soit et ;deux variables aléatoires normales indépendantes de paramètres respectifs 8; et 8;; ; alors la somme + ; est une variable aléatoire normale de paramètres 8 + 8;; ; + ;; 7 2.5.2- Loi normale centrée réduite E(F; G): Définition: • La variable aléatoire H qui suit la loi normale de paramètres m = 0 et = 1 est dite variable aléatoire centrée réduite. Sa densité de probabilité est définie sur ℝpar: - uploads/Marketing/ chapitre-2.pdf
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- Publié le Dec 07, 2021
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