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Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle A 120 ; R 7 032 − 1 Introduction à la logique ﬂoue par Arnold KAUFMANN Ancien professeur à l’Institut Polytechnique de Grenoble, à l’École Supérieure des Mines de Paris et à l’Université de Louvain Professeur Honoraire de l’Institut d’Administration des Entreprises de Barcelone es concepts introduits par les mathématiques ﬂoues intéressent tous les ingénieurs, partout où ils n’ont pas la possibilité d’effectuer des mesures formelles ou probabilistes. De tels cas se rencontrent dans beaucoup de techniques : — soit parce qu’il n’existe pas d’antécédents ; — soit parce qu’il s’agit des interactions homme-machine ; — surtout quand on doit mettre en œuvre des nouveautés scientifiques dont seulement quelques experts sont capables de proposer des données ; ces données ne sont alors pas toujours numériques et sont souvent obtenues au travers de connaissances exprimées par une sémantique, dont on cherche à qualifier le niveau de vérité. 1. Rappel sur l’algèbre de Boole..................................................... A 120 - R 7 032 - 2 2. Logique ﬂoue................................................................................... — 2 3. Rappel sur la théorie des probabilités ..................................... — 3 4. Axiomatique des sous-ensembles ﬂous .................................. — 3 5. Relations ﬂoues.............................................................................. — 4 6. Inférences ﬂoues............................................................................ — 5 7 . Nombres ﬂous................................................................................. — 7 8. Sous-ensembles aléatoires ﬂous et expertons ...................... — 7 9. Domaines d’application ............................................................... — 8 10. Exemple ............................................................................................ — 8 Pour en savoir plus................................................................................. Doc. A 120 - R 7 032 L INTRODUCTION À LA LOGIQUE FLOUE ______________________________________________________________________________________________________ Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. A 120 ; R 7 032 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle 1. Rappel sur l’algèbre de Boole Tous les ingénieurs connaissent les propriétés des ensembles ordi- naires et de la logique booléenne qui en est une présentation numérique [1]. Mais il est bon de rappeler la conﬁguration en treillis distributif et complémenté ou treillis de Boole de ces ensembles. Un peu plus loin nous nous servirons de ce rappel. Soit E un ensemble appelé référentiel et A, B, C des sous-ensembles de ce référentiel. On a alors : ∀ A, B, C ⊂ E et les symboles ∩ (intersection) et ∪ (union) : (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A ∩ ∅ = ∅ (∅ sous-ensemble vide) (9) A ∪ ∅ = A (10) A ∩ E = A (11) A ∪ E = E (12) involution ( est le complément de A ) (13) (14) (15) tiers-exclu (16) non-contradiction (17) On peut ajouter, dans un but pratique : (18) (19) On va appeler valuation la valeur de vérité attachée à chaque propriété ensembliste : P est vraie ⇒ v (P ) = 1 (20) P est fausse ⇒ v (P ) = 0 (21) C’est une habitude dont les origines remontent à l’époque de Boole. On écrira aussi, pour un élément x appartenant à E : x ∈ E ⇒ v (x ) = 1 (22) x ∉ E ⇒ v (x ) = 0 (23) Nous cessons ce rappel de l’algèbre de Boole, pour sortir de ces connaissances classiques et pénétrer dans le nouveau domaine de l’algèbre multivalente ou algèbre ﬂoue. 2. Logique ﬂoue On va commencer par se servir d’une représentation commode pour débuter. Ce qui a été présenté en (22) et (23) s’appelle, dans la théorie classique des ensembles, fonction caractéristique. Maintenant, supposons que v (x ) au lieu de prendre la valeur 0 ou la valeur 1 puisse prendre toute valeur dans l’intervalle [0,1]. Ainsi, un élément x pourra appartenir au référentiel avec une valeur comprise entre 0 et 1 aussi. Un tel sous-ensemble dont les éléments ont cette propriété sera appelé sous-ensemble ﬂou. Historique La pensée humaine est une symbiose de la logique et de l’imagination, agissant de concert ou séparément. La logique humaine est un enchaînement d’idées, de concepts, concrets ou abstraits, aboutissant à des conclusions qui entraînent des décisions ou restant à l’état de résultats utilisables ou non. Les formes de la pensée humaine, sous l’aspect de la logique, sont inﬁniment variées, comme d’ailleurs l’imagination. Beaucoup supposent que cela est une conséquence de l’asymétrie du demi-cerveau gauche et du demi-cerveau droit, chacun ayant un rôle différent mais communiquant sans cesse. Depuis la plus haute Antiquité, depuis que l’humain est devenu, selon la terminologie des anthropologues, l’homo-sapiens-sapiens, mais surtout depuis la civilisation grecque antique, les penseurs ont cherché à reconstituer les mécanismes de la logique. D’Aristote à Chrysippe et bien d’autres, et bien plus tard George Boole, ce génial clergyman anglais, et depuis lors, ici et là, très nombreux, les humains les plus perspicaces ont cherché à déﬁnir les mécanismes de la logique, ce qui était le moteur de leurs déductions et actions. La logique aristotélicienne présentée vingt siècles plus tard par Boole sous une forme algébrique, celle de la théorie des ensembles, comprend, entre autres et nombreuses propriétés : — la non-contradiction, ce qui signifie qu’une proposition (ou prédicat) est vraie ou fausse, sans nuance ; — le tiers-exclu, c’est-à-dire qu’une proposition ne contient jamais une valeur de vérité entre celle du faux et celle du vrai. Ces deux propriétés en réalité n’en forment qu’une : absence de positions intermédiaires entre le faux et le vrai. Et dans ce cas le faux est la négation du vrai et réciproquement. Si une pro- priété est désignée par P et la propriété contraire ou négation est désignée par ¬ P, on a alors : P ∆ ¬ P = F (faux) , P ∇ ¬ P = V (vrai) c’est-à-dire, une propriété P avec sa négation ¬ P forment une proposition composée toujours fausse où le symbole ∆ représente le connecteur sémantique ET. De même P et ¬ P forment une proposition composée toujours vraie le symbole ∇ représente le connecteur ET/OU (que l’on écrit souvent abusive- ment avec OU qui est en réalité exclusif, l’un ou l’autre mais pas les deux). A B B A ∩ = ∩ A B B A ∪ = ∪   commutativité A B ∩ ( ) C A B C ∩ ( ) ∩ = ∩ A B ∪ ( ) C ∪ A B C ∪ ( ) ∪ =   associativité A A A = ∩ A A ∪ A =   idempotence A B C ∪ ( ) ∩ A B ∩ ( ) A C ∩ ( ) ∪ = A B C ∩ ( ) ∪ A B ∪ ( ) A C ∪ ( ) ∩ =   distributivité A ( ) A = A A B ∩ A B ∪ = A B ∪ A B ∩ =   théorèmes de De Morgan A A ∩ ∅ = A A ∪ E = A A B ∪ ( ) ∩ A = A A B ∩ ( ) ∪ A =   contraction _____________________________________________________________________________________________________ INTRODUCTION À LA LOGIQUE FLOUE Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite. © Techniques de l’Ingénieur, traité Informatique industrielle A 120 ; R 7 032 − 3 Ainsi : x ∈ E ⇒ v (x ) = a , a ∈ [0,1] (24) Un sous-ensemble ﬂou sera alors noté . La ﬁgure 1a donne la représentation d’un sous-ensemble ordinaire (de la logique classique) de (le continuum de – ∞ à + ∞) et la ﬁgure 1b représente un sous-ensemble ﬂou de . Comme on le voit, au lieu d’un passage brutal de 0 à 1 de 1 à 0, l’appartenance d’un sous-ensemble au référentiel s’effectue, si cela correspond au réel, avec la continuité convenable. Prenons le cas d’un référentiel ﬁni : E = {a, b, c, d, e, f, g } (25) est un sous-ensemble ordinaire de E. (26) est un sous-ensemble ﬂou de E. On a l’habitude d’appeler fonction d’appartenance pour un ensemble ﬂou, ce qui est appelé fonction caractéristique pour un sous-ensemble ordinaire. On déﬁnit comme suit l’intersection, la réunion et la complémentation pour les sous-ensembles ﬂous. Le symbole µ représente la fonction d’appartenance. Soient où E est un référentiel donné et quelconque et . Il s’agit de tous les nombres compris entre 0 et 1, où 0 est la borne inférieure incluse dans ce segment et 1 est la borne supérieure incluse dans ce segment. Les fonctions et ont des valeurs dans ce segment. intersection (27) réunion (28) complémentation (29) avec les symboles ∧ minimum, ∨ maximum. Lorsqu’il s’agit de sous-ensemble ﬂous, il est préférable de dire « complémentation » au lieu de « négation » (à réserver aux algèbres de Boole). Toutes les propriétés décrites par les relations (1) à (19) pour les sous-ensembles ordinaires sont valables pour les sous-ensembles ﬂous sauf le tiers-exclu (16) et la non-contradiction (17). Les sous-ensembles ordinaires forment un treillis de Boole tandis que les sous-ensembles ﬂous forment un treillis distributif. Un treillis de Boole est aussi distributif mais possède en plus les uploads/Philosophie/ a120-pdf.pdf