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ANNALES DE L’I. H. P. E. SCHRÖDINGER Sur la théorie relativiste de l’électron e

ANNALES DE L’I. H. P. E. SCHRÖDINGER Sur la théorie relativiste de l’électron et l’interprétation de la mécanique quantique Annales de l’I. H. P., tome 2, no 4 (1932), p. 269-310 <http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1932__2_4_269_0> © Gauthier-Villars, 1932, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Annales de l’I. H. P. » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce ﬁchier doit conte- nir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 269 Sur la théorie relativiste de l’électron et l’interprétation de la mécanique quantique PAR E. SCHRÖDINGER I. - Introduction J’ai l’intention d’exposer dans ces conférences diverses idées concer- nant la mécanique quantique et l’interprétation qu’on en donne géné- ralement à l’heure actuelle ; je parlerai principalement de la théorie quantique relativiste du mouvement de l’électron. Autant que nous pouvons nous en rendre compte aujourd’hui, il semble à peu près sûr que la mécanique quantique de l’électron, sous sa forme idéale, que nous ne possédons pas encore, doit former un jour la base de toute la physique. A cet intérêt tout à fait général, s’ajoute, ici à Paris, un intérêt particulier : vous savez tous que les bases de la théorie moderne de l’électron ont été posées à Paris par votre célèbre compa- triote Louis de BROGLIE. Les recherches que je vais exposer ne forment nullement une théorie nette et complètement achevée (1). Le lien commun, un peu lâche d’ailleurs, qui les rattache les unes aux autres, la source commune dont elles dérivent, est le mécontentement que l’on éprouve quand on considère l’état présent de la théorie et surtout celui de l’in- terprétation physique actuelle de la mécanique quantique. Je voudrais (i) Les mémoires originaux, qui forment la base de ces conférences, ont été publiés dans les .SitzuYzgsberick1? der preussischen Akademie der Wissenschaften, i93o, p. q.i8; I93I, pp. 63, 144, 238. Dans les pages qui vont suivre, quelques-uns des asp;cts des problèmes envisagés sont peut- être un peu mieux précisés ; on y trouvera également des résultats nouveaux (v. Notes I-III). 270 essayer d’attirer votre attention sur les grandes difficultés qui s’y pré- sentent et dont la plus sévère et peut-être la plus inattendue con- cerne la réconciliation des conceptions de la théorie de la relativité- restreinte d’une part, et de la mécanique quantique d’autre part. Commençons par fixer les notions fondamentales pour être assurés . que nous nous entendons bien entre nous. En mécanique quantique figurent deux espèces d’êtres mathématiques : les fonctions ~ (x, t) et les opérateurs (linéaires et hermitiques) ,~. û est une fonction complexe des coordonnées d’un système physique et du temps t, qui est traité. comme un paramètre ; 03C8 décrit l’état de ce système à un moment déter- miné. Un opérateur est une loi permettant de former à partir d’une fonction quelconque ’f des coordonnées, une autre fonction des mêmes . arguments (1) ’L -~ .~. La signification physique des opérateurs, est la suivante : à chaque quantité physique que l’on suppose mesurable, ou observable dans le système considéré; correspond un opérateur déterminé ; par exemple, à la coordonnée x correspond l’opérateur « multiplication par x », etc... Or, étant donné l’état ~~, si l’on répète un grand nombre de fois la mesure .. de la « quantité A », on ne trouvera pas toujours la même valeur, mais la moyenne de ces mesures sera donnée par ~== ~ ~~*a~~ dx, où ’f* est la conjuguée complexe de 03C8 ; dx indique que l’intégration porte sur toutes les configurations du système. Telle est l’interprétation généralement adoptée aujourd’hui. Elle contient déjà l’indication que w I fournit non seulement la valeur moyenne, mais encore toute la. statistique de ~,~~, c’est-à-dire de chaque observable. Admettons qu’une fonction analytique f() - un opérateur - soit définie par une série - de puissances : t~t~~) = bo + + b2a~~’ + ... , où signifie l’opération .b répété ~2 lois. ( i) ~~~ opère (en général) uniquement sur les coordonnées et non sur le temps, c’est-à-dire définit . une loi reliant entre elles des fonctions des coordonnées et non des fonctions des coordonnées et du temps ; cependant l’opérateur a peut dépendre du temps qui figure dans son expression.... comme paramètre (voir ce qui suit). 27I En particulier, considérons une fonction comme celle indiquée sur la figure : nulle partout, sauf entre al et a2 où elle prend la valeur II. Il est Fig. 1. très facile d’approcher une telle fonction par une suite de fonctions ana- lytiques. La valeur moyenne de la fonction f() définie par cette suite, est évidemment la probabilité pour que soit compris entre al et a2. On montre aussi très facilement que les seules valeurs possibles - les seules qui aient une probabilité différente de zéro - sont les valeurs propres de l’opérateur ~A~. Je ne peux pas insister sur ce point. L’opérateur H, qui correspond à l’énergie du système définit en même temps, la nature dynamique du système, c’est-à-dire la varia- tion spontanée de § avec le temps par l’équation (i) h 203C0i.~03C8 ~t = - 03C8. (Ij Il est facile de résoudre cette équation d’une manière tout à fait générale. La solution est §(x, t) = _~~ §(x, o) , x - h ... ~~x~ t) ! ~ ~2~" ~ e x est définie par une série de puissances bien connue. La vérification de cette solution est très aisée ; naturellement elle est encore assez implicite. Il y a deux méthodes pour arriver à des énoncés plus explicites dans le problème posé par une « équation d’ondes » telle que (1). L’une, bien connue, est la recherche des valeurs propres et des fonctions propres de l’équation 03C8 = E03C8, ou, en d’autres termes, le développement de la solution en série de FOURIER relative au temps. C’est la méthode de la mécanique ondu- latoire.. L’autre méthode est celle du calcul opérationnel. On cherche à éviter l’étude de la variation temporelle de ’f, et l’on se demande : n’y a-t-il pas à chaque instant un opérateur (t), qui doit dépendre du paramètre t, tel que cet opérateur donne avec la fonction c~ (x, o) la même valeur 272 moyenne et la même statistique que A donne avec ~J~ (x, t) ? La réponse est affirmative. Et la variation temporelle de cet (t) est, pour un opé- rateur quelconque, donnée pai la même formule simple : (2) vd(t) dt = (t) - (t), dont la solution générale est (t) = e x " . L’avantage de cette méthode est que tout ce qu’on en déduira sera valable pour un état initial quelconque ~~(x, o). On n’est pas obligé de le fixer à l’avance. En général on supprime l’argument t dans l’énoncé de la relation (2). Signalons un cas particulier de grande importance, à savoir le cas, où ui, commute avec . La statistique d’une telle quantité physique est alors indépendante du temps. On peut dire qu’alors est une « intégrale première » du système considéré. I I . - L’électron de Dirac. Nous appliquerons ces faits bien connus à l’électron de DIRAC dans le cas de l’absence de champ. L’opérateur hamiltonien est dans ce cas le suivant : = c(03B11p1 + 03B12p2 + 03B13p3 + 03B14mc), Les Pk sont les opérateurs x a , , et xi, x2, x3 représentent x, y, z. Les (k == i, 2, 3, 4,) opèrent sur une variable différente de xi, x2, x3, qu’on peut appeler C, et qui n’a que quatre valeurs possibles. Donc les ak sont des matrices de 4 X 4 éléments. Mais tout ce qu’il est né- cessaire de connaître de ces matrices sont les relations de commu- tation : I) Ces matrices commutent naturellement avec chaque opérateur qui comme xk, etc... n’opère pas sur Ç ; et 2l j akal -1- ala.k = 203B4kl. En appliquant le calcul opérationnel (équation (2)), on prouve faci- lement que les ak (k = 1, 2, 3) ou plutôt les cak sont les opérateurs 273 qui correspondent aux composantes de la vitesse de l’électron. En effet, par la relation bien connue pkxk -- xkpk = x. I, (k = I, 2, 3) on trouve xdxk dt = xk - xk = 03BAc03B1k. dxk dt - c03B1k. Un des traits les plus intéressants de l’équation de DIRAC consiste précisément dans le fait que les notions de moment et de vitesse se séparent. L’opérateur de vitesse commute avec les coordonnées, elles sont donc observables simultanément, tandis que xk et Pk se com- portent comme en mécanique quantique ordinaire. Ce qu’il y a de plus intéressant, c’est que même en l’absence de champ, les composantes de la vitesse ne sont pas des intégrales pre- mières. Elles ne commutent pas avec *. On trouve une valeur simple non pas pour leur commutateur, mais pour leur anticommutateur avec ~ : : 3Ôxk + = 2cpk. (k = I, 2, 3). Donc xd03B1k dt = 203B1k uploads/Philosophie/ aihp-1932-2-4-269-0.pdf