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Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Chap

Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Chapitre 1: Espace Probabilisé Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 1 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle INTRODUCTION Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 2 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Expériences aléatoires Les expériences alèatoires sont des expériences dont on ne peut prévoir le resultat à l’avance, ainsi le résultat est incertain ou inconnu à l’avance. Par exemple le lancer d’un dé au "hasard" est une expérience aléatoire et le résultat est l’un des nombres de 1 à 6. On admet que le résultat d’une telle expérience relève du hasard dans le sens où on est incapable de le prévoir avec certitude du fait du manque d’information ou de la complexité qui interviennent. La théorie des probabilités vise à fournir un modèle mathématique pour décrire ces expériences. Le modèle utilisé est celui de Kolmogorov qui a rattaché les probabilités à la théorie de mesures et de l’intégration développée par Borel et Lebesgue et c’est sur ce modèle qu’on pourra raisonner et calculer. Il est décrit, entre autres, par les 3 notions essentielles suivantes : Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 3 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle i) Espace d’état (ou univers) L’espace d’état c’est l’ensemble non vide noté Ω, de tous les résultats possibles de l’expérience aléatoire qu’on réalise. Ses éléments sont appelés issues ou éventualités. Ainsi, une et une seule issue est observée au cours d’une expérience aléatoire. L’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire est en général codé de manière à n’en retenir que certains aspects. Jouer à pile ou face consiste lors du lancer d’une pièce à ne s’intéresser qu’à la face sur laquelle elle tombe en oubliant le nombre de rotation dans l’air, le point de chute... Ainsi, Ωest l’ensemble de toutes les valeurs possibles que peut prendre ce codage. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 4 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Exemple Expérience Ω Lancer une pièce {Pile, face } Relever l’état d’une case mémoire {0, 1} Interroger un électeur avant un référendum {Oui, Non} Lancer un dé {1, 2, · · · , 6} Nbre de clients d’une ﬁle d’attente N Durée de fonctionnement d’une machine R+ Nbr articles défectueux parmi 15 {0, 1, 2, · · · , 15} Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 5 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle ii) Événement Un événement est une proposition (propriété) dépendant du résultat d’une expérience aléatoire dont on peut dire si elle est vraie ou non, une fois l’expérience réalisée. Ainsi dans l’expérience qui consiste à lancer un dè et à noter la valeur de la face visible, la proposition "la face apparente du dé est paire" est un événement ; cette proposition est vraie si on a observé l’une des faces {2, 4, 6} et fausse dans le cas contraire. Par contre "la pièce tombe sur la tranche" n’est pas un événement. On dit qu’un événement A est réalisé au cours d’une expérience lorsque l’issue de celle-ci rend la proposition vraie. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 6 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle En termes mathématiques, à chaque événement A, on associe alors un sous-ensemble de Ωformé des issues qui permettent de dire que A est vraie, cette partie notée aussi A est elle-même appelée événement A = {ω ∈Ω/A est réalisé si ω est le résultat de l’expérience} Ainsi l’événement A se réalise dans l’issue ω de l’expérience si et seulement si ω ∈A On note A l’ensemble des parties de Ωassociées à tous les événements. Comme toutes les combinaisons logiques d’événements sont encore des événements alors A doit satisfaire un certain système d’axiome déﬁnissant une tribu sur Ωet qui modélise l’information que l’on peut obtenir à partir des résultats de l’expériences. Lorsque Ω est ﬁni, on prendera A = P(Ω) l’ensemble de toutes les parties de Ω. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 7 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle iii) Probabilité A chaque événement A on associe un nombre, noté P(A) et appelé probabilité de A. Ce nombre mesure le degré de vraisemblance qu’on accorde à priori à A, avant la réalisation de l’expérience ( ou encore qui mesure le degré de conﬁance que l’on a dans sa réalisation). Il est choisi entre 0 et 1, et il est d’autant plus prés de 1 que l’événement est jugé vraisemblable. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 8 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle ESPACE PROBABILISÉ Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 9 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu Déﬁnition Soit Ωun ensemble non vide. On désigne par P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Soit A un sous-ensemble de P(Ω). On dit que A est une tribu sur Ω, si A vériﬁe les propriétés suivantes : (i) Ω∈A. (ii) Si A ∈A alors Ac ∈A. (iii) Si (An)n∈N est une suite d’éléments de A alors S+∞ n=1 An ∈A. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 10 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu Déﬁnition Soit Ωun ensemble non vide. On désigne par P(Ω) l’ensemble des parties de Ω. Soit A un sous-ensemble de P(Ω). On dit que A est une tribu sur Ω, si A vériﬁe les propriétés suivantes : (i) Ω∈A. (ii) Si A ∈A alors Ac ∈A. (iii) Si (An)n∈N est une suite d’éléments de A alors S+∞ n=1 An ∈A. Exemple 1 A = {∅, Ω} est la tribu grossière sur Ω(c’est la petite tribu sur Ω). 2 P(Ω) est une tribu sur Ω. 3 Soit (Ai)i∈I une partition ﬁnie ou dénombrable de Ωalors A = {∪j∈JAj, J ∈P(I)} est une tribu sur Ω. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 10 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu (suite) Proposition Soit A une tribu sur Ω. 1 ∅∈A. 2 Si A, B ∈A alors A ∪B ∈A et A ∩B ∈A. 3 Si (An)n∈N est une suite d’éléments de A, alors T+∞ n=1 An ∈A. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 11 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu (suite) Proposition Soit A une tribu sur Ω. 1 ∅∈A. 2 Si A, B ∈A alors A ∪B ∈A et A ∩B ∈A. 3 Si (An)n∈N est une suite d’éléments de A, alors T+∞ n=1 An ∈A. Démonstration 1 Ω∈A, alors par déﬁnition d’une tribu, on a ∅= Ωc ∈A. 2 Soit (An)n∈N la suite d’éléments de A déﬁnie par A1 = A et An = B pour tout n ≥2. Par déﬁnition d’une tribu, on a A ∪B = S+∞ n=1 An ∈A, d’où Ac ∪Bc ∈A et donc on a A ∩B = (Ac ∪Bc)c ∈A. 3 (Ac n)n∈N est une suite d’éléments de A, alors : T+∞ n=1 An = (S+∞ n=1 Ac n)c ∈A. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 11 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu (suite) Déﬁnition On appelle espace probabilisable tout couple (Ω, A) où Ωest un ensemble non vide et où A est une tribu sur Ω. On appelle événement tout élément de A. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 12 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu (suite) Déﬁnition On appelle espace probabilisable tout couple (Ω, A) où Ωest un ensemble non vide et où A est une tribu sur Ω. On appelle événement tout élément de A. Exemple (Ω, P(Ω)) est un espace probabilisable (c’est l’espace probabilisable qu’on associe toujours à Ωlorsque Ωest ﬁni ou dénombrable). Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 12 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu (suite) Déﬁnition On appelle espace probabilisable tout couple (Ω, A) où Ωest un ensemble non vide et où A est une tribu sur Ω. On appelle événement tout élément de A. Exemple (Ω, P(Ω)) est un espace probabilisable (c’est l’espace probabilisable qu’on associe toujours à Ωlorsque Ωest ﬁni ou dénombrable). Rappel On dit qu’un ensemble E est dénombrable s’il est ﬁni ou en bijection avec N c-à-d si l’on peut énumérer ses points en une suite. C’est le cas de l’ensemble N lui même, de Z, de Q ou des entiers pairs. Ce n’est pas le cas de {0, 1}N∗de R ni des intervalles [a, b]. Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 12 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu (suite) Déﬁnition (Tribu engendrée) Soit C un ensemble de parties de Ω(C ⊂P(Ω)). On appelle tribu engendrée par C la petite tribu contenant C, soit encore l’intersection de toutes les tribus contenant C et on la note σ(C). Probabilités Chapitre 1: Espace Probabilisé 13 / 26 Introduction Espace probabilisé Indépendance et Probabilité Conditionnelle Tribu (suite) Déﬁnition (Tribu engendrée) Soit C un ensemble de parties de Ω(C ⊂P(Ω)). On appelle tribu engendrée par C la petite tribu contenant C, soit encore l’intersection de toutes les tribus contenant C et on la note σ(C). Exemple 1 Soit C une tribu sur Ω, alors σ(C) = C 2 Soit A ⊂Ω, la tribu engendrée par {A} est uploads/Philosophie/ chap1-prob.pdf